数検3級 平方根の乗除—根号を含む分数を整理して分母を有理化する練習｜武蔵野個別指導塾

有理化で分子にも同じ根号を掛ける理由を、1を掛ける操作として確かめます。求めた商を元の分母に掛け、分子へ戻して検算します。

よくあるのは、分母の根号を消そうとして、分母にだけ同じ根号を掛けてしまう場面です。見た目は整数の分母になっても、分数が表す値は変わっています。分母と分子に何を掛けたかを一組で追えば、途中の式が元の値を保っているか確かめられます。平方根の乗除では、根号の中と外を整理する順番も答えの形に関わります。

積、商、分母の形を見る

出方の1つは、根号を含む数どうしの掛け算です。例えば √2 × √7 は、正の数の積として √14 にまとめられます。係数があるときは、根号の外の数と中の数をそれぞれ掛け、最後に中に平方数の因数が残っていないか調べます。符号が付いていれば、根号の計算とは別に積の符号を決めます。

2つ目は割り算です。√18 ÷ √2 のように割る数が0でない場合、根号の中の商を考えると √9 となり、3を得ます。割り算を分数に直してから整理しても同じです。先に約分できるかを見ると、必要以上に大きな数を扱わずに済みます。

3つ目は分母に根号が残る分数です。たとえば 1/√3 のような形では、分母と分子に √3 を掛けて分母を整数に直します。この操作を分母の有理化といいます。扱うのは数や根号を掛け合わせた単項式の分母です。和や差を含む分母の操作には広げません。

どの型でも、式全体が掛け算なのか割り算なのかを先に読みます。分数の横線は分子全体を分母全体で割る印です。見慣れた数だけを動かす前に、どこからどこまでが分母かを指で追うと、掛ける範囲を取り違えにくくなります。

根号の中と外、それぞれの役割

√a は、a が0以上のとき、二乗すると a になる0以上の数を表します。a、b が0以上なら √a × √b = √(ab) です。両辺は0以上で、二乗するといずれも ab になるためです。割り算では b が正のとき √a ÷ √b = √(a/b) とできます。割る数が0でないという条件が必要です。

図1のように、係数と根号を分けて眺めます。2√3 × 4√6 なら外側は 2 × 4、中は 3 × 6 です。積は 8√18 で、18 = 9 × 2 なので 24√2 に直せます。根号の外の係数と中の数は、置かれている場所が違います。外の2を中の2と同じ扱いにしないことが出発点です。

図1では係数どうしと根号どうしをそれぞれ対応させ、最後に平方数を取り出しています。√9 = 3 なので √18 = √9 × √2 = 3√2 です。18の半分を外へ出すのではありません。外へ出した3を二乗すれば、もとの因数9に戻ります。

分数の値を保つためには、0でない同じ数を分子と分母の両方に掛けます。たとえば 2/3 に5/5を掛けると 10/15 ですが、これは1を掛けたのと同じです。有理化でも同じ仕組みを使います。分母だけを変える操作は1を掛けたことにならず、元の分数とは別の値になります。

基本例題：分母と分子を一緒に動かす

次の式を計算し、分母を有理化して、根号の中に平方数の因数が残らない形で答えます。

6/√12

まず √12 = 2√3 ですから、分母の整数部分と6を約分できます。図2のように、簡単にした分母に残る √3 を分母と分子の両方へ掛けます。

6/√12 = 6/(2√3)

= 3/√3

= (3 × √3)/(√3 × √3)

= 3√3/3

= √3

図2の分数の上下には、同じ √3 を掛ける2か所を示しています。分母の √3 × √3 が3になるのは、√3 を二乗すると3になるからです。分子には元の3が残るので 3√3 となり、その後に分子と分母を3で割ります。

途中で約分せず、6/√12 に √12/√12 を掛けてもかまいません。6√12/12 = √12/2 = √3 と戻ります。どちらの道でも元の値が同じで、最後の形も一致します。約分してから掛ける方法では計算する数が小さくなるため、途中の確認がしやすくなります。

