中1定期テスト 数学の一次方程式—途中式と文章題の条件を提出前に照合する｜武蔵野個別指導塾

分母を払う各行の操作と、求めた個数が場面の条件を満たすかを、一次方程式の自作例で確かめます。

よくあるのは、ワークの式の計算は合うのに、文章題で求めた個数が負になってしまう場面です。計算が正しくても、式が問題の条件を表しているとは限りません。まず学校の範囲表で一次方程式の指定を見て、ワークの該当部分と提出条件を確認します。次に小テストの誤答を探し、式を作る段階と解く段階のどちらでずれたかを分けて復習します。

1学期、2学期、3学期の欄を紙に作り、それぞれ実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を書き写します。前期と後期に分かれる場合は、その範囲表に合わせて欄を作ります。一次方程式がどの欄に入るかは手元の指定で決めます。文部科学省の学習範囲の一覧では、一次方程式は中学1年の数学に含まれます。

問題の型を分ける

範囲表とワークを並べたら、問題を3つの型に分けます。1つ目は等式を変形して文字の値を求める計算です。両辺に同じ数を加える、引く、かける、0以外の同じ数で割る操作を使います。途中式が求められている場合は、答えが合っていても変形の道筋を残します。

2つ目は分母を含む方程式です。分母を払うときに、分数の項だけでなく両辺の各項に同じ数をかけられるかが分かれ目です。ワークで整数の項を落とした跡があれば、その行をもう一度書きます。分母払いをせずに解ける場合もありますが、どの操作をしたかが追える形にします。

3つ目は文章から数量の関係を式にする問題です。何を文字で表すかを決め、残りの数量もその文字で表してから等しい関係を探します。求めた値が式に合うかに加えて、個数なら0以上の整数か、問題の場面に戻るかを確かめます。範囲表に文章題が含まれるかも、実際の指定とワークで照合します。

等しい関係を保つ

方程式は、文字を含む等式です。等式の左側と右側をそれぞれ左辺、右辺と呼びます。文字にある値を入れたときに等式が成り立てば、その値は方程式の解です。解を求めるには、等しい関係を保ちながら文字を1つにまとめます。

例えば x + 4 = 11 の両辺から4を引くと、x + 4 − 4 = 11 − 4 です。左辺の4と-4を合わせて0にすると x = 7 です。7を初めの式に戻して 7 + 4 = 11 となるので、等式が成り立ちます。片側からだけ引くと等しさが崩れるため、両辺の操作を意識します。

図1のように、左右に同じ操作を行うことが変形の土台です。移項は、ある項を反対側に移すと符号が変わる書き方ですが、その意味は両辺に同じ数を加えたり引いたりする操作です。例えば x + 4 = 11 で左辺の +4 を右辺に移すと x = 11 − 4 となります。符号だけを機械的に変える前に、どちらの辺から何を消したいかを言葉にします。

図1では左右から4を引き、残った x と7が等しいことを示しています。ワークで移項後の符号を間違えたら、矢印の前の式に戻り、両辺から同じ項を引く行を書いてみます。両辺を割る場合も、文字の係数を左右で同じように扱います。係数が負なら、割った後の符号まで確かめます。

分数を含む式では、分母の共通の倍数を両辺にかけると整数の式に直せます。例えば分母が2と3なら6をかけます。分数の分子だけでなく、整数の項も含む各項に6をかけます。括弧がある場合は括弧全体を1つのまとまりとして扱い、分配した後も項の数を見失わないようにします。

基本例題: 分母を払って解く

次の方程式を解き、答えを整数で書きます。

(x + 2)/3 + 1 = (x − 1)/2

分母は3と2です。両辺の各項に6をかけて、分母を払います。括弧の中の2や-1は、先に消したり符号を変えたりしません。

6 × (x + 2)/3 + 6 × 1 = 6 × (x − 1)/2

2(x + 2) + 6 = 3(x − 1)

2x + 4 + 6 = 3x − 3

2x + 10 = 3x − 3

両辺から2xを引きます。

10 = x − 3

両辺に3を加えます。

13 = x

したがって、x = 13 です。図2のように、整数の1にも6をかけることを忘れないでください。分母を払った行だけを見ず、元の各項と対応させて読むと、消えた項を見つけられます。

