高校情報I 散布図と相関—点の分布から関係を読み因果との違いを説明する｜武蔵野個別指導塾

点の配置や外れ値、交絡を手がかりに、原因を言い切れるかを考える散布図と相関です。

よくあるのは、2つの量に強い相関があると知り、一方がもう一方の原因だとすぐに断定する場面です。点の並びから読み取れるのは、まず量の変化に伴う傾向です。なぜその傾向が生じたかは別に調べる必要があります。範囲表と授業ノートを見ながら、軸、点、係数、説明の順で答案を確かめましょう。ここに出てくる数値は、読み方を練習するために作ったものです。

テストで問われる3つの読み方

1つ目は、表の各行を散布図の点に対応させ、全体が右上がりか右下がりかを答える型です。横軸と縦軸の量、目盛り、1点が表す対象を確認します。左右の量の大小をそれぞれ比べるのではなく、同じ対象の2つの値を組にするのが出発点です。

2つ目は、与えられた相関係数から関係の向きや強さを比べる型です。符号で向きを見て、0からの距離で直線的な関係の強さを比べます。点の広がりや、他から離れた点の有無も一緒に読むと、係数だけでは見落とす特徴に気づけます。

3つ目は、相関が見られたときに原因を言い切れるかを説明する型です。2つの量の両方に関わりうる別の条件があれば、その条件を考える必要があります。答案では、観察された傾向と、まだ確かめていない原因を分けて書きます。係数を計算する手順や回帰直線、検定はここでは扱いません。

点の組と傾向を読む

散布図は、同じ対象について測った2つの量を、横軸と縦軸の位置で表す図です。例えば横軸が時間、縦軸が個数なら、ある対象の時間と個数を組にして1点を打ちます。単位や測る対象が違っていても、同じ行に対応する2つの値であることは変わりません。軸を入れ替えると見た目も変わるので、問題が指定した向きに従います。

図1のように、右へ進むにつれて点が上へ寄る傾向を正の相関、下へ寄る傾向を負の相関と呼びます。個々の点が一直線に並ぶ必要はありません。右上がりでも、横の値が大きい点の縦の値が、隣の点より必ず大きいとは限りません。全体の並びを見て判断します。

相関係数は、2つの量の直線的な関係の向きと強さを表す指標で、-1から1の範囲を取ります。1に近いほど正の直線的な関係が強く、-1に近いほど負の直線的な関係が強いと読みます。例えば -0.8 と 0.4 なら、数としては -0.8 の方が小さいものの、0からの距離は -0.8 の方が大きく、直線的な関係はそちらの方が強いと判断します。

0に近いときは、直線的な相関が弱いという意味です。山形や曲線のような関係まで存在しない、と決めてはいけません。また、相関係数が求められない場合もあります。一方の量が全対象で同じなら、その量にばらつきがなく、通常の相関係数は定義できません。空欄や計算不能の表示を0と読み替えず、元の値と条件を確かめます。

外れ値は、他の点のまとまりから大きく離れた点です。入力間違いや測定条件の違いで生じる場合も、正しく測られた特徴的な観測である場合もあります。外れ値を消すかどうかは勝手に決めず、まず原因を確認します。1点が相関係数や見かけの傾向を大きく変えることがあるため、全体の図と、その点を確かめた後の図を区別して比べる姿勢が必要です。

基本例題：表から点を置く

ある展示の5つの区画について、案内板の枚数と立ち止まった人数を記録したとします。各区画の組は、案内板の枚数を先、人数を後として、Aが (1, 2)、Bが (2, 3)、Cが (3, 5)、Dが (4, 6)、Eが (5, 7) です。横軸を枚数、縦軸を人数として点を打ち、相関の向きと読み取れる範囲を文章で答えてください。数値は学習用の条件で、実際の展示の記録ではありません。

1. Aは横に1、縦に2の位置です。Bは横に2、縦に3の位置です。
2. Cは横に3、縦に5の位置です。Dは横に4、縦に6の位置です。
3. Eは横に5、縦に7の位置です。図2のように、5点をそれぞれの区画と対応させます。
4. 左から右へ点をたどると全体に上へ進みます。したがって正の相関が見られます。
5. 案内板の枚数が多い区画ほど人数も多い傾向があります。ただし、案内板が人数を増やしたと、この記録だけで断定できません。

