高校物理 運動量保存と衝突—外力の力積を見分けて衝突前後の速度を決める｜武蔵野個別指導塾

合体する台車の速度とエネルギーの減少を計算し、反発や分裂へとつながる運動量保存を考えます。

よくあるのは、高校生が合体する台車の衝突前後に運動エネルギー保存を使う場面です。合体後も2台は動きますが、衝突では変形や熱などにエネルギーが移ることがあります。2台をまとめて対象に取り、外から受ける力積を調べましょう。速度の向きも符号に含めれば、衝突の前後を同じ軸で比べられます。

どの条件から式を立てるか

出方の1つは合体と分裂です。2物体がくっつけば、直後の速度は共通です。静止していた物体が内部のばねなどで分かれるときは、分裂後の各部分の運動量の和を、分裂前の全体の運動量と比べます。どちらも対象全体に働く外力の力積を確認してから、保存の式を使います。

もう1つは、はね返る2物体の速度です。未知の速度が2つなら、運動量保存の式1本だけでは決まりません。反発係数が与えられたときは、接近する相対速度と離れる相対速度の関係をもう1本の式にします。反発係数を個々の速度の比と取り違えないことが分かれ目です。

平面内で向きが変わる衝突もあります。速度を互いに垂直な2方向に分け、方向ごとに運動量の和を比べます。それぞれの方向で外力の力積を無視できるかを確かめます。向きの違う運動量の大きさを、そのまま足してはいけません。

系と方向を決める

質量 m、速度 v の物体の運動量は mv です。速度と運動量は向きを持つ量です。直線上で右向きを正と決めれば、左向きの速度は負になります。2物体を合わせた系では、衝突中に互いが及ぼす力は大きさが等しく向きが反対です。それらの力積は全体として打ち消し合います。一方、床や壁など系の外から受ける力積は残ります。

図1のように台車2台を系に取ると、互いに押し合う力は内力です。水平な床からの垂直抗力と重力は鉛直方向に働きます。摩擦を無視できるなら水平外力の力積は0なので、水平方向の運動量が保存します。鉛直方向も保存すると先に決めるのではなく、その方向の外力の力積を調べます。衝突時間が短くても、壁から大きな力を受ける場合には壁の力積を無視できないことがあります。

図1では枠の内側が対象です。対象を台車1台に変えると、もう一方の台車からの力は外力になり、その1台の運動量は一般に保存しません。保存の式を書く前に、何を枠に入れたかを答案に明記します。力の大きさが不明でも、2台の間の力積が全体では相殺されることが、まとめて考える利点です。

一直線上でAがBに接近する場合、衝突前の速度を uA、uB、後を vA、vB とし、右向きを正にします。Aが左、Bが右にあって uA > uB のとき、反発係数 e は (vB − vA)/(uA − uB) です。分母は近づく速さ、分子は離れる速さです。通常の衝突では 0 ≦ e ≦ 1 で、e = 0 は衝突直後の相対速度が0、e = 1 は完全弾性衝突です。合体は e = 0 の場合ですが、e = 0 だから必ず接着するとは限りません。

衝突の前後を比べる時点もそろえます。衝突前は接触する直前、衝突後は互いに力を及ぼし終えた直後です。途中の一瞬の速度を混ぜると、反発係数の式が表す接近と分離の速さになりません。衝突の後に別の力が長く働く問題では、その後の運動を衝突と分けて考えます。

外力がある場合も、保存を使える成分が残ることがあります。例えば水平面上の運動では、重力と床の垂直抗力は鉛直方向の力です。水平摩擦が無視できるという条件があれば、水平方向の運動量の式を立てられます。逆に水平に壁から力積を受ける物体を単独で扱うなら、その力積を含む運動量変化の式が必要です。

合体する台車を計算する

【基本例題】摩擦を無視できる水平な直線レール上で、質量 2 kg の台車Aが右向きに 3 m/s で進み、静止している質量 1 kg の台車Bに衝突して合体します。衝突中の水平外力の力積は0とします。合体直後の速度を向きと整数で、衝突前後の運動エネルギーの減少を整数で求めます。