答えを元の式へ戻しても確かめます。√3 × √12 = √36 = 6 です。つまり、求めた √3 に元の割る数 √12 を掛けると、割られる数6に戻ります。分母を消せたかだけでなく、元の割り算の関係を満たすかを確認します。

少し難しい例題：先に割れるところを探す

次の分数を計算し、分母を有理化したうえで、根号の中に平方数の因数を残さずに答えます。

(3√10)/(2√15)

この式では係数の3と2は約分できません。一方、根号の中の10と15には共通の因数5があります。分子と分母の根号からそれぞれ √5 を取り出せば、同じ数で割ることができます。

(3√10)/(2√15) = (3√2 × √5)/(2√3 × √5)

= 3√2/(2√3)

= (3√2 × √3)/(2√3 × √3)

= 3√6/6

= √6/2

最後は分子の係数3と分母の6を3で割りました。根号の中の6と分母の6を消したわけではありません。√6 は6そのものではないので、数の形を見てから約分します。

この答えに元の分母 2√15 を掛けると、(√6/2) × 2√15 = √90 = 3√10 です。元の分子に戻るため、割り算の関係も合っています。結果が正であることも、正の数どうしの商という元の条件と一致します。

先に分母の √15 を上下へ掛ける方法もあります。その場合は 3√150/30 となり、√150 = 5√6 と整理すれば同じ答えです。平方数の因数を見つける作業が後に移るため、根号内が大きくなります。どちらの道を選んでも、約分は分子全体と分母全体の共通の因数に対して行います。

誤答から、値が変わった場所を探す

1/√5 を有理化するとき、分母に √5 を掛けて 1/5 としてしまう誤りを考えます。図3の上段では分母だけが変わっています。正しくは分子にも √5 を掛けるので、答えは √5/5 です。

図3の下段では、分子と分母に同じ √5 を掛けています。その比は √5/√5 = 1 なので、分数の値は変わりません。元の分数に戻す確かめでは、正しい答えに √5 を掛けると1です。誤答の 1/5 に √5 を掛けても1には戻りません。

別の誤りとして、√8 × √2 を √10 とすることがあります。積の規則では中の数も掛けるため、√16 = 4 です。足し算の操作を混ぜず、式の間にある記号を先に読みます。また、√12 ÷ √3 を √12/3 と書くと、割る数の根号を勝手に外してしまいます。正しくは √(12/3) = √4 = 2 です。

約分でも、根号の中の数だけを分母の整数と消すのは誤りです。たとえば √6/3 の6と3を消して √2 とすると、元の値と違います。√6 の外に3という因数があるかを確かめ、ない場合はそのままにします。反対に 3√6/6 なら分子全体に3が掛かっているため、係数3と分母6を約分できます。

負の符号がある式では、根号の整理が合っていても符号を落とすことがあります。負の数を正の数で割った結果は負です。最後の答えの符号を、元の積や商の符号と照らし合わせる習慣を付けます。途中の1行ごとに何を掛け、何で割ったかを言葉にできれば、違う値へ変わった箇所を探せます。

計算の途中で立ち止まる場所

根号の計算を始める前には、分母が0でないことを確認します。たとえば 5/√4 は分母が2なので計算できますが、5/√0 は0で割る形であり、値を求める操作はできません。分母を有理化するために √0 を上下へ掛けようとしても、掛ける比が0/0になり、1とはいえません。問題に数字が書かれていても、割り算が成立するかを先に見ることが必要です。

また、途中の形が違っても、すぐにどちらかが誤りとは限りません。たとえば 2/√8 は √8/4 とも √2/2 とも書けます。前者の分子を √8 = 2√2 と直して約分すると後者になります。ただし、指定が簡単な形なら、平方数を取り出して約分したところまで書きます。途中式を残しておけば、値が違うのか、整理がまだ続くのかを区別できます。

時間が足りなくなったときも、分母に掛けた数を分子へ書き忘れないことを優先します。計算の途中で手が止まったら、直前の式に戻って、上下に同じ数を掛けたか、分母が0でないかを確かめます。根号の中を分解できない場合は、すぐに数を外へ移さず、4、9、16などの平方数で割り切れるかを順に調べます。見つからなければ、無理に整数に変えず、その根号を残します。

