中1定期テスト 数学の文字式—ワークの省略記号と代入の手順を答案に残す｜武蔵野個別指導塾

積と商の表記、負の数の代入、一次式の整理を、途中式に残した記号と符号から点検します。

よくあるのは、提出ワークで代入の括弧を消している場面です。答えが合った行でも、負の数を入れたときに符号が崩れることがあります。まず学校の範囲表で文字式のどこまでが指定されたかを見て、ワークの該当箇所と提出条件を照合します。次に小テストの誤答を開き、表記、代入、整理のどこで止まったかを印にします。その後で単元を復習すると、直す行が見えます。

範囲表の整理には、1学期・2学期・3学期の欄を作り、それぞれ実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を転記します。前期・後期の学校なら、その欄を使います。学期名から文字式が入ると決めず、受け取った表を正本にします。文部科学省の中学校学習指導要領の数学第1学年には、学習範囲として文字を用いた式が含まれます。

要点（結論から）

• 積の記号を省いても、掛け算の関係は残ります。
• 商では割られる範囲を分子に保ちます。
• 負の数は括弧に入れて代入します。

範囲表から拾う3つの型

文字式の問題には、積や商の記号を省いて書き直す型、文字に数を代入して式の値を求める型、同じ文字を含む項をまとめて一次式を整理する型があります。範囲表の見出しとワークの問題を照らし、指定された型に印を付けます。例えば表記はできても代入で間違えたなら、記号の省略だけを何度も練習するより、代入直後の行を残して原因を調べます。

ワークの提出条件には、答えだけでよいか、途中式や直しも必要かなど、実際に示された内容を書きます。空欄があれば先に問題の意味を読み直し、答え合わせの後には誤った行の隣に正しい行を書きます。小テストを見返すときは、丸か誤りかだけでなく、どの記号から書き換えたかをたどります。範囲にない型を推測して増やす必要はありません。

記号を省いても計算の関係は残る

文字は、いろいろな数を表す記号です。3とaの積は3×aですが、掛け算の記号を省いて3aと書きます。数を文字の前に置き、a×aはa²と表します。1×aはa、(-1)×aは-aです。文字の後ろの数字と係数を混同しないようにします。3aはaを3倍したもので、a³のように同じ文字を3回掛けたものとは違います。

商では、割る数を分母にして分数の形にします。a÷4はa/4、(a+2)÷4は(a+2)/4です。後者はaと2の和全体を4で割ります。a+2/4と書くと2だけを4で割る式になり、もとの関係が変わります。図1のように、何と何の積か、何全体を割るかを先に見てから省略します。

図1では、積の記号を省いた後も3がaに掛かり、商では和全体が分子に残ります。省略は記号を減らす約束であって、演算の順番を変える操作ではありません。ワークの式に戻して、省く前の記号を声に出して補えるか試します。

項は、加法の形で見たときの一つひとつの部分です。例えば4x-3は4xと-3の和と見られます。4xの4はxの係数、-3は文字を含まない項です。2xと5xは同じ文字の同じ次数の項なので、係数を足して7xにまとめられます。一方、2xと5は異なる種類の項なので7xとはできません。文字の付いた数と文字のない数を別の棚に置くつもりで、符号も含めて眺めます。

代入は、文字の場所に指定された数を入れる操作です。文字を消す前に数を括弧に入れると、負の符号が引き算の記号と区別できます。例えばxに-2を入れるなら、3xは3×(-2)です。3-2と書くと掛け算を引き算に変えてしまいます。括弧の中を一まとまりとして、掛け算や割り算を足し算や引き算より先に計算します。

書き換える前に関係を読む

文字が複数ある積も、まず掛け合わされているものを探します。例えばa×5×bは5abと書けます。数を前に置き、文字の間の掛け算も省きます。a+bは和なので、記号を省いてabとは書けません。見た目が短くなるかどうかではなく、もとの式が積か和かを判断します。括弧があるときも同じで、2×(a+1)は2(a+1)と書き、和の全体に2を掛ける関係を残します。

