中1定期テスト 数学の正負の数—符号と計算順序を小テストの誤答から確かめる｜武蔵野