中2定期テスト 四分位範囲と箱ひげ図—ワークの並べ替えから散らばりの比較まで確かめる｜武蔵野個別指導塾

作業時間を小さい順に並べ、四分位数を箱の端に対応させて、中央部分の広がりを比べられるようにします。

よくあるのは、ワークの箱ひげ図を見て、箱の左端を最小値と答えてしまう場面です。箱の外にも線が伸びていますが、何を表す線なのかがあいまいなままだと、数字を読み直しても同じ場所を選びがちです。まず学校の範囲表を開き、四分位数や箱ひげ図が今回の範囲に入っているか確かめましょう。授業でまだ習っていなければ、今回の準備から外します。

提出欄を手がかりに、直す場所を分ける

範囲表の単元名の横に、授業ノート、配られたプリント、ワークの該当箇所を書き出します。小テストがあれば、その訂正欄も並べます。学期の欄がある範囲表なら、今回の指定を写しておくと別の範囲と混ざりません。書いた場所を見ながら、提出物が済んでいるかと、何も見ずに解き直せるかを別々に確かめます。丸が付いた欄にも、答えを写しただけの問題が残っていることがあります。

例えば自作の整理欄を「資料を並べ替える」「箱をかく」「図を比べて説明する」の3列にします。各列に、ワークや小テストで止まった問題の場所を控えます。並べ替えでは同じ値を数え落としたか、箱ではひげの端と箱の端を混ぜたか、比較では何を根拠にしたかを書きます。誤答の種類を先に決めると、最初から全部やり直さず、直す操作を選べます。

たとえば、四分位範囲の計算が合わなかったときは、引き算の行だけでなく、その上の第1四分位数と第3四分位数まで戻ります。計算自体の誤りなら引き算を直し、もとの位置が違えば資料の並びから直します。保護者の方が見るときも、提出欄の正答の有無だけでなく、お子さまがどこからその数を取ったか説明できるかを聞いてみてください。

5つの位置を並べてから箱にする

データを小さい順に並べたとき、中央に位置する値が中央値です。個数が偶数なら中央の2つの値の平均を取ります。個数が奇数なら中央の1つが中央値です。同じ値が繰り返し現れても、それぞれ1個として数えます。順番は値の大きさで決め、記録した順や足した合計から中央値を決めません。

第1四分位数は、並べたデータの下半分の中央値です。第3四分位数は上半分の中央値です。全体の個数が奇数のときは、真ん中の値を除いて下半分と上半分を作ります。半分の中の個数が偶数なら、その半分の中央の2つを平均します。教室で習った求め方や問題の指示も確認しましょう。

図1のように、箱ひげ図には小さい順に最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を置きます。箱の左右の端は第1と第3四分位数で、箱の中の線は中央値です。箱から伸びるひげの先が最小値と最大値です。値が一致すると、線や端が重なる場合もあります。端が見えにくいときは、図が間違いとは限らず、数字が同じかを確かめます。

図1の5つの名前と位置は覚えておきます。一方、四分位範囲が箱の長さになる理由は、右端の第3四分位数から左端の第1四分位数を引くためです。全体の広がりを表す範囲は最大値から最小値を引きます。四分位範囲は中央部分の広がりを見る値なので、2つの引き算を混ぜないようにします。

基本例題：作業時間の提出欄を完成させる

次は計算練習のために作った記録です。8回の同じ作業にかかった時間が、記録順に 10、2、15、7、4、12、9、5 分でした。小さい順に並べ、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値と四分位範囲を、いずれも分を単位に整数または小数で求めます。その5つを使って箱ひげ図をかき、図から読み取ります。

提出欄の最初に、2、4、5、7、9、10、12、15 と並べます。8個あるかをもとの記録と照合し、2と15が両端に来たことを確かめます。最小値は 2 分、最大値は 15 分です。真ん中は4番目の7と5番目の9の間なので、中央値は (7 + 9) ÷ 2 = 8 分です。7と9のどちらかを選ぶのではなく、中央の2つの平均を取ります。