図2のように右向きを正とし、合体後の共通速度を v m/s と置きます。対象はAとBの両方です。水平外力の力積が0なので、衝突前後の水平運動量は等しくなります。

衝突前の運動量は、Aが 2 × 3 = 6 kg m/s、Bが 1 × 0 = 0 kg m/s です。衝突後は合計質量が 3 kg なので、運動量は 3v kg m/s です。したがって、

2 × 3 + 1 × 0 = (2 + 1)v

6 = 3v

v = 2 m/s

正の値なので、合体直後は右向きに 2 m/s です。元の場面に戻すと、後の運動量は 3 × 2 = 6 kg m/s で、前の 6 kg m/s と一致します。合体を条件としているので、2台の速度が等しいことも満たします。

衝突前の運動エネルギーは (1/2) × 2 × 3² = 9 J です。衝突後は (1/2) × 3 × 2² = 6 J です。減少は 9 − 6 = 3 J となります。運動エネルギーの減少を、エネルギーそのものが消えたと考えないでください。変形や熱などに移る分があるため、台車の並進運動のエネルギーは保存しません。

もし誤って前後の運動エネルギーを等しく置けば、共通速度の大きさは 2 m/s と一致せず、運動量の条件に合いません。どの量を保存させるかは、衝突の前後の様子と外力の力積から判断します。

はね返りの関係を加える

【発展例題】摩擦を無視できる水平な直線上で、質量 1 kg の球Aが右向きに 5 m/s、質量 2 kg の球Bがその右側を右向きに 1 m/s で動き、正面衝突します。衝突中の水平外力の力積は0、反発係数は 1/2 です。衝突直後の各速度を右向きを正とする整数で、単位を付けて求め、衝突前後の運動エネルギーの減少も整数で求めます。

右向きを正とし、衝突後をそれぞれ vA、vB m/s とします。運動量保存から、

1 × 5 + 2 × 1 = vA + 2vB

vA + 2vB = 7

衝突前にAがBへ近づく速さは 5 − 1 = 4 m/s です。衝突後にBがAから離れる速さは vB − vA なので、

vB − vA = (1/2) × 4 = 2

vA = vB − 2 を保存の式に代入すると、3vB − 2 = 7 です。よって vB = 3 m/s、vA = 1 m/s です。2球は衝突後に同じ向きへ進みますが、Bがより速いため互いに離れます。後の運動量は 1 × 1 + 2 × 3 = 7 kg m/s で、前と一致します。離れる速さ 2 m/s と近づく速さ 4 m/s の比も 1/2 です。

前の運動エネルギーは (1/2) × 1 × 5² + (1/2) × 2 × 1² = 27/2 J、後は (1/2) × 1 × 1² + (1/2) × 2 × 3² = 19/2 J です。減少は 4 J です。e = 1 なら、このような直線上の2物体の衝突では運動エネルギーも保存します。e が 1 未満なら、相対運動に伴う運動エネルギーの一部が別の形に移ります。

壁との衝突に置き換えると、球2個の系と同じ式を使えるとは限りません。壁が球へ与える力積は、球を系に取れば外力の力積です。壁を含めた系を考える場合も、壁を固定する外部からの作用まで検討する必要があります。保存の条件が与えられていない場合は、反発係数の式だけで系全体の運動量保存を決めないようにします。

符号と保存量の誤りを直す

図3のように、右向きに進んだ球が左向きにはね返ったとします。例えば、衝突前を右向きに速さ u、後を左向きに速さ w としたとき、右向きを正にした後の速度は -w です。左向きの速さ w をそのまま正の速度として式に入れると、衝突後も右へ進む別の状態を表してしまいます。

図3の矢印を見ながら、速度欄に符号を書いてから質量を掛けます。速さは負になりませんが、決めた軸に沿う速度は負になり得ます。計算結果が負なら、正方向と反対に進むと読みます。符号が合わないと感じたときは、途中式の値だけを直さず、矢印と速度欄まで戻ります。

もう一つの誤答は「衝突だから運動量も運動エネルギーも保存する」というものです。原因は、保存する系と衝突の種類を区別していないことです。合体なら共通速度と運動量保存を先に使い、エネルギーは前後で別々に計算します。はね返る場合は、反発係数または完全弾性という条件が必要です。式の数が足りないからといって、与えられていない保存則を追加してはいけません。

