数検3級 関数y=ax²と直線—交点を連立で求め座標から三角形の面積へ進む練習｜武蔵野個別指導塾

放物線と直線の交点を1組ずつ検算し、補助線で三角形を分けます。交点が原点の同じ側にある場合は、余分な面積を引いて求めます。

よくあるのは、放物線と直線の交点のxを2つ求めた後、片方のyをもう片方の点に付けてしまう場面です。計算した数は合っていても、座標の組が入れ替われば図の点は変わります。交点は2つの式を同時に満たす点です。xを求めて終わりにせず、点ごとにyを戻し、面積に使う長さまで順に確かめましょう。

交点から面積へ進む3つの型

最初の型は、放物線と直線の式が両方与えられ、交点の座標を求める問題です。同じ点のyはどちらの式でも同じなので、右辺どうしを等しくします。二次方程式を解いたら、それぞれのxを元の式へ代入してyを求めます。答えはxの一覧ではなく、対応する2つの数を並べた座標です。

次の型は、交点の一部が先に示され、もう一方を求める問題です。既知の点も2つの式を満たすか確認し、得られた解のうちどれが既知の点に対応するかを分けます。数を見比べるときも、xとyの組を崩さないことが必要です。

3つ目は、交点と原点を結んでできる三角形の面積を求める問題です。座標を並べるだけでは底辺と高さが決まったことにはなりません。水平または垂直な補助線を引き、その線に平行な辺と、それに垂直な距離を見つけます。補助線によって大きな三角形を分ける方法もあれば、2つの面積の差を使う方法もあります。

これらは練習のために整理した型です。交点の個数は式によって変わり、必ず2点とは限りません。また、求めた2点と原点が一直線上に並ぶ場合には、面積が正の三角形はできません。今回は原点を頂点に含む三角形を扱い、点が動くときの面積の最大や最小は扱いません。

同じ点にある2つのyをそろえる

座標平面上の点は、横の位置をx、縦の位置をyとして表します。例えば点Aの座標が(2, 4)なら、xが2であるときのyが4です。点が放物線と直線の交点であるとは、この同じ組をどちらの式に入れても等式が成り立つということです。

図1のように、放物線のyと直線のyをそれぞれ書き出してから、右辺を等しくします。方程式の解は交点のxの候補です。yはその候補ごとに代入して求めます。矢印の分岐は、求めたxとyを別々の列として並べず、1組ずつ結び付けるための印です。

例えば放物線がy=x²、直線がy=x+2なら、x²=x+2からx=-1または2です。x=-1を直線に入れるとy=1、x=2を入れるとy=4です。したがって交点は(-1, 1)と(2, 4)です。点(-1, 4)のように別の行から数を持ってくると、どちらか一方、または両方の式を満たさないことがあります。

元の式への代入は、計算が終わった後の飾りではありません。たとえば(-1, 1)は1=(-1)²、1=-1+2をともに満たします。(2, 4)も4=2²、4=2+2を満たします。2つの式を使ったこの確認で、方程式の計算の誤りと、座標の組み違いを別々に見つけられます。

面積を考える際には、座標の差から水平または垂直な長さを取り出します。同じ高さにある2点の横の距離は、x座標の大きい方から小さい方を引いた数です。縦の距離もy座標の差から求めます。座標が負でも長さは負になりません。例えば横の位置が-2と3なら、距離は3-(-2)=5です。

基本例題：両側の交点と原点を結ぶ

問題：放物線y=x²と直線y=2x+3の交点をA、Bとし、Aのx座標はBのx座標より小さいものとします。原点をOとするとき、A、Bの座標と三角形OABの面積を求めなさい。座標は整数の組で、面積は整数で答えなさい。座標の1目盛りを長さ1とします。

まず交点では2つのyが等しいので、次のように解きます。

x²=2x+3

x²-2x-3=0

(x+1)(x-3)=0

x=-1 または x=3

xの小さい方がAなので、Aにはx=-1を使います。直線の式に代入すると、y=2×(-1)+3=1です。Bにはx=3を使い、y=2×3+3=9です。よってA=(-1, 1)、B=(3, 9)です。

両方の式に戻すと、Aでは1=(-1)²、1=2×(-1)+3です。Bでは9=3²、9=2×3+3です。各点のxとyが2つのグラフの両方に対応していることを確かめられました。