下半分は 2、4、5、7 です。この4個の中央にある4と5を平均し、第1四分位数は (4 + 5) ÷ 2 = 4.5 分です。上半分は 9、10、12、15 です。中央の10と12を平均して、第3四分位数は (10 + 12) ÷ 2 = 11 分です。途中欄に上下の4個ずつを書いておくと、後でどの2つを選んだかを戻って調べられます。

四分位範囲は 11 − 4.5 = 6.5 分です。最大値と最小値の差は 15 − 2 = 13 分で、別の値です。箱をかくときは、同じ目盛り上の4.5から11までを箱にし、8の位置に中央値の線を引きます。2から箱の左端までと、箱の右端から15までをひげで結びます。

図2のように目盛りをそろえると、箱の左端は4と5の中間の4.5、ひげの左端は2と読めます。箱の右端は11、右のひげの先は15です。中央値の8はもとの記録にありませんが、中央の2つの平均なので問題ありません。箱の幅を目盛りで読むと6.5分となり、引き算の結果とも一致します。

この図から「中央値は8分」「第1四分位数から第3四分位数までの幅は6.5分」と答えられます。ただし、箱の中の線の位置だけから、7分の記録が何回あったかを決めることはできません。5つの値はデータの特徴をまとめますが、元の8個をすべて記録したものではないためです。個々の回数を聞かれたら、図だけでなく元の一覧を見る必要があります。

少し難しい例題：個数が奇数の記録を比べる

次のA、Bは、同じ作業をそれぞれ9回行ったとする自作の時間の記録です。数は小さい順に並べてあります。各組の中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を分単位の整数または小数で求め、中央値と四分位範囲に注目して比べます。

A: 3、4、5、6、8、10、11、12、16 分

B: 1、5、6、7、8、9、10、11、18 分

9個の中央は5番目なので、両方の中央値は8分です。Aの中央の8を除くと、下半分は 3、4、5、6、上半分は 10、11、12、16 です。第1四分位数は (4 + 5) ÷ 2 = 4.5 分、第3四分位数は (11 + 12) ÷ 2 = 11.5 分です。四分位範囲は 11.5 − 4.5 = 7 分となります。

Bも中央の8を除き、下半分は 1、5、6、7、上半分は 9、10、11、18 です。第1四分位数は (5 + 6) ÷ 2 = 5.5 分、第3四分位数は (10 + 11) ÷ 2 = 10.5 分です。四分位範囲は 10.5 − 5.5 = 5 分です。各組の上下に4個ずつあることを数え、中央の8をどちらかに入れ直していないか確認します。

中央値は同じ8分ですが、四分位範囲はBの方が小さく、中央部分の広がりはBの方が小さいといえます。根拠として7分と5分を添えると、何を比べたかが伝わります。全体の範囲はAが 16 − 3 = 13 分、Bが 18 − 1 = 17 分で、こちらはBの方が大きい点にも注意します。四分位範囲が小さいことから、どの範囲を見てもBの方が小さいとはいえません。

また、この記録だけを根拠に、次の作業時間や別の日の結果を断定することはできません。比べる条件が同じか、求められた比較が中央値なのか箱の幅なのかを問題文に戻って確認します。箱ひげ図で比較する場合も、同じ単位と目盛りを使っているかを見てから、左右の位置や長さを比べます。

間違えた端を、元の欄に戻して直す

基本例題で「最小値は4.5分」と書いたとします。4.5は箱の左端ですが、元の並びでは2より大きい値です。箱の端とひげの先を同じものと思ったことが原因です。最小値の答えを2に書き換えるだけで終えず、図3のように、2がひげの先、4.5が箱の端であることを並びと照合します。

図3の正しい対応を自分の図にも書き込み、その後で数字を隠してもう一度読んでみます。ひげの先が箱と重なる場合には、最小値と第1四分位数が等しい可能性もあります。そのときも位置の名前を区別し、重なっている理由を数で確かめます。

別の誤りとして、基本例題の中央を4番目の7と答えた場合は、個数が8個であることに戻ります。中央の左右に同じ数のデータがあるかを確認すれば、7と9の間が真ん中だと見直せます。また、四分位範囲を13分とした場合は、最大値と最小値の差を計算していないか式の両端に名前を書きます。11と4.5を使った式に直したら、箱の幅と同じ6.5分になるかまで確かめます。