平面の問題では、右向きと上向きを正に取り、各物体の運動量を横と縦の成分に分けます。斜めの速度が水平となす角を θ とすれば、右上向きの成分は v cosθ と v sinθ です。左や下を向く成分には負号を付けます。ベクトルの矢印を描いてから各成分の和を取れば、向きの異なる速さを直接加える誤りを避けられます。

手を動かして確認する問題

各問は空気抵抗と床の摩擦を無視し、指定した方向の外力の力積は0とします。答えは整数または既約分数で、速度には単位と向きを付けてください。

1. 水平直線上で質量 3 kg の台車が右向き 4 m/s で進み、静止した質量 1 kg の台車と衝突して合体します。直後の共通速度と運動エネルギーの減少を求めます。
2. 水平直線上で質量 2 kg の小物体Aが右向き 4 m/s、右側の質量 2 kg のBが静止しています。正面衝突の反発係数は 1/2 です。直後のそれぞれの速度を求めます。
3. 静止した質量 5 kg の物体が、内部のばねの作用で質量 2 kg と 3 kg の2片に分かれます。2 kg の片が左向き 6 m/s になったとき、もう一方の速度を求めます。水平直線上の運動とします。
4. 水平な平面上で静止していた質量 3 kg の物体が、内部の作用で質量 1 kg と 2 kg の2片に分かれます。1 kg の片の速度成分は右向きに 4 m/s、上向きに 2 m/s です。もう一方の速度の水平成分と鉛直成分を求めます。上は平面内の方向です。

答えと途中式

1. 右向きを正とし共通速度を v とすると、3 × 4 + 1 × 0 = 4v です。v = 3 m/s で右向きです。前の運動エネルギーは (1/2) × 3 × 4² = 24 J、後は (1/2) × 4 × 3² = 18 J、減少は 6 J です。後の運動量 4 × 3 = 12 kg m/s は前と一致し、両台車の速度も共通です。

2. 右向きを正にして衝突後の速度を vA、vB とします。運動量保存は 2 × 4 = 2vA + 2vB、つまり vA + vB = 4 です。反発係数より vB − vA = (1/2) × 4 = 2 です。2式を足して 2vB = 6、vB = 3、vA = 1 です。Aは右向き 1 m/s、Bは右向き 3 m/s です。後の運動量は 2 × 1 + 2 × 3 = 8 kg m/s、離れる速さは 2 m/s で条件を満たします。

3. 右向きを正にして3 kg の片の速度を v とします。初めの運動量は0、後は 2 × (-6) + 3v です。0 = -12 + 3v から v = 4 m/s、右向きです。後の運動量は -12 + 12 = 0 kg m/s となり、静止していた全体の運動量に戻ります。分裂後の運動エネルギーは増えますが、ばねに蓄えられたエネルギーから移り得るので矛盾しません。

4. 右向きと上向きを正にして、2 kg の片の速度成分を vx、vy とします。横方向は 0 = 1 × 4 + 2vx、縦方向は 0 = 1 × 2 + 2vy です。したがって vx = -2 m/s、vy = -1 m/s、つまり左向き 2 m/s と下向き 1 m/s です。各成分を戻すと、横は 4 + 2 × (-2) = 0、縦は 2 + 2 × (-1) = 0 kg m/s で、分裂前の静止と一致します。斜めの速さ自体を足し引きする必要はありません。

答案に残す要点

系と正方向を決め、外力の力積を方向ごとに調べます。
速度に符号を付け、衝突前後の運動量を比較します。
反発係数は離れる速さと近づく速さの比です。
運動エネルギーは衝突の条件を見て別に調べます。

自分の式のどこを見るか

答えが合わないときは、まず問題文に線を引き、合体、反発、分裂のどれかを確かめます。次に答案の系の範囲と正方向を見て、外力の力積を無視する根拠が書けるか確認します。式の右辺と左辺が同じ時点を表しているか、各項に質量と符号付き速度がそろっているかも点検します。

個別指導で確かめるなら、最初に本人の図と式を並べ、負号がどの矢印に対応するかを説明してもらいます。反発係数で止まった場合は、2物体間の距離が衝突前に縮む速さと後に広がる速さを別々に言葉にします。合体後の速度を求められてもエネルギーまで等しいとした場合は、前後の値を計算して差の意味を検討します。方向と対象を定めた式が、衝突の前後をつなぎます。