中2定期テスト 確率—小テストの表を完成させて数え落としと重複を減らす｜武蔵野個別指導塾

札の組を表で数え、数え落としや重複を防いで求めるのは、同様に確からしい場合の確率です。

よくあるのは、小テストで順番のある場合とない場合が混ざり、同じ札の組を2回数えてしまう場面です。範囲表に確率が入っているかを見て、授業ノートの表とワークの訂正欄を開きます。正しい分数が書いてあっても、どの場合を分母と分子に数えたか説明できるかを確かめましょう。ここでは記号で区別した係札の自作問題を使います。未習の内容は今回の準備から外してください。

範囲表と訂正欄を並べる

まず範囲表で確率が対象か、授業プリントで同時に取る問題と順に取る問題のどちらを扱ったかを確認します。ワークや小テストを見て、提出するものと解き直すものを分けて並べます。提出欄が埋まっていても、表を自分で再現できるとは限りません。答えを隠し、空欄から書けるかを別に試します。

整理欄には、問題ごとに「取り方」「求める条件」「間違えた場所」を短く書きます。取り方には「同時」か「順に、戻さない」などと記し、条件には「合計が奇数」のように問いの言葉を残します。誤りは、一覧の抜け、同じ結果の重複、条件を満たす場合の選び違いの3つに分けると、次に直す場所が見えます。

例えば、表に同じ札を2枚取った欄があるなら、戻さない条件を表へ反映できていない可能性があります。分母は合うのに分子が違うなら、完成した表の各欄に条件を当て直します。分数の約分で間違えた場合も、表の数え方と計算を別々に確認すると、どちらを練習するか決めやすくなります。

1つの場合を表のどの欄に置くか

係札 A、B、C、D が各1枚あり、どの2枚の組も同じ程度に選ばれやすいように同時に取り出すとします。取り出した2枚を区別するために記号を使いますが、取り出す前後の順番はありません。AとBの組は、BとAの組と同じ結果です。

図1のように、縦と横に同じ札を並べます。交わった欄は2枚の組を表します。同じ札が交わる斜めの欄は使えません。また、斜めの線の両側にある AB と BA は同じ組です。片側だけを残す約束にすれば、AB、AC、AD、BC、BD、CD の6組を重複なく表せます。縦の札より横の札が後に並ぶ欄だけを使う、と言い換えても同じです。

図1の斜線で示した側は、向かい側と同じ組なので数えません。表の空欄を埋めるときは、まずどの欄を使うか決めてから、1行ずつ書き進めます。1行目に3組、2行目に2組、3行目に1組があり、残りの行には新しい組がありません。使う欄が計6つあることと、書いた組が6つあることを照合します。

一方、最初と次の役割が決まっているなら、Aの次にBを取る結果とBの次にAを取る結果は別です。表の縦を最初、横を次と決め、同じ札の斜めの欄を除く両側を使います。戻さなければ、どの最初の札にも次の候補が3枚あり、4行で12通りです。戻してから次を取る条件なら、斜めの欄も使えるため表自体を変えます。

覚えておきたいのは、確率を求めるときの「条件に合う場合の数 ÷ 起こりうる場合の総数」という関係です。ただし、この割り算は数える各場合が同様に確からしいときに使います。同様に確からしいとは、選んだ1つ1つの場合が同じ程度に起こりやすいことです。理由まで説明する箇所は、何を1つの場合としたか、同時ならなぜABとBAが同じか、順に取るならなぜ別かの3点です。式だけ覚えても、分母の決め方は自動では決まりません。

札をよく混ぜて等しく選ばれる条件なら、同時の各組を同じ程度に起こるものとして扱えます。順に取った結果を使って考えても、どの組にも順序の違いが2通りずつあります。例えばABにはAの次にBとBの次にAが対応します。他の組にも同じ数の順序が対応するので、6組を等しい重みで数えられます。現実に取りやすさが違う札なら、個数を数えるだけで同じように計算できるとは限りません。

基本例題：空いた表を埋めて奇数の組を探す

学級の係札 A、B、C、D が各1枚あり、それぞれに順に 1、2、3、4 と書いてあります。札をよく混ぜて2枚を同時に取り出します。どの2枚の組も同様に確からしいものとします。取り出した2枚の数の合計が奇数になる確率を、約分した分数で求めてください。

