数検3級 関数y=ax²の変化の割合—増加量を表にして区間の両端から計算する練習｜武蔵野個別指導塾

両端の値を表にして、負の区間や原点をまたぐ区間も計算します。差を割ってつかむ変化の割合です。

よくあるのは、受検者が両端の y の値を正しく出し、その差をそのまま変化の割合として答える場面です。変化の割合には、y がどれだけ変わったかに加え、x がどれだけ変わったかが必要です。分子に y の増加量、分母に x の増加量を置くと、区間の長さが違う問題にも同じ手順で取り組めます。負の数を含む区間も、出発点と終点の順番をそろえて考えます。

どの区間の変化を比べるか

関数 y=ax² の変化の割合は、指定された区間における y の増加量を x の増加量で割った数です。ここで扱うのは両端の間の平均的な変化であり、ある一点での変化を求めるものではありません。x の値が違う2点を決めてから計算します。

出方の型は大きく3つあります。1つ目は式と区間が与えられ、両端の y を求めて割合を出す型です。端の x を代入し、引き算を2回行ってから割ります。途中の表があれば、y の差で答えてしまう間違いに気づけます。

2つ目は区間の両端が負の場合や、0 をはさんでいる場合です。x が増加していても y が減ることがあります。増加量という名前でも、後の値が前の値より小さければ差は負です。負の数の二乗と、負の数を引く計算を別々に扱います。

3つ目は割合が先に与えられ、式の係数や区間の端を求める型です。値を求める前に、割合を表す式が何に等しいかを書きます。その後で元の条件に戻し、求めた値が区間と割合の両方に合うかを確かめます。

これらは練習のための分類です。問題ごとの数字が変わっても、両端を対応させることと、2つの増加量を同じ向きで引くことは変わりません。

表に並べる2種類の増加量

x が p から q へ変わり、対応する y が ap² から aq² へ変わるとします。p と q は異なる数で、ここでは p から q へ進むと考えます。表の左に出発点、右に終点を並べます。

図1のように、どちらの行も終点から出発点を引きます。x の増加量は q − p、y の増加量は aq² − ap² です。増加量を作る際に、x と y で引く順番を変えてはいけません。

図1の上下の差を比べると、変化の割合は「y の増加量 ÷ x の増加量」と書けます。たとえば x が 4 増える間に y が 12 増えたなら、x が1増えるあたりの平均は 12 ÷ 4 = 3 です。y の増加量 12 と、変化の割合 3 は意味の違う数です。

文字のまま計算すると、y の増加量は a(q² − p²) です。q² − p² は (q − p)(q + p) と表せます。p と q は異なるので q − p は 0 ではなく、これで割ると変化の割合は a(p + q) です。両端の和を係数 a に掛ける計算として使えます。

ただし、この短い式は両端の差から作ったものです。区間の片方だけを使ったり、p と q が同じなのに割ったりはできません。どちらを先に置くか迷ったときは、表に戻ればよいのです。p と q が同じなら x の増加量は 0 で、0 で割れないため、この定義による割合は求められません。

区間が変わると何が変わるか

同じ関数でも、調べる区間が変われば変化の割合は変わります。たとえば y=x² で x が 0 から 2 へ増えるとき、y は 0 から 4 へ変わるため、割合は 4 ÷ 2 = 2 です。続く 2 から 4 の区間では、y は 4 から 16 へ変わり、割合は 12 ÷ 2 = 6 です。どちらも x の増加量は 2 ですが、y の増加量は同じではありません。

この違いは、y=ax² の表を作る理由につながります。1つの区間で計算した割合を、そのまま別の区間に使うことはできません。どの区間について聞かれたかを問題文に戻って確かめ、両端の値を新しく代入します。短い式 a(p + q) でも、両端の和が変われば結果が変わります。

0 をまたぐ区間では、x が増える間に y が途中で減ってから増える場合もあります。それでも変化の割合は両端の y の差を、その区間の x の差で割って求めます。途中の変化を無視してよいという意味ではなく、この問題で求める量が両端を比べた値だということです。変化の割合が 0 の場合も、途中の y がずっと一定だったとは限りません。