元の式に13を戻すと、左辺は (13 + 2)/3 + 1 = 5 + 1 = 6、右辺は (13 − 1)/2 = 6 です。両辺が等しくなります。この確認は変形で数や符号を落としていないかを見るために行います。途中式には分母を払う前の操作と、括弧を外した行の両方を残すと、間違えた場所をたどれます。

もし 2(x + 2) を 2x + 2 としたら、括弧内の2にも2をかける必要があります。また、右辺の 3(x − 1) は 3x − 3 です。負の項にかけた結果も書き、暗算で飛ばさないようにします。小テストで答えが違ったときは、元の式への代入だけで終わらせず、最初に左右が同じ操作を受けていない行を探します。

個数を文字にした後の分かれ目

自作の問題です。赤いカードと青いカードが合わせて18枚あります。赤いカードは青いカードの2倍より3枚多いとします。青いカードは何枚ですか。答えは整数と単位で書きます。

青いカードを x 枚とすると、赤いカードは 2x + 3 枚です。「2倍より3枚多い」は、青いカードの2倍に3を加えるという意味です。合わせて18枚なので、次の方程式になります。

x + (2x + 3) = 18

3x + 3 = 18

3x = 15

x = 5

青いカードは5枚です。赤いカードは 2 × 5 + 3 = 13 枚です。5枚と13枚を合わせると18枚で、赤は青の2倍の10枚より3枚多くなります。どちらも0以上の整数なので、個数の条件にも合います。

分かれ目は、何を x と決めたかです。赤いカードを x 枚と置くなら、青いカードをそのまま 2x + 3 としてはいけません。問題文が示すのは「赤 = 青の2倍 + 3」という関係です。文字の選び方を変えてもこの関係は変わりません。問題文の「より」が何と何を比べているかを矢印で結んでから式にすると、向きを間違えにくくなります。

解が負になった場合は、まず個数として採用できないと判断します。その上で、計算の符号、合計と差の取り違え、どちらを2倍したかを順に点検します。式の計算が正しく、立式も条件を正しく表しているのに負の値や整数でない値が出るなら、与えられた条件を満たす個数はありません。無理に正の数へ直さず、条件に合う答えがないことを示します。

誤答から戻る場所を探す

次の式を解くとき、左辺の分数だけに6をかけてしまったとします。

x/3 + 2 = 5

誤った行は 2x + 2 = 30 です。右辺に6をかけたのに、左辺の2にはかけていません。図3のように、左辺の2も含めて各項に6をかけ直します。

正しくは 2x + 12 = 30 です。両辺から12を引くと 2x = 18、両辺を2で割ると x = 9 です。元の式の左辺に戻すと 9/3 + 2 = 3 + 2 = 5 となり、右辺と一致します。誤った行から得た x = 14 を戻すと 14/3 + 2 = 20/3 で、5とは等しくありません。

図3の2つの行を比べると、誤りは計算の最後ではなく、最初の分母払いにあります。答えの数字を書き直す前に、元の式の各項に印を付け、6をかけた結果を対応させます。文章題で負の個数が出た場合も同じように、解の行から逆にたどり、式と場面の対応まで戻ります。途中で時間が足りなくなったときは、答えを推測して埋めるより、文字の意味と作った式を残すと、後で見直す場所がわかります。

自分で解く4問

次の問題は練習用に作ったものです。まず4問を続けて解き、後の解答で途中式と条件を照合します。個数の問題では式を作る前に、文字が何を表すかを明記します。

1. 方程式 4x − 7 = 21 を解き、整数で答えます。
2. 方程式 (x − 4)/2 + 3 = x/3 を解き、整数で答えます。
3. 袋に白い石と黒い石が合わせて21個あります。白い石は黒い石の3倍より3個少ないとします。黒い石の個数を整数と単位で答えます。
4. 箱に丸い札と四角い札が合わせて7枚あります。丸い札は四角い札の2倍より2枚多いとします。四角い札の個数を整数と単位で答えます。条件に合う個数がなければ、そのことを答えます。

