高校物理 単振動とばね振り子—つり合いからの変位を使って周期と最大速度を求める｜武蔵野個別指導塾

鉛直ばねの自然長とつり合い位置を区別し、変位から周期、最大速さ、加速度を求める道筋をたどります。

よくあるのは、鉛直につるしたばねの自然長からの伸びを、そのまま単振動の変位として式に入れる場面です。おもりをつけると、重力によって静止する位置が自然長の位置からずれます。運動の中心はどちらでしょうか。まずつり合いの位置を求め、そこを原点にして位置と力を記録すると、水平なばねと共通する式が現れます。自然長からの伸びも力を出すために必要ですが、変位とは別の量として扱います。

何を基準に問われるか

定期テストでは、まず力の式から周期を求める型があります。おもりに働く力を正方向に沿って合計し、変位に比例して中心を向く形になっているかを見ます。鉛直の場合は重力を省かずに書き、つり合いの式を使って整理します。

次に、振幅と位置から速度や加速度を求める型があります。端では速度が0でも力は0ではありません。中心では合力が0でも、通過する速さは最大です。向きまで答える問題では、同じ位置を逆向きに通る2通りを区別します。

もう1つは、グラフや初期条件から時刻を読む型です。右端から静かに放したのか、中心を正方向に通過したのかによって、同じ振幅と周期でも時刻0の式は変わります。学校のノートで使った正方向と時刻の原点を問題ごとに書き直しましょう。

中心を決めて運動を見る

図1のように、水平面上のおもりのつり合い位置を O とし、右向きを正に取ります。ばねは自然長で O にあり、摩擦はありません。O から右への位置を x とすると、ばねの力は F = -kx です。k はばね定数で、負号は力が変位と反対向きであることを示します。左側では x が負なので、力は右向きです。

図1の両端のように、中心から最も離れた位置までの距離を振幅 A と呼びます。変位は符号つきの位置、振幅は0以上の距離です。質量を m とすると運動方程式は ma = -kx、したがって a = -(k/m)x です。このように加速度が変位に比例して反対を向く運動を単振動といいます。

角振動数を ω = √(k/m) と置けば、周期は T = 2π/ω = 2π√(m/k) です。単位は m が kg、k が N/m のとき秒です。質量を4倍にすると周期は2倍、ばね定数を4倍にすると周期は半分です。振幅はこの理想的なばねの周期に入りません。周期の式を覚える際も、質量を増やせば動きがゆっくりになる関係を点検できます。

右端 x = A から静かに放した時刻を0とすると、x = A cos(ωt)、v = -Aω sin(ωt)、a = -Aω² cos(ωt) です。cos は角度0で1、π/2で0、πで-1となる関数です。sin はそれぞれ0、1、0です。t = T/4 では x = 0、v = -Aω、a = 0 です。右から中心へ向かうので速度は負です。t = T/2 では左端に達し、速度は0、加速度は正です。速度は変位より周期の4分の1だけ位相が進み、加速度は変位と反対の位相です。向きと時刻を一緒に確かめると、符号を取り違えにくくなります。

力学的エネルギーをつり合い位置のばねの位置エネルギー0で表すと、(1/2)mv² + (1/2)kx² = (1/2)kA² です。右辺は端で速度が0のときの値です。よって速さは |v| = ω√(A² − x²)、最大速さは Aω です。同じ位置では速さの大きさが同じでも、進行方向によって速度の符号は変わります。

時刻の式を作るときは、時刻0の位置と速度の向きを照合します。中心を正方向に通過するなら x = A sin(ωt) です。時刻0で位置が0になり、その直後には正の側へ進むからです。右端から放す式をそのまま使うと、時刻0の位置が端になってしまいます。式を選んだ後にも、4分の1周期後の位置が実際の進行先と一致するか確かめましょう。

エネルギーの式は速さの大きさを決めますが、往路と復路の向きは決まりません。位置が正であっても、右へ進んでいる場合と左へ戻っている場合があります。時刻や直前の運動が指定されなければ、速度には正負の2通りを示します。端では2通りがともに0となり、中心では速さが最大です。