小テストの解答欄を作るつもりで、まず次の順に空欄を埋めます。図2は完成後の表です。組の下の数は、2枚に書かれた数の合計を表します。

1行目は A と残りの札を組にして、AB の合計は 1 + 2 = 3、AC は 1 + 3 = 4、AD は 1 + 4 = 5 と書きます。次の行では BA を再び書かず、BC は 2 + 3 = 5、BD は 2 + 4 = 6 と書きます。最後に CD は 3 + 4 = 7 です。図2の6欄は、図1の使う欄と対応しています。

全部の組は AB、AC、AD、BC、BD、CD の6通りです。問いの条件は合計が奇数なので、表の合計を順に読みます。3、5、5、7 が奇数で、該当する組は AB、AD、BC、CD の4通りです。合計が同じ5でも、ADとBCは違う札の組です。数の合計だけを1回と数えると、1組を落とします。

したがって確率は 4/6 = 2/3 です。答えを場面に戻すと、6組のうち4組が奇数、残る AC と BD の2組が偶数です。4組と2組を合わせると元の6組に戻り、条件に合う組と合わない組が重ならないことも確かめられます。答えの分数だけでなく、分母の6と分子の4が何を数えた数かを解答欄に残しましょう。

途中で表が埋まらないときは、先に数字を足すのを止めて、札の組だけを完成させます。組がそろった後で合計を書けば、計算と数え上げの誤りを別に見られます。逆に6組が出たのに答えが違うときは、奇数と偶数の判定か分数の約分を確認します。図2では奇数と偶数の組が表の中に混じるため、行ごとに指で追うと選び忘れを見つけやすくなります。

少し難しい例題：順番に役割があるとき

同じ A、B、C、D の係札をよく混ぜて1枚取り、その札を戻さずにもう1枚取ります。最初に取った札を連絡係、次の札を記録係にします。どの順序の結果も同様に確からしいものとして、連絡係の札の数が記録係の札の数より大きい確率を約分した分数で求めてください。A、B、C、D の数はそれぞれ 1、2、3、4 です。

今度は役割が異なるので、AB は連絡係がA、記録係がBという意味です。BA は連絡係がB、記録係がAであり、ABとは区別します。縦を連絡係、横を記録係にした表で、同じ札の斜めの欄を除きます。Aの行は AB、AC、AD、Bの行は BA、BC、BD、Cの行は CA、CB、CD、Dの行は DA、DB、DC です。4行に3欄ずつあり、全部で12通りです。

条件に合うかを各行で調べます。Aの1は他のどの数よりも小さいので、Aの行にはありません。Bの2が大きいのは BA、Cの3が大きいのは CA と CB、Dの4が大きいのは DA、DB、DC です。条件に合うのは 1 + 2 + 3 = 6 通りなので、確率は 6/12 = 1/2 です。

場面に戻して確かめると、同時の6組それぞれについて、数の大きい札が先の順序と小さい札が先の順序が1通りずつあります。同じ数の札はないので、同数になる順序はありません。条件に合う6通りと合わない6通りが12通りを埋め、先に作った表と一致します。ここで使う分母が6ではなく12になる理由は、先と後を入れ替えると係の役割が変わるからです。

もし「2枚の合計が奇数」という問いに変わっても、順に取る操作が同じなら12通りを分母にできます。その場合は基本例題の奇数の4組にそれぞれ2つの順序があるため、条件に合うのは8通りです。8/12 は 2/3 となり、同時に取ったときと一致します。分子と分母を同じ基準で数えれば、表の形が違っても同じ問いに対する結果は一致します。

誤答を直す：両側を使ったら分子も点検する

基本例題で、同時に取るのに表の斜め以外を両側とも使い、12通りと数えたとします。さらに奇数の組は重複を除いて4組と数え、答えを 4/12 = 1/3 とする誤りがあります。分母は順序つき、分子は順序なしという異なる数え方になっていることが原因です。

図3のように、同時の組なら表の片側で6組を数え、奇数の4組を選びます。順序つきの表を使うなら反対側も同じ基準で数え、奇数になる順序は8通りです。どちらも 2/3 になります。ただし問題が同時取り出しなら、最後にはABとBAを同じ組と説明できる形に戻しましょう。