商を分数で表すときには、割られる側が分子、割る側が分母です。例えば8÷xは8/xで、x÷8のx/8とは向きが違います。8/xはxが0でないときに意味を持ちます。割る数を0にできないためです。分母に文字がある式で値を考えるときは、指定された数が割る数として使えるかも見ます。文字が分子にある場合でも、和全体が分子なら括弧などで範囲を明確にします。

一次式の整理では、項を並べ直すときに前の符号も一緒に動かします。例えば7m-2+3m-6は、7m+3m-2-6と見て10m-8です。-2を移すときに+2にしないよう、引き算を負の数の足し算と見ておくと確かめやすくなります。係数を計算した後にもmが残るのは、mの個数をまとめているからです。7mと-2は文字の有無が違うので、一つの項にはまとめません。

括弧の前が負の数のときは特に、各項の符号を確かめます。例えば-2(t-3)は、(-2)×tと(-2)×(-3)の和なので-2t+6です。後ろを-6とした場合、負の数どうしの積を見直します。括弧の外の数がどの項に掛かるか線で追い、掛けた結果を全部書いてから同じ種類の項をまとめると、計算の段階を区別できます。

ワークで式を整理する指示と値を求める指示は、求める答えの形が違います。整理なら文字を残した簡単な式を書き、値を求めるなら指定された数を代入して数で答えます。指定がないのに好きな数を入れると、元の文字式そのものの答えにはなりません。反対に、値を問われているのに整理した式で止まったら、指定された数を入れる行が残っています。

基本例題：負の数を入れる行を省かない

自作の例題です。式3a-5にa=-2を代入し、式の値を整数で求めます。図2のように、まず文字の場所を括弧に置き換え、掛け算を明示します。その行を残すと、負の数全体が3倍されているか後から調べられます。

図2の手順を、答案の行にすると次のようになります。

3a-5 = 3×(-2)-5 = -6-5 = -11

最初の行でaを-2に替え、次の行で3×(-2)を-6にしています。最後は-6から5を引くので-11です。-6+5に変えたり、3×(-2-5)としたりしないように、もとの式の区切りを保ちます。検算では、3倍する数を-2に戻して3×(-2)=-6、その値から5を引くと-11になることを確かめます。

提出前のワークでは、答えが-11だったかに加え、2行目に括弧を残したかを点検します。正解でも途中で3-2-5と書いていたら、たまたま別の計算を経た可能性があります。間違えた場合は答えを消して写す前に、代入した行と掛け算を終えた行を別々に書きます。符号をどこで取り違えたかが見えるからです。

整理してから代入するときの分かれ目

次も自作の例題です。式2(3x-4)-5x+7を整理し、その式にx=-3を代入した値を整数で求めます。括弧の外の2は、中の3xにも-4にも掛かります。後ろの-5xと+7は、括弧の外にあるので、この2を掛けません。

2(3x-4)-5x+7 = 6x-8-5x+7 = (6-5)x+(-8+7) = x-1

文字の項は6x-5x=x、文字のない項は-8+7=-1です。これにx=-3を入れます。

x-1 = (-3)-1 = -4

ここでの分かれ目は、括弧の中の両方の項に2を掛けたか、符号を付けたまま同じ種類の項をまとめたかです。たとえば-8を+8に変えたり、6x-5xを1としたりすると、別の式になります。xが残る理由は、同じxが6個分から5個分に減るためです。

もとの式にも-3を戻して確かめます。括弧の中は3×(-3)-4=-13、2倍して-26です。さらに-5×(-3)=15を足し、7も足すと-26+15+7=-4です。整理後の値と一致し、もとの式の各部分も使えました。一致しないときは、代入の符号と括弧の展開の両方を見直します。一致したことだけで任意の値についての整理の証明にはなりませんが、計算の点検には使えます。