基本例題：水平面の往復

軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 0.50 kg の小物体をつけます。ばね定数は 8.0 N/m、水平面は滑らかで、ばねはフックの法則に従います。自然長の位置を O、右向きを正とし、小物体を O から右に 0.30 m 引いて静かに放します。周期、最大速さ、左端に達するまでの時間を、πと根号を残す形と単位で求めてください。

図2のように、放した位置から O までの距離が振幅です。右端ではばねが伸び、力は左向きです。O は自然長の位置であり、水平の力がつり合う位置でもあります。

まず、質量とばね定数から角振動数を計算します。

ω = √(k/m) = √(8.0/0.50) = 4 rad/s

したがって周期は次の通りです。

T = 2π/ω = 2π/4 = π/2 s

振幅は A = 0.30 m です。速さは O で最大となるので、

最大速さ = Aω = 0.30 × 4 = 1.2 m/s

右端から左端までは1往復の半分です。放した瞬間からの時間は T/2 = π/4 s です。端で放すので初速は0であり、x = 0.30 cos(4t) と表せます。t = π/4 s を戻すと x = 0.30 cos π = -0.30 m となり、確かに左端です。

エネルギーでも最大速さを照合します。端でのばねのエネルギーは (1/2) × 8.0 × 0.30² = 0.36 J です。O で速さ 1.2 m/s なら運動エネルギーは (1/2) × 0.50 × 1.2² = 0.36 J となり、最初の値に戻ります。力が0の点で速度も0とする誤りは、この照合で見つけられます。

鉛直では重力を消す前に書く

軽いばねを天井につるし、質量 0.20 kg のおもりをつけます。ばね定数は 20 N/m、重力加速度は計算用に 10 m/s² とします。ばねは伸縮中ずっとフックの法則に従い、おもりは鉛直に動き、抵抗はありません。静止した位置から下へ 0.040 m 引いて静かに放します。周期、最大速さ、放した瞬間の加速度を、πを残し単位と加速度の向きをつけて求めてください。

下向きを正とし、自然長からつり合い位置までの伸びを d とします。静止時はばねの上向きの力 kd と重力 mg が等しいため、

20d = 0.20 × 10 = 2.0

d = 0.10 m

つり合い位置から下向きに x だけ移動したとき、自然長からの伸びは d + x です。ばねの力を上向き、重力を下向きとして合力を立てます。

ma = mg − k(d + x) = (mg − kd) − kx = -kx

つり合いの条件 mg = kd を使って初めて定数項が消えます。したがって ω = √(20/0.20) = 10 rad/s、周期 T = 2π/10 = π/5 s です。振幅はつり合い位置からの 0.040 m なので、最大速さは 0.040 × 10 = 0.40 m/s です。

放した瞬間は x = 0.040 m ですから、a = -ω²x = -100 × 0.040 = -4.0 m/s²、つまり上向きに 4.0 m/s² です。実際にその位置で伸びは 0.14 m、ばねの上向きの力は 2.8 N、重力は下向きに 2.0 N です。合力は上向き 0.80 N で、質量 0.20 kg を割ると同じ加速度になります。

自然長から静かに放す条件なら、最初の変位は -d で、初速0ですから振幅は d です。つり合い位置から速さを与えて通過させる条件なら、振幅は初速を ω で割って求めます。引いた距離を常に振幅とするのではなく、初速度も条件に入れて判断します。鉛直でも位置エネルギーに重力の分を含めて整理すれば、つり合い位置を基準としたエネルギーの変化は (1/2)kx² で表せます。

誤答を力の向きから戻す

図3のように、自然長より下に静止位置がある鉛直ばねを考えます。自然長からの伸びを y、つり合い位置から下向きの変位を x とすると、y = d + x です。たとえば静止位置そのものでは y = d ですが、x = 0 です。

誤答は「伸び y を変位として a = -(k/m)y」とする式です。これでは静止位置で上向きの加速度が残り、静止できません。原因は、ばねの力を求める伸びと、合力が0になる位置からの変位を混ぜたことです。修正するときは mg − ky を先に書き、y = d + x と mg = kd を代入します。図3の静止位置へ戻して x = 0、a = 0 になるかを確認します。

