高校物理 運動量と力積—力の時間変化の面積から速度変化を符号つきで求める｜武蔵野個別指導塾

跳ね返る球の符号と力の時間グラフの面積から、平均の力につながる力積を読む。

よくあるのは、壁に向かっていた球が跳ね返る場面で、衝突前後の速さをそのまま引き算してしまう場面です。速さは向きを含みませんが、速度と運動量には向きがあります。右を正と決めたら、左向きの速度に負の符号を付けて、後の値から前の値を引きます。向きが反転するときの変化を、力が作用した時間と結び付けて追いかけましょう。

答案で求められる3つの形

1つ目は、質量と衝突前後の速度から運動量の変化を出し、球が受けた力積を求める形です。速さと速度を区別し、正方向を最初に記すことが出発点です。壁が球に与えた力積と、球が壁に与えた力積は向きが逆です。どちらを尋ねられているかを読み落とさないようにします。

2つ目は、一定の力が一定時間働く場合です。力の向きを符号で表し、力に時間を掛けます。接触時間が短いほど、同じ速度変化を起こす平均の力は大きくなります。力そのものと、力が働いた結果である力積を同じ単位で書かないことも必要です。

3つ目は、力が時間とともに変わるグラフからの読み取りです。横軸を時間、縦軸を力としたとき、力積はグラフと時間軸に囲まれた符号付きの面積に対応します。軸より下の部分は負として数えます。面積を求めた後、初めの運動量に加えると後の運動量が出ます。

この範囲では一つの物体に働く力と速度の変化を扱います。複数の物体を一つの系とする運動量保存や反発係数の計算は扱いません。力学の式を使う前に、対象と時間の区間を明記する習慣をつけます。

向きと時間をそろえる

質量を m、速度を v とすると、運動量 p は p = mv です。質量が正なので運動量の向きは速度の向きと同じです。単位は kg・m/s です。一直線上の問題では、座標の正方向を決めて速度を正負の数で表せます。例えば右を正に取れば、右向きの速度は正、左向きは負です。物体が一瞬止まっているなら、その瞬間の運動量は0です。

図1のように、球が右へ進んでから左へ戻る場合を考えます。右向きを正とすると、前の速度は正、後の速度は負です。変化は「後 − 前」ですから、速度変化は負になります。運動量の変化も負であり、球が受けた合力の力積は左向きです。球の進行方向と、球に働く力の向きが必ず一致するわけではありません。

一定の合力 F が時間 Δt だけ働くと、力積 I は I = FΔt です。運動量と力積の関係は I = p後 − p前 = m(v後 − v前) です。質量が一定の物体について、力が働く前と後の速度を同じ正方向で表して使います。力積の単位 N・s は kg・m/s と同じ次元です。N と N・s を取り違えると、平均の力と力積の答えを見分けられません。

力が時間によって変わるときも、各時間帯の力積を足し合わせます。グラフの縦軸が合力なら、各部分の符号付き面積の合計が運動量の変化です。一定の力なら長方形、直線的に増減する力なら三角形や台形の面積を用います。横軸の単位が ms なら、1000 ms = 1 s として秒へ直してから計算します。

平均の力は、同じ時間に同じ力積を与える一定の力です。合力の力積をその時間で割ります。最大の力とは異なり、グラフの高さの最大値をそのまま平均にしません。個々の力のグラフが与えられたときは、その力の力積を計算できますが、運動量変化に等しいのは対象に働く全ての力の力積の和です。

基本例題：台車を一定の力で押す

滑らかな水平面上で、質量 2 kg の台車が右向きに 3 m/s で進んでいます。右を正とし、水平な合力 4 N が左向きに 2 s 間働きます。台車の質量は一定で、床との摩擦と空気抵抗は無視します。力積を符号付きで、後の速度を向きとともに求めてください。答えは整数とし、単位を付けます。

図2のように、最初の速度は正ですが、働く合力は左向きです。力と速度の符号を別々に決めてから計算します。鉛直方向の力はつり合い、指定された水平合力をそのまま使えます。