計算の答えを確かめるとき、近い小数に直す方法は符号や大きさの見当を付ける助けにはなりますが、丸めた値の一致だけでは厳密な等しさを示せません。積なら正負と二乗、商なら答えに割る数を掛けて元へ戻るかを調べます。元の式と最後の式がどちらも負なら、符号を含めた掛け戻しが特に役立ちます。操作の理由を1行ずつ残すと、計算の途中で異なる値に変わった場合にも場所を探せます。

練習問題

次の4問は、それぞれ計算し、分母を有理化して、根号の中に平方数の因数が残らない形で答えてください。計算結果そのものが整数なら根号を残さず、それ以外は根号を含む正確な値で答えます。先に4問を解き、後の解答で途中の操作を照らし合わせます。

1. 3√2 × 2√6
2. √75 ÷ √3
3. 4/√6
4. (-2√14)/(3√7)

答えと解き方

1. 係数と根号を分ける

3√2 × 2√6 = 6√12 = 12√3 です。係数は 3 × 2 = 6、根号の中は 2 × 6 = 12 です。√12 = 2√3 を使い、外の6にも2を掛けます。

元の積に戻るかは二乗して確かめられます。元の2つは正で、その積の二乗は (3√2)² × (2√6)² = 18 × 24 = 432 です。答え 12√3 も正で、二乗は 144 × 3 = 432 です。正の数どうしで二乗が一致するので、積と答えは一致します。

2. 商を根号の中で計算する

√75 ÷ √3 = √(75/3) = √25 = 5 です。割る数 √3 は0ではないため、根号の中で割れます。答えの5に √3 を掛けると 5√3 = √75 となり、元の割られる数に戻ります。

√75 を先に 5√3 としても、5√3 ÷ √3 = 5 です。根号を取り出す道と先に割る道が合うかを比べると、中の商を間違えた場合も見つけやすくなります。根号を付けたまま √25 で止めず、整数に直します。

3. 分子にも同じものを掛ける

4/√6 = 4√6/6 = 2√6/3 です。最初の変形では分母と分子の両方に √6 を掛け、次に分子の係数4と分母6を2で割ります。√6 の中身を2で割ったのではありません。

答えに元の分母を掛けると、(2√6/3) × √6 = 2 × 6/3 = 4 です。元の分子4に戻るので、分数の値を保ったことも確認できます。分母を6にした時点で分子が4のままなら、この確認で4に戻りません。

4. 負の符号を残して約分する

(-2√14)/(3√7) = -2√2/3 です。√14 = √2 × √7 なので、分子と分母の共通因数 √7 を消せます。分母は整数になり、分子の根号の中に平方数の因数は残りません。

答えに元の分母を掛けると、(-2√2/3) × 3√7 = -2√14 です。元の分子と一致し、負の数を正の数で割った答えが負になることも合っています。もし正の答えになったら、根号の整理に進む前の符号から見直します。

覚えておくこと

根号どうしの積と商は、条件を確かめて中を掛けたり割ったりします。
分数の有理化では、分子と分母に同じ0でない数を掛けます。
約分は分子全体と分母全体に共通する因数で行います。
最後に平方数の因数、符号、元の割り算への戻りを確かめます。

どこで止まったかを見分ける

分母が整数になったのに答えが合わないときは、有理化の前後で分子がどう変わったかを見ます。分子が変わっていなければ、同じ数を上下へ掛ける意味を分数の1倍から確認します。途中の値を説明できれば、誤りを直す位置が明確になります。

根号の中に大きな数が残る場合は、積や商を計算した後で平方数の因数を探せるかを確かめます。個別指導では、お子さまに途中の1行を指してもらい、どの因数を外へ出し、二乗すると何に戻るかを言葉にしてもらいます。係数の約分と根号内の整理を別々に説明できるかも確認します。

正負の判断で止まる場合は、まず根号を含む数が正か負かを読み、その後で積や商の符号を決めます。答えに元の割る数を掛けて割られる数へ戻す作業まで行うと、符号と分数の操作を同時に点検できます。値を保つ一手ずつが、平方根の乗除を支えます。