もう1つの誤りは、端で加速度も0とすることです。端では一瞬止まって折り返しますが、ばねの力によって中心へ加速しています。一方、中心では加速度が0でも、それまでに得た速度で通過します。時刻を4分の1周期ずつ進め、位置、速度の向き、加速度の向きを別々に書くと、折り返しと通過を区別できます。

練習：条件を変えて試す

次の問題では、ばねは軽くフックの法則に従い、抵抗や摩擦はありません。答えはπと根号を残し、単位と指定された向きをつけてください。

1. 水平ばねに質量 2.0 kg の物体をつけます。ばね定数は 18 N/m です。自然長の位置から右へ 0.20 m 引いて静かに放したとき、周期と最大速さを求めてください。
2. 水平ばねの角振動数は 5 rad/s、振幅は 0.10 m です。つり合い位置を右向きに通過した時刻を0とします。最初に右端に達する時刻と、その瞬間の加速度の大きさと向きを求めてください。
3. 鉛直ばねに質量 0.30 kg のおもりをつけると、静止時に自然長から 0.15 m 伸びます。重力加速度は計算用に 10 m/s² とします。ばね定数と周期を求めてください。
4. 水平ばねにつけた物体の質量は 1.0 kg、ばね定数は 16 N/m です。つり合い位置で右向きに 0.80 m/s の速度を与えました。振幅と、つり合い位置から右に 0.10 m の位置を初めて通過するときの速度を求めてください。

解答と途中の確認

1. ω = √(18/2.0) = 3 rad/s です。周期は 2π/3 s、最大速さは 0.20 × 3 = 0.60 m/s です。端のエネルギーは (1/2) × 18 × 0.20² = 0.36 J、中心での運動エネルギーも (1/2) × 2.0 × 0.60² = 0.36 J です。中心の速さとして条件に戻ります。

2. 中心から右端までは4分の1周期です。T = 2π/5 s なので、時刻は π/10 s です。右端で x = 0.10 m、a = -ω²x = -25 × 0.10 = -2.5 m/s² です。加速度は左向きに 2.5 m/s² です。x = 0.10 sin(5t) に時刻を戻すと x = 0.10 m となり、右端に一致します。

3. 静止時の力のつり合いは k × 0.15 = 0.30 × 10 です。よって k = 20 N/m、周期は 2π√(0.30/20) = π√6/10 s です。静止時のばねの力は 20 × 0.15 = 3.0 N で、重力 3.0 N と等しくなります。自然長からの伸びを周期の振幅として使う必要はありません。

4. ω = √(16/1.0) = 4 rad/s です。中心での速さが最大なので A = 0.80/4 = 0.20 m です。エネルギーから v² = ω²(A² − x²) = 16(0.20² − 0.10²) = 0.48 です。初めて右側を通過するときは右向きなので、速度は右向きに 2√3/5 m/s です。この速度での運動エネルギー 0.24 J と、ばねのエネルギー (1/2) × 16 × 0.10² = 0.08 J を足すと 0.32 J です。初めの運動エネルギー (1/2) × 1.0 × 0.80² と一致します。戻るときは同じ速さで左向きです。

手元に残す要点

• 鉛直ばねでは mg = kd でつり合いの伸び d を求めます。
• つり合い位置からの変位 x に対し、合力は -kx です。
• 周期は 2π√(m/k)、最大速さは A√(k/m) です。
• 端では速度0、中心では加速度0です。
• 速度の符号は、その位置を通る向きで決まります。

自分の答案で鉛直方向の式に自然長からの伸びしか書かれていなければ、静止位置でも加速度が残らないかを試します。周期の値が合っていても、振幅をどこから測ったかが曖昧なら最大速さは誤ることがあります。個別指導で確かめるなら、図に自然長、静止位置、現在位置の3点を描き、それぞれの距離と力を本人の言葉で説明できるかを見ます。式に代入する前に向きを指で示し、答えを元の位置へ戻す習慣が、ばね振り子の答案を支えます。