図3の2つの行を比べて、分母と分子がそれぞれ何を1つと数えているか声に出して確認します。誤答の下に正しい分数を書くだけでは、次の問題で同じ混同が残ります。元の表に「同時は片側」「順序つきは両側」と書き添え、分母と分子の両方を同じ色の印などで対応させてみてください。

別の誤りとして、同時に取る表で AA を入れ、同じ札が2枚あるかのように数える場合があります。問題文の「各1枚」に戻り、斜めの欄に印を付けて除きます。反対に、戻してからもう1枚取る問題で斜めを除くと、同じ札を2回引く場合を落とします。取り方が変わったら、前の問題の表をそのまま使わず、斜めの欄を使えるか最初に判断します。

練習問題

次の問題はすべて自作の条件です。取り出す各結果は、問題に示された方法のもとで同様に確からしいものとします。答えは約分した分数で書き、表に何を1つの場合として数えたかも残してください。

1. K、L、M、N、P の札が各1枚あります。よく混ぜて2枚を同時に取るとき、KまたはLの少なくとも一方を含む確率を求めてください。
2. U、V、W の札が各1枚あり、順に 1、2、4 と書かれています。よく混ぜて1枚取り、戻さずにもう1枚取ります。最初の札の数が次の札の数より小さい確率を求めてください。
3. 袋には 1、2、3 と書かれた札が各1枚、箱には 2、4 と書かれた札が各1枚あります。それぞれよく混ぜ、袋と箱から1枚ずつ取ります。2枚の数の合計が5になる確率を求めてください。
4. 0、2、5、7 と書かれた札が各1枚あります。よく混ぜて2枚を同時に取るとき、数の合計が7以上になる確率を求めてください。

答えと解き方

1. 全部の組を K の行から順に書くと、KL、KM、KN、KP、LM、LN、LP、MN、MP、NP の10通りです。KまたはLを含むのは、Kの行の4通りと、Lの行のうちまだ数えていない LM、LN、LP の3通りで、計7通りです。答えは 7/10 です。場面に戻すと、どちらも含まない組は MN、MP、NP の3通りで、7と3を合わせて10通りです。KLは両方を含んでいても1組として数えます。

2. 最初と次を区別すると、UV、UW、VU、VW、WU、WV の6通りです。数が小さい札から大きい札へ進むのは UV、UW、VW の3通りなので、答えは 3/6 = 1/2 です。残りの3通りは最初の数が大きく、同じ札は戻さないため同数の組はありません。3通りずつで元の6通りに戻ります。

3. 袋の数と箱の数を区別して、(1, 2)、(1, 4)、(2, 2)、(2, 4)、(3, 2)、(3, 4) の6通りを書きます。かっこの前が袋、後が箱です。合計が5なのは (1, 4) と (3, 2) の2通りなので、答えは 2/6 = 1/3 です。(2, 2) は別々の場所から1枚ずつ取るので可能です。残る4通りの合計は順に3、4、6、7で、条件に合う2通りと合わせて6通りです。

4. 2枚の組は (0, 2)、(0, 5)、(0, 7)、(2, 5)、(2, 7)、(5, 7) の6通りです。合計が7以上なのは (0, 7)、(2, 5)、(2, 7)、(5, 7) の4通りで、答えは 4/6 = 2/3 です。残る2組の合計は2と5で、7未満です。境目の7も条件に入ることを、問題文の「以上」に戻って確かめます。

次の1問で残すこと

取り方を読み、順番の有無と札を戻すかを決めます。
表の使える欄を埋め、同じ基準で全体と条件に合う場合を数えます。
各場合が同様に確からしいことを確かめ、分数にして場面へ戻します。

表が止まる場所を持っていく

解き直したワークと範囲表を並べ、同時取り出しで組を重複させるのか、順序つきで反対側を落とすのかを見ます。表は完成するのに条件の印が違う場合は、合計や大小の判定を1欄ずつ見直します。答えを見ずに別の表を埋められたら、その表と元の訂正欄を比べて確かめます。

お子さまが表の途中で止まったときは、個別指導の場で問題文の「同時」「戻す」「最初と次」を示し、1つの欄が何を意味するか説明してみてください。指導者は完成した答えだけでなく、使わない欄の理由と、分母・分子が同じ基準かを一緒に確かめられます。表の1欄に対応する結果を言葉にできれば、数え方の違いも自分で点検できます。