図2から表へ戻すと、横が3の点の縦は5、横が5の点の縦は7です。こうして元の組に戻せば、点を左右や上下に1目盛りずらした誤りを見つけられます。AからEの5区画が各1点に対応するため、図の点も5個です。点の並びを線で結ぶ必要はなく、区画の順番が時間の経過を意味するわけでもありません。

解答例は「この5区画では、案内板の枚数が多いほど立ち止まった人数も多い傾向があり、正の相関が見られます。ただし、区画の位置や展示の内容も人数に関わるかもしれず、案内板が原因とは断定できません」です。相関の説明に「この5区画では」と範囲を付けると、与えられていない場所まで結論を広げずに済みます。

区画の位置を考えると、入口に近い区画は人が立ち止まりやすく、同時に案内板も多く置かれているかもしれません。このように、調べたい2つの量の両方に関わり、見かけの関係を生む可能性のある別の要因を交絡因子といいます。位置が本当に交絡因子であるとわかったわけではなく、ここでは確かめる候補です。位置や展示内容を記録し、条件をそろえた比較などを考えて初めて、原因についてさらに調べられます。

離れた1点で判断が変わる場合

別の学習用データとして、ある道具の使用回数と片付けにかかった分数を調べます。5つの組は (1, 9)、(2, 8)、(3, 7)、(4, 6)、(5, 5) です。そこへ6つ目の組 (8, 12) が加わりました。横を使用回数、縦を分数として考え、最初の5点の傾向と、6点目を含めるときの注意を答えてください。

最初の5点では、使用回数が1増えるたびに分数が1減っています。右下がりに並ぶので、負の相関が見られます。6点目は使用回数が大きい一方、分数も12と大きく、最初の5点が作る並びから離れています。これを含めた図では、最初の5点だけから得た負の傾向を、そのまま6点全体の結論にしてはいけません。

実際、最初の5点の相関係数は -1 ですが、6点を含む係数は約0.35です。符号まで変わるため、離れた点が結果に与える影響を具体的に確かめられます。約0.35は6点全体についての直線的な傾向の指標であり、6点目が誤記だという証拠ではありません。6点目の道具や作業条件、記録の転記を確認し、もし正しい記録なら残した分析と条件を分けた分析の両方を検討します。

ここで「外れ値を除けば必ず正しい結論が出る」と書くのも誤りです。例えば6点目が別の作業手順で測られた正しい記録なら、対象を同じ条件に限定したい理由を示したうえで分けて考えます。除いた結果を報告するときは、何をなぜ除いたか、何点についての結果かを明記します。条件がわからないままなら、点を消して原因を決めることはできません。

誤答を原因から直す

基本例題で「案内板を増やすと、必ず立ち止まる人が増えます」と答えたとします。この文は、5区画に見られた組の傾向を、操作の結果についての断定に置き換えています。点が右上がりであることは観察の根拠になりますが、各区画で案内板を変えた結果を比べたわけではありません。

図3のように、案内板と人数の両方に区画の位置が関わる可能性を残します。修正は「案内板の枚数と人数には正の相関が見られますが、区画の位置なども関わりうるため、案内板が人数を増やしたとは断定できません」です。傾向を消すのではなく、傾向と原因の確実さを分けます。

もう1つの誤りは、係数 -0.9 と 0.2 を見て「0.2 の方が強い」とする読み方です。原因は、普通の数の大小と、0からの距離を混同したことにあります。-0.9 は0から0.9離れ、0.2は0から0.2離れています。よって前者の方が直線的な関係は強く、向きは負です。符号と強さを別々の欄に書けば、判断の取り違えを防げます。

手を動かす問題

次の4問は、それぞれ独立した学習用の記録です。まず問題をまとめて解き、点の組と判断の理由を残してから答えを見てください。係数を新たに計算する必要はありません。

問1　点の配置と向き

4つの鉢について、水やりまでの日数と土の湿り具合を調べました。日数を横、湿り具合を縦として、組は順に (1, 8)、(2, 6)、(3, 5)、(4, 2) です。散布図に打つ4点と、見られる相関の向きを文章で答えてください。湿り具合はこの問題で決めた数値で、大きいほど湿っています。