まず合力を符号付きで表します。

F = -4 N

作用時間は Δt = 2 s なので、力積は次の値です。

I = FΔt = (-4 N) × (2 s) = -8 N・s

前の速度は v前 = 3 m/s です。前の運動量は、

p前 = (2 kg) × (3 m/s) = 6 kg・m/s

力積は運動量の変化ですから、後の運動量を p後 とすると、

p後 − 6 = -8

p後 = -2 kg・m/s

最後に質量で割ります。

v後 = (-2 kg・m/s) / (2 kg) = -1 m/s

したがって力積は -8 N・s、後の速度は左向きに 1 m/s です。負の数は、あらかじめ決めた正方向とは反対であることを表します。答えを場面に戻すと、前は右向きの運動量 6、後は左向きの運動量 2 なので、変化は -2 − 6 = -8 kg・m/s です。力積と一致します。

さらに一定の合力から加速度は -4 / 2 = -2 m/s² です。速度は 3 − 2t と表せ、1.5 s で0になった後、左向きになります。2 s 後の位置は出発点から 3 × 2 + (-2) × 2² / 2 = 2 m 右です。最後の速度は左向きでも、最初の位置より右にいることと矛盾しません。途中で向きが変わるため、速度と位置の向きを混同しないことが確認できます。

グラフが時間軸を横切る場合

質量 1 kg の小球が水平な滑らかな面上を右向きに 2 m/s で進みます。右を正とし、水平合力は 0 s から 2 s まで +3 N、2 s から 3 s まで -4 N です。境目で力は瞬時に切り替わり、他の水平力と空気抵抗は無視します。3 s 後の速度と、0 s から 3 s の平均の合力を、整数または既約分数と単位、向きで答えてください。

初めの区間の力積は長方形の面積で、(+3 N) × (2 s) = +6 N・s です。次の区間は軸より下なので、(-4 N) × (1 s) = -4 N・s です。符号を保って足すと、全体の力積は +6 − 4 = +2 N・s です。面積の大きさを足した 10 N・s ではありません。

前の運動量は 1 × 2 = +2 kg・m/s です。後の運動量は +2 + 2 = +4 kg・m/s なので、速度は右向きに 4 m/s です。平均の合力は全力積を全時間で割り、+2 / 3 N、すなわち右向きに 2/3 N です。平均の合力については分数で表します。

各区間に戻しても確かめられます。2 s 後の運動量は +2 + 6 = +8 kg・m/s、3 s 後は +8 − 4 = +4 kg・m/s です。後半は左向きの力で減速しますが、運動量は正のままです。したがってこの条件では、後半に球が左へ戻るわけではありません。力が負であることと、速度が負であることは別の判断です。

グラフの面積を使う際の分かれ目は、時間軸の上と下です。片方の面積がもう片方より大きければ合計の向きは大きい側で決まります。同じ大きさなら合計は0で、初めと終わりの運動量は等しくなります。ただし途中の運動量まで一定とは限りません。区間ごとの面積と累積の面積を分ければ、その違いを説明できます。

符号を落とした答案の直し方

図3は、右向きの速度から左向きの速度へ変わる球を表します。右を正にして、前を +5 m/s、後を -3 m/s とします。速さの差を 3 − 5 = -2 m/s とする誤答は、後の速度に負号を付けていないことが原因です。正しくは速度変化が (-3) − (+5) = -8 m/s です。質量が決まれば、これに質量を掛けて運動量変化を求めます。

答案を直すときは、数値だけを消して書き換える前に、前後の矢印を描きます。正方向を一本選び、それぞれの矢印に正負を付けます。次に「後 − 前」を括弧付きで書けば、マイナスを引く場合にも対応できます。速さが同じでも向きが反対なら速度変化は0ではありません。

もう一つの誤りは、三角形の力–時間グラフで、最大の力に時間を掛けて長方形の面積にすることです。力が0から直線的に増え、再び0に戻る三角形なら、面積は底辺 × 高さ / 2 です。時間軸より上にある場合、平均の力は最大値の半分になります。下側なら面積に負の符号を付けます。三角形以外の形では、最大値の半分という関係を無条件に使えません。

合力ではなく接触力のグラフが与えられる場合も注意します。対象に別の力が働くなら、それぞれの力積を足してから運動量変化と等しくします。問題が他の力を無視できると指定しているかを読み、接触力の面積をそのまま合力の面積とみなせる条件を確認します。