解答と確かめ

1. 両辺に7を加えると 4x = 28、両辺を4で割ると x = 7 です。元の式に戻すと 4 × 7 − 7 = 21 となります。左辺の引く7を消すために両辺へ7を加えたことを確認します。

2. 両辺の各項に6をかけると 3(x − 4) + 18 = 2x です。括弧を外して 3x − 12 + 18 = 2x、整理して 3x + 6 = 2x です。両辺から2xを引き、さらに6を引くと x = -6 です。元の式では左辺が (-6 − 4)/2 + 3 = -5 + 3 = -2、右辺が -6/3 = -2 となります。負の解でも、個数などの条件がない方程式ではそのまま解として扱えます。

3. 黒い石を x 個とすると白い石は 3x − 3 個です。合計から x + (3x − 3) = 21、4x − 3 = 21、4x = 24、x = 6 となります。黒い石は6個、白い石は 3 × 6 − 3 = 15 個です。合計は21個で、白は黒の3倍の18個より3個少なく、両方とも整数です。

4. 四角い札を x 枚とすると、丸い札は 2x + 2 枚です。合計から x + (2x + 2) = 7、3x + 2 = 7、3x = 5、x = 5/3 です。枚数は整数なので、条件に合う個数はありません。式だけを見ると合計を7にできますが、札を分けない個数としては採用できません。指定された形で答えられるかまで判断します。

4では式の解と場面の答えを区別します。解が分数だから計算をやり直すと決めつけず、元の条件に戻して、個数として成り立つかを見ます。整数にならないことがわかれば、文章題の答えは「条件に合う個数はない」です。問題に条件の写し間違いがないかも、提出前に元の文と照合します。

提出前に空欄と条件を照らす

ワークを見直すときは、空欄を埋めたかどうかに加えて、その欄が何を求めているかを確認します。文字で表す欄に答えの数だけを書くと、その後の式が何を表すか読み返せません。例えばカードの例なら、青を x 枚と定めた行と、赤を 2x + 3 枚と表した行を残します。合計の式が作れないときは、2種類のカードの枚数を足すと18枚になるという文章を先に書きます。

途中式の空欄に何を入れるかわからないときは、前の行と次の行を比べます。左辺のどの項が消えたか、右辺のどの数が変わったかを見れば、両辺に加えた数やかけた数を考えられます。符号が変わっている項を見つけても、移項したのか分配したのかを区別します。括弧の外に負の数があれば、中の各項に負の数をかけた結果をそれぞれ書きます。

答えが合わなかったとき、初めから全部を消すと原因が残りません。元の式への代入で左右の値を別々に計算し、違いがあれば変形を1行ずつさかのぼります。元の式には合うのに文章題の条件に合わない場合は、文字の意味と立式へ戻ります。個数が負なら、例えば「残り」を表す式で引く順序が逆になっていないかを見ます。整数かどうかも確認し、必要なら条件に合う個数がないと答えます。

学校の範囲に分母を含む問題がない場合でも、ワークに指定された型から優先して直します。解き直しの日には、前回の誤答を隠して同じ問題の途中式を自力で書き、その後に元の答案と比べます。提出条件に途中式や直しの記入が含まれる場合は、その指示に沿って残します。範囲や提出条件が読み取れないときは、手元の配布物を確認し、推測したページや期限を書き足さないようにします。

手元に残す要点

等式の両辺には同じ操作をします。 分母を払うときは両辺の各項にかけます。 文章題では文字の意味と等しい関係を書きます。 解を元の式と個数の条件に戻します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが答えを出せないときは、初めから解説を写す前に、どの行まで自分で説明できるかを聞いてみます。分母払いの前後を結べなければ、各項に何をかけたかを指で示します。計算は進むのに個数が負になる場合は、文字が表すものと「多い」「少ない」の向きを問題文に戻して確かめます。

個別指導で確認するときも、誤答の答えだけでなく範囲表、該当するワーク、小テストの途中式を並べると、つまずいた操作を特定できます。提出前には本人が、文字の意味、式の左右、解を戻した結果を順に説明します。式を解くことと、その解が場面に合うことを両方確かめれば、答案の理由が残ります。