基本例題：差を割って答えにする

【問題】関数 y=2x² で、x が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めなさい。答えは整数で書きなさい。

図2のように、まず指定された x の値と対応する y の値を並べます。2つの y の値が求まっても、その差はまだ最終的な答えではありません。x の変化と組にして考えます。

次の順に1行ずつ計算します。

1. x=1 のとき、y=2×1²=2。
2. x=4 のとき、y=2×4²=32。
3. x の増加量は 4 − 1 = 3。
4. y の増加量は 32 − 2 = 30。
5. 変化の割合は 30 ÷ 3 = 10。

答えは 10 です。図2の表で、右の値から左の値を引いていることを確認します。最後は y の増加量を上、x の増加量を下とする割り算です。逆に 3 ÷ 30 とすると、求める向きが入れ替わります。

別の確認として、a(p + q) に a=2、p=1、q=4 を入れると 2×(1 + 4)=10 です。また、答えの 10 に x の増加量 3 を掛けると 30 になり、実際の y の増加量 32 − 2 に戻ります。最初に使った端の値も、元の式にそれぞれ代入して得られるので、表と答えを一緒に点検できます。

30 は y の増加量として正しい数です。そこで計算を止めると、問題が聞いている「x の増加量に対する割合」までは求まっていません。答えを書く直前に、何で割ったかを声に出して確認すると区別しやすくなります。

少し難しい例題：負の区間から係数を決める

【問題】関数 y=ax² で、x が -5 から -2 まで増加するとき、変化の割合は 14 です。a の値を整数で求めなさい。

x の両端が負なので、まず「後の値から前の値」を保ちます。-2 は -5 より大きいため、この区間の x の増加量は正です。a の符号はまだ決めず、文字のまま表を作ります。

x=-5 のとき、y=25a。x=-2 のとき、y=4a です。ここで (-5)² は 25、(-2)² は 4 になります。二乗の前に負の符号を括弧で囲むと、二乗する範囲を見失いにくくなります。

x の増加量は (-2) − (-5) = 3 です。y の増加量は 4a − 25a = -21a です。したがって変化の割合は (-21a) ÷ 3 = -7a になります。これが問題の 14 に等しいので、-7a = 14、a = -2 です。

分かれ目は、両端を代入して差を作るか、a(p + q) を使うかです。後者なら (-5) + (-2) = -7 ですから、-7a = 14 とすぐに置けます。一方、符号に迷うときは前者で y の値を並べると、どちらからどちらを引いたかが見えます。短い式を選んでも、元に戻す確認は省きません。

a=-2 を元の式に入れると y=-2x² です。x=-5 で y=-50、x=-2 で y=-8 なので、y の増加量は (-8) − (-50) = 42 です。x の増加量 3 で割ると 14 になり、問題の条件に戻ります。負の区間だから割合が必ず負になるわけではなく、係数の符号も関係します。

誤答を表に戻して直す

最初の例題で「32 − 2 = 30 だから、変化の割合は 30」と答えたとします。30 は y の増加量としては正しいものの、x の増加量 3 を使っていません。図3のように、2つの差を並べてから割る段階を足します。

図3では、正しい差から出発して最後の操作を補っています。30 ÷ 3 = 10 と直せば、x の変化を考慮した答えになります。誤答のすべてを消す必要はなく、どの量までは合っていたのかを区別することが修正の近道です。

別の誤りは、負の端点の引き算で起こります。たとえば x が -5 から -2 へ変わるとき、x の差を -5 − (-2) = -3 と計算する一方、y は終点から出発点を引くと、2つの差の向きがそろいません。x の差を (-2) − (-5) = 3 に直します。両方とも出発点から終点を引く方法なら商は同じですが、片方だけ逆にすると符号が変わります。

また、-5² を見て二乗する範囲を取り違えることがあります。代入の段階で x の値全体を括弧に入れ、(-5)² = 25 と書きます。その後に係数を掛けると、二乗と符号を一度に処理せずに済みます。係数が負なら、正の平方に負の係数を掛けた結果が負になることも確かめます。