練習：条件を図に移す

いずれも質量は一定、水平面は滑らかで空気抵抗は無視します。右を正とし、答えには単位と向きを付け、整数または既約分数で表してください。問題ごとに物体と時間区間を取り直します。

1. 質量 3 kg の荷物が左向きに 2 m/s で動いています。右向きの一定の合力 6 N が 2 s 間働きました。合力の力積と、その後の速度を求めてください。
2. 質量 0.5 kg の球が右向きに 4 m/s で進み、壁との接触後に左向きに 2 m/s で離れました。接触中、壁から球への力以外の力積は無視でき、接触時間は 0.03 s です。壁が球に与えた力積と平均の力を求めてください。
3. 静止している質量 2 kg のそりに、右向きの水平合力が 4 s 間働きます。合力は 0 s から 2 s で 0 N から 6 N まで直線的に増え、2 s から 4 s で 6 N から 0 N まで直線的に減ります。力積、4 s 後の速度、平均の合力を求めてください。
4. 質量 4 kg の箱が左向きに 1 m/s で動いています。初めの 1 s は右向きに 8 N、次の 2 s は左向きに 2 N の水平合力が一定に働きます。3 s 後の速度と全区間の平均の合力を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 前の運動量は 3 × (-2) = -6 kg・m/s です。合力の力積は 6 × 2 = +12 N・s、後の運動量は -6 + 12 = +6 kg・m/s です。速度は 6 / 3 = +2 m/s なので、力積は右向きに 12 N・s、速度は右向きに 2 m/s です。前後の運動量の差は 6 − (-6) = 12 となり、力積に戻ります。一定の加速度は 2 m/s² で、1 s 後に停止してから右に進みます。2 s 後は出発位置に戻り、向きの反転と整合します。

2. 前の運動量は 0.5 × 4 = +2 kg・m/s、後は 0.5 × (-2) = -1 kg・m/s です。差は -1 − 2 = -3 kg・m/s なので、壁が球に与えた力積は左向きに 3 N・s です。平均の力は -3 / 0.03 = -100 N、左向きに 100 N です。平均の力を接触時間に掛け直すと -100 × 0.03 = -3 N・s です。後の速度は壁から離れる向きであり、設定に合います。

3. 力–時間グラフは底辺 4 s、高さ 6 N の三角形です。力積は 4 × 6 / 2 = +12 N・s です。前の運動量は0なので、後の運動量は +12 kg・m/s、速度は 12 / 2 = +6 m/s です。平均の合力は 12 / 4 = +3 N です。いずれも右向きで、後の運動量から前の0を引くと +12 kg・m/s に戻ります。前半と後半の面積は各 6 N・s で、2 s 時点の速度は右向きに 3 m/s です。後半も力が正なので、その後の速度は増加します。

4. 初めの運動量は 4 × (-1) = -4 kg・m/s です。前半の力積は +8 × 1 = +8 N・s、後半は -2 × 2 = -4 N・s です。合計は +4 N・s なので、後の運動量は -4 + 4 = 0 kg・m/s、速度は 0 m/s です。平均の合力は +4 / 3 N、右向きに 4/3 N です。1 s 後の運動量は +4 kg・m/s で、その後 -4 N・s を受けて0になります。平均の力に全時間を掛けても +4 N・s に戻ります。

答案に残す4行

正方向と対象を決めて、前後の速度に符号を付けます。
合力の力積は、後の運動量から前の運動量を引いた値です。
力–時間グラフは軸の上下を区別して面積を足します。
平均の合力は全力積を全時間で割ります。

自分の式のどこを見直すか

答えの向きが合わない場合は、まず前後の速度の符号と引く順序を声に出して確認します。数値の大きさが合わない場合は、力のグラフの面積を長方形や三角形に分け、時間を秒に直したかを見ます。平均の力が合わない場合は、最大値を使っていないか、全体の力積を全体の時間で割ったかを調べます。

個別指導で答案を見てもらうときは、正方向を書いた図、力積の式、前後の運動量の3点を示すと、読み取りと計算のどちらでずれたかを話し合えます。接触力と合力を取り違えた場合には、対象に働く他の力とその時間を一緒に確認します。速度の矢印と面積の符号がつながれば、跳ね返りの変化を自分の式で説明できます。