比較の記述で「Bは必ず作業が速い」と書いた場合は、中央値が同じであることと、各記録が異なることを一覧で確かめます。四分位範囲は広がりの比較に使う値で、すべての作業時間の大小を示しません。何を比較したのかを「中央部分の広がり」に直し、数字を根拠として添えます。

練習：数を並べ、図から言える範囲を選ぶ

次の4問は計算練習のための自作の記録です。時間はすべて分です。求める数値は整数または小数で答え、時間を表す値には単位も付けてください。図をかく問題では、5つの値の位置がわかるように目盛りを付けます。

1. 6回の作業時間は記録順に 14、3、8、6、11、4 でした。小さい順に並べ、中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を求めて箱ひげ図をかいてください。
2. 7回の作業時間は記録順に 13、5、9、3、7、11、5 でした。中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を求めてください。同じ時間の記録も、それぞれ1回として扱います。
3. C組の記録の5つの値は、小さい順に 2、5、8、12、17 分、D組は 1、6、9、11、19 分でした。それぞれの四分位範囲を求め、中央部分の広がりを比べて理由も書いてください。この5つの値から、C組の8分の記録が何回あるか決められるかも答えてください。
4. ある8個の記録を小さい順に並べると、1、3、4、6、8、10、12、14 分でした。答案に「第1四分位数は1分、四分位範囲は13分」とあります。どちらの数が何を表すかを確かめ、正しい第1四分位数と四分位範囲を求めてください。

答えと解き方

1. 小さい順に 3、4、6、8、11、14 分です。中央の6と8の平均が中央値の7分です。下半分 3、4、6 の中央は4なので第1四分位数は4分、上半分 8、11、14 の中央は11なので第3四分位数は11分です。四分位範囲は 11 − 4 = 7 分です。箱は4から11まで、中央値の線は7、ひげの先は3と14になります。箱の幅を目盛りから読んでも7分です。

2. 並べ替えると 3、5、5、7、9、11、13 分です。4番目の7が中央値です。中央の7を除いた下半分 3、5、5 の中央は5、上半分 9、11、13 の中央は11です。したがって第1四分位数は5分、第3四分位数は11分、四分位範囲は 11 − 5 = 6 分です。5を1個にまとめると個数と中央の位置が変わるので、記録順の一覧と個数を照合します。

3. C組の四分位範囲は 12 − 5 = 7 分、D組は 11 − 6 = 5 分です。D組の方が小さいので、中央部分の広がりはD組の方が小さいといえます。C組の中央値は8分ですが、8分の記録が何回あるかは、この5つの値だけでは決められません。中央値は中央の位置を示す値であり、同じ値の個数を示すものではありません。

4. 1分は最小値、13分は最大値14分から最小値1分を引いた範囲です。下半分 1、3、4、6 の中央の2つを平均すると、第1四分位数は (3 + 4) ÷ 2 = 3.5 分です。上半分 8、10、12、14 の中央の平均から、第3四分位数は (10 + 12) ÷ 2 = 11 分です。四分位範囲は 11 − 3.5 = 7.5 分です。箱の両端を3.5と11に置けば、その幅も7.5分です。

次の1問で確かめること

小さい順に並べ、個数を数えて中央値の位置を決めます。
上下それぞれの中央値を箱の両端にし、ひげの先は最小値と最大値に置きます。
箱の幅は第3四分位数から第1四分位数を引いて求め、比較の根拠を添えます。

解き直しが止まったら

範囲表と直したワークを並べ、まず同じ数を落とさず並べられるかを確認します。並びが正しくても四分位数が違うなら、全体の個数と上下に分けた後の個数をそれぞれ数えます。数値は合っているのに図が違う場合は、5つの値を目盛りに印を付けてから箱とひげを結び直します。

個別指導で質問するときは、誤答を消しきらず、並べた列と箱の端に選んだ数を一緒に見せると、位置の誤りか読み取りの誤りかを確かめやすくなります。比較の文が止まる場合は、中央値と四分位範囲のどちらを比べる問いか、問題文と答案の数字を照合します。箱の幅に戻れば、散らばりを比べる根拠を自分の言葉で書けます。