練習問題：端をそろえて計算する

次の4問はすべて自作です。先に問題をまとめて解き、表の差と答えを書いた後で、下の解き方と比べてください。分数は約分した形で書きます。

1. 関数 y=3x² で、x が 2 から 5 まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。
2. 関数 y=(1/2)x² で、x が -6 から -2 まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。
3. 関数 y=-x² で、x が -3 から 3 まで増加するときの変化の割合を整数で求めなさい。
4. 関数 y=ax² で、x が 1 から 7 まで増加するときの変化の割合は 12 です。a を約分した分数で求めなさい。

答えと解き方

1. 答えは 21 です。x=2 のとき y=12、x=5 のとき y=75 なので、x の増加量は 5 − 2 = 3、y の増加量は 75 − 12 = 63 です。63 ÷ 3 = 21 となります。答えに x の増加量 3 を掛けると 63 で、両端の値の差に戻ります。式で確かめると、3×(2 + 5) も 21 です。

2. 答えは -4 です。x=-6 のとき y=18、x=-2 のとき y=2 です。x の増加量は (-2) − (-6) = 4、y の増加量は 2 − 18 = -16 なので、(-16) ÷ 4 = -4 です。答えに 4 を掛けると -16 に戻ります。x が増える間に y は 18 から 2 に下がるので、割合が負になることも表と一致します。

3. 答えは 0 です。両端で x の符号は違いますが、二乗はどちらも 9 です。したがって y はそれぞれ -9、x の増加量は 3 − (-3) = 6、y の増加量は (-9) − (-9) = 0 です。0 ÷ 6 = 0 となります。区間の途中で y が変わることと、両端の差が 0 であることは両立します。0×6 = 0 が両端の y の差に戻ることも確認できます。

4. 答えは 3/2 です。両端の y は a と 49a ですから、y の増加量は 48a、x の増加量は 6 です。変化の割合は 48a ÷ 6 = 8a となります。8a = 12 を解くと a = 12/8 = 3/2 です。元の式に戻すと、x=1 で y=3/2、x=7 で y=147/2 です。その差 144/2 = 72 を 6 で割ると 12 なので、与えられた割合を満たします。

答えだけが違った場合は、端の代入、2つの差、割る順番のどこで最初に食い違ったかを見ます。例えば練習2で y の値は合っていて符号だけが逆なら、引き算の向きを確かめます。練習3で途中の値を見て 0 でないと判断した場合は、問われたのが両端の間の割合であることに戻ります。

覚えておくこと

• 変化の割合は y の増加量 ÷ x の増加量です。
• 両方とも終点の値から出発点の値を引きます。
• y=ax² では、異なる両端 p、q に対して a(p + q) とも表せます。
• 答えに x の増加量を掛け、y の増加量へ戻して確かめます。

式から表へ戻すための見直し

公式に端の和を入れた答えが負になったときは、負の答えを消す前に、両端の y を実際に求めて比べます。終点の y が出発点より小さいなら、x の増加量が正のとき、y の増加量も割合も負になるはずです。大小の見通しが立つと、引き算や割り算の符号を確認しやすくなります。

係数を求める問題では、最後の代入も大事です。係数が正負どちらになっても、元の y=ax² に両端を入れ、指定された割合まで計算し直します。文字の計算だけを逆向きになぞるのでなく、問題で与えられた数へ戻すと、式を立てる段階の取り違えにも気づけます。

つまずきを見分けるとき

お子さまが y の差まで正しく出せるなら、次は「x はいくつ増えたか」と問い、2つの差をどの順で割るかを確かめます。端の y が違う場合は、代入した負の数に括弧を付け、二乗と係数の積を分けて見直します。どちらもできているのに符号だけが違う場合は、x と y の引き算の向きを表で比較します。

個別指導では、途中式を見て差を作る前の代入と、差を割る操作を別々に確かめます。短い式を使える場合も、その式が両端の増加量から出ることを説明できれば、区間が負になっても手順を選び直せます。両端を対応させれば、変化の割合は自分で点検できます。