誤答を途中の行から直す

小テスト型の自作例で、4b+3にb=-2を代入します。誤った行が4-2+3=5だったとします。原因は、4bの掛け算を省略した形から、代入後にも掛け算を復元できず、負の符号を引き算として読んだことです。

図3のように、4bを4×bと読み直してからbを括弧ごと置き換えます。4×(-2)+3=-8+3=-5が正しい値です。図3は誤りの行と修正後の行を対応させています。答えだけを5から-5に直しても、次に同じ形が出たときに原因が残ります。

別の失敗として、同じ問題で4×(-2+3)とする場合があります。この場合は括弧に+3まで入れたことが原因です。文字bの位置に入るのは-2であり、+3はもとの式の外側に残します。また、4×(-2)を8としたなら代入の位置は合っているので、正の数と負の数の積の符号を点検します。誤りの場所によって直す手順を変えると、必要な復習が絞れます。

手を動かして確かめる問題

次の4問は自作です。先に問題をまとめて解き、後の解答で途中の行を比べてください。数値は練習のための条件です。

1. 7×yと(y-6)÷3を、積と商の記号を使わない式でそれぞれ表してください。
2. 5c+2にc=-4を代入し、式の値を整数で求めてください。
3. 3(2p+5)-4p-8を一次式に整理してください。
4. 1冊q円のノートを4冊買い、代金を20円引いた額を式で表してください。q=130のときの額も整数で求め、単位を付けてください。

解答と確かめ

1. 7yと(y-6)/3です。前者は7とyの積、後者はy-6の全体を3で割る商です。書き戻すと7×yと(y-6)÷3になり、もとの関係に戻ります。y-6/3では6だけを3で割るため異なります。

2. 5×(-4)+2=-20+2=-18です。cに入る-4を括弧で囲み、掛け算を先に行います。もとの式で-4の5倍は-20、それに2を加えて-18と、条件に戻しても一致します。5-4+2とした場合は、省かれた積を戻します。

3. 3(2p+5)-4p-8=6p+15-4p-8=2p+7です。3を括弧内の2項に掛けてから、文字の項と数の項をそれぞれまとめます。例えばp=1をもとの式に戻すと3×(2+5)-4-8=9、整理後も2×1+7=9です。数の項の符号を確認する点検になります。

4. 4q-20、500円です。1冊q円の4冊分が4q円で、その合計から20円を引きます。q=130を入れると4×130-20=520-20=500です。場面に戻しても、130円のノート4冊は520円で、そこから20円を引くと500円です。20を1冊ごとに引く式ではないことも確かめます。

解答を比べるときは、正しい答えの行まで一気に写さず、最初に違った行に戻ります。表記の誤りなら演算の関係を、計算の誤りなら符号と順序をそれぞれ確かめます。直した後に問題文を読み直し、求められた式や単位で答えたかも見ます。

要点を残す

• 積の記号を省いても、掛け算の関係は残ります。
• 商では割られる範囲を分子に保ちます。
• 負の数は括弧に入れて代入します。
• 同じ種類の項を符号ごとまとめます。
• 答えをもとの式や場面に戻して点検します。

どの行で止まったかを言葉にする

本人が答えを出せないときは、まず省略された記号を読み戻せるかを見ます。読み戻せるのに代入後に符号が変わるなら、括弧を付ける行から書き直します。代入は合っていて整理で止まるなら、文字の項と数の項を分け、各項の符号を指で追います。お子さまの答えを確認する保護者も、正誤を先に伝える前に「どこにその数を入れたか」と尋ねると、途中の考えを見つけやすくなります。

個別指導で確かめる場合は、範囲表とワーク、小テストの誤答を持ち寄り、本人が省略前の式、代入直後の式、計算後の式を順に説明します。説明が止まった行を一緒に読み直し、別の数でも同じ手順を使えるかを確かめます。提出前には、直した問題を自分の言葉で読み戻し、答えを元の条件へ返します。文字式の記号は、途中の関係を見失わずに読むための道具です。