図2のように、Aと同じ高さでy軸上に点C=(0, 1)を取り、Bからy軸と平行な線を引いて水平線ACとの交点をD=(3, 1)とします。A、C、Dは一直線上にあり、CはAとDの間にあります。BDは水平なADに垂直です。

補助線OBと水平線ADの交点をEとします。OBは原点とBを通り、B=(3, 9)なのでy=3xです。y=1のときx=1/3となり、E=(1/3, 1)です。

EはAとDの間、またOとBの間にあります。三角形OABは、三角形OAEと三角形ABEに分かれます。共通の底辺AEの長さは1/3-(-1)=4/3です。Oから水平線AEまでの高さは1、Bから同じ線までの高さは9-1=8です。

三角形OAEの面積は (4/3)×1÷2=2/3 です。三角形ABEの面積は (4/3)×8÷2=16/3 です。合わせると2/3+16/3=6です。答えはA=(-1, 1)、B=(3, 9)、面積6です。

ここではEが線分OBの途中にあることが、2つの面積を足せる理由です。補助線の交点が辺の延長上にあるときは、同じように足すとは限りません。分けた三角形を図で指し、重なりや余分な領域がないかを確かめてから計算します。

少し難しい例題：2点が同じ高さにあるとき

問題：放物線y=(1/2)x²と直線y=8の交点のうち、x座標が負の点をP、正の点をQとします。原点をOとするとき、P、Qの座標と三角形OPQの面積を求めなさい。座標と面積は整数で答え、1目盛りを長さ1とします。

交点では(1/2)x²=8です。両辺を2倍してx²=16、よってx=-4または4です。直線の式がy=8なので、どちらの点もyは8です。条件に従いP=(-4, 8)、Q=(4, 8)となります。

放物線にも戻すと、(1/2)×(-4)²=8、(1/2)×4²=8です。直線上でも両点のyは8です。PとQの横の距離は4-(-4)=8、原点から直線y=8までの垂直な距離は8です。したがって面積は8×8÷2=32です。

この問題ではPQそのものが水平なので、辺PQを底辺として使えます。基本例題のABは傾いているため、x座標の差をそのままABの長さとして使うことはできません。同じ「2点の差」でも、どの方向の長さを表すかを図で確認することが分かれ目です。

また、2つの交点のyが同じである理由は、直線がy=8だからです。どんな直線でも交点の高さが等しいわけではありません。放物線が左右対称であっても、交点の組は直線の位置によって変わります。図の印象から座標を推測せず、2つの式に戻してください。

誤答を直す：xとyの組を取り替えない

図3は基本例題の交点について、x=-1に対してy=9を付けた誤答を示しています。9はx=3を代入したときの値です。求めた数をそれぞれ正しく計算していても、最後に別の行から選ぶと(-1, 9)になってしまいます。

誤答(-1, 9)を直線y=2x+3に入れると、右辺は1です。左辺の9と一致しません。放物線y=x²に入れても右辺は1ですから、この点はどちらのグラフ上にもありません。x=-1の行で出したy=1を使い、A=(-1, 1)と直します。

もう一方のx=3についても、代入した直後にB=(3, 9)と書いておきます。2つのxを先に書き、2つのyを別の場所で求めて後から結ぶ方法は、対応を取り違えやすくなります。行を分けて「xを代入、yを計算、座標を書く」を1点ずつ進めると、どこで組が変わったかをたどれます。

面積でも、負の座標をそのまま長さに使う誤りがあります。水平線上の点がx=-1とx=3にあるなら、横の長さは3-(-1)=4です。-1を長さとして掛けるのではなく、2点の位置の差を求めます。底辺と高さが垂直かも確かめ、傾いた辺の見かけの長さを座標の差と混同しないようにします。

練習問題

次の4問は、座標の1目盛りを長さ1とします。座標は整数の組で答え、面積は整数または既約分数で答えてください。まず4問を通して考え、その後で解答を見ます。

1. 放物線y=x²と直線y=3x+4の交点を、x座標の小さい方から順に求めなさい。
2. 放物線y=x²と直線y=9の交点をR、Sとします。原点をOとするとき、R、Sの座標と三角形ORSの面積を求めなさい。ただしRのx座標は負、Sのx座標は正です。
3. 放物線y=x²と直線y=-x+6の交点をU、Vとします。Uのx座標は負、Vのx座標は正です。座標と三角形OUVの面積を求めなさい。
4. 放物線y=x²と直線y=4x-3の交点のうち、x座標が小さい方をM、大きい方をNとします。座標と三角形OMNの面積を求めなさい。Oは原点です。