問2　係数の比較

ある記録から求めた係数が、組Pでは -0.7、組Qでは 0.3 でした。直線的な関係がより強い組と、それぞれの相関の向きを答えてください。係数の数としての大小ではなく、判断の根拠も書いてください。

問3　空欄と0の区別

4つの箱には同じ長さのひもがそれぞれ1本ずつ入っています。箱ごとのひもの長さはすべて10 cm、箱の重さは順に2、3、5、6の単位です。長さと重さの通常の相関係数が計算不能と表示されました。「0だから関係がない」と読むことはできますか。理由と、最初に点検する元の値を答えてください。

問4　第三の要因と断定

6日間の記録で、冷たい飲み物を買った人の数と、屋外の休憩場所を使った人の数に正の相関が見られました。「飲み物を買うことが休憩場所の利用を増やした」と結論してよいか答えてください。両方に関わりうる別の要因を1つ挙げ、その要因を含めて次に何を調べるか書いてください。

答えと確かめ方

問1の答え

横が1、2、3、4の位置に、それぞれ縦が8、6、5、2の点を打ちます。右に行くほど点は全体として下がるため、負の相関が見られます。日数が長い鉢ほど、湿り具合は小さい傾向です。

答えを元の表に戻すと、横3の点は縦5であり、横4の点は縦2です。縦の値を並べ替えて別の鉢に結び付けると、もとの記録とは別の図になります。点を打つ際には、1つずつ組に丸を付けて数え、4組と4点が対応することを確認します。この4鉢の傾向だけから、他の条件が変わっても同じ関係が続くとは言えません。

問2の答え

Pは負の相関、Qは正の相関です。0からの距離はPが0.7、Qが0.3なので、直線的な関係がより強いのはPです。-0.7 の負号は向きであり、強さが小さいことを示す符号ではありません。

与えられた値に戻して確かめると、Pは -1 にQより近く、Qは0にPより近い位置です。どちらの係数も単独では、原因を説明したり、直線以外の形を否定したりできません。点がどのように分布しているか、散布図も見て判断します。

問3の答え

0とは読めません。ひもの長さが4箱とも10 cmで一定なので、長さ側にばらつきがなく、通常の相関係数は定義できないからです。最初に元の長さが10、10、10、10であることと、重さが2、3、5、6であることを確認します。

散布図に戻すと、長さを横軸にした4点は横がすべて10で、縦の重さだけが異なります。計算不能という表示を0へ置き換えると、「計算できた係数が0に近い」という別の状態と混同します。空欄や表示の意味を調べ、値の入力漏れか、今回のように一定の値によるものかを区別します。

問4の答え

結論してはいけません。例えば気温が高い日に、冷たい飲み物を買う人も屋外で休憩する人も増えた可能性があります。気温は両方に関わる交絡因子の候補です。

次に、6日それぞれの気温と2つの人数を対応させて記録し、気温が近い日を比べるなどして傾向を調べます。元の条件が示すのは、6日間の2つの人数に正の相関があることまでです。気温が実際に両方へ影響したか、飲み物の購入が利用を変えたかは、追加の情報を確かめる前には決まりません。

答案に残す要点

• 1点は同じ対象の2つの値の組です。
• 右上がりは正、右下がりは負の傾向です。
• 係数の符号は向き、0からの距離は直線的な関係の強さを示します。
• 離れた点や計算不能の原因を元の記録で確かめます。
• 相関と因果を分け、別の要因を考えます。

どこでつまずいたかを見分ける

点を打ち間違える場合は、表から同じ行の2値を取り出し、軸の単位と目盛りに戻せるかを見ます。点は合っていても符号を間違える場合は、左から右への並びを指でたどり、縦の値が全体にどう変わるかを言葉にしてみます。係数の比較で止まる場合は、符号と0からの距離を別に書くと、迷った箇所が見えます。

個別指導で答案を確かめるときは、正解の語だけでなく、元の1組から点に戻る説明と、相関から言える範囲を区切る説明を確認します。原因を言い切った場合には、別の要因が両方へどう関わるかを本人の言葉でたどります。点と記録を行き来し、結論の根拠を示せる答案にしましょう。