練習の答えと解き方

1. 方程式から点の組へ

x²=3x+4より、x²-3x-4=0です。(x+1)(x-4)=0なので、x=-1または4です。直線に代入すると、それぞれy=1、16です。答えは(-1, 1)、(4, 16)です。

放物線では(-1)²=1、4²=16です。直線では3×(-1)+4=1、3×4+4=16です。それぞれの点が両方の式を満たすため、交点として正しいことを確認できます。xの小さい順に並べる条件も満たしています。

2. 水平な辺を底辺にする

x²=9よりx=-3または3です。直線上ではどちらもy=9なので、R=(-3, 9)、S=(3, 9)です。横の長さRSは3-(-3)=6、高さは原点からy=9までの9です。面積は6×9÷2=27です。

(-3)²=9、3²=9であり、両点のyも直線の値9と一致します。線分RSは水平で、原点からの垂直な距離が9です。底辺の6と高さの9を図に戻し、負のx座標を負の長さにしていないか確認しましょう。

3. 底辺を軸上に分ける

x²=-x+6より、x²+x-6=0です。(x+3)(x-2)=0なので、x=-3または2です。直線に代入してU=(-3, 9)、V=(2, 4)です。

UとVからx軸に垂線を引くと、両点は原点を挟んで反対側にあります。三角形OUVの面積は、UとVとそれぞれの垂線の足で作る台形から、原点を含む2つの直角三角形を引いて求められます。台形の平行な辺は長さ9と4、その間の距離は5です。台形の面積は(9+4)×5÷2=65/2です。

引く2つの三角形の面積は、3×9÷2=27/2と2×4÷2=4です。したがって65/2-27/2-4=15です。Uでは9=(-3)²=-(-3)+6、Vでは4=2²=-2+6です。差し引いた図形を合わせ直すと台形全体になり、余分な領域を取り除けています。

4. 2点が原点の同じ側にあるとき

x²=4x-3より、x²-4x+3=0です。(x-1)(x-3)=0なので、x=1または3です。直線に代入してM=(1, 1)、N=(3, 9)です。

Mからx軸に垂線を下ろし、その足をH=(1, 0)とします。Nからもx軸に垂線を下ろし、足をK=(3, 0)とします。三角形ONKの面積は3×9÷2=27/2です。台形HMNKの面積は(1+9)×2÷2=10、三角形OMHの面積は1×1÷2=1/2です。

三角形OMNは、三角形ONKから台形HMNKを引き、さらに三角形OMHを引いた部分です。よって27/2-10-1/2=3です。MとNはともにxが正なので、練習3のように原点を挟んだ図として面積を足すことはできません。

1²=1=4×1-3、3²=9=4×3-3です。交点の条件を満たし、xの大小もM、Nの指定に合っています。面積の差を取るときも、線分MNがONより下にあり、引いた領域が重ならないことを確かめます。

覚えておくこと

• 交点では2つの式のyが同じなので、右辺を等しくします。
• 解いたxごとにyを代入し、座標を1組ずつ書きます。
• 座標を両方の式に戻し、交点であることを確かめます。
• 座標の差は水平または垂直な長さとして使います。
• 面積を足すか引くかは、補助線で分けた領域を見て決めます。

つまずきの場所を見分ける

答えが合わないときは、最初から全部を書き直す前に、交点の式、xの解、座標の組、面積の図の順に点検します。xの解が正しいのに点が式を満たさなければ、代入または組み合わせに原因があります。点が正しくても面積が違う場合は、底辺と高さが垂直か、引いた部分が重なっていないかを見ます。

個別指導で確かめるときは、お子さまに各点のxを指しながら、対応するyをどの式から求めたか説明してもらいます。次に補助線を図に描き、面積を足す部分と引く部分を指でたどります。式だけが先に並ぶと、座標の取り違えと図形の取り違えを区別できません。

交点の座標を1組ずつ式へ戻すと、面積につながる図の位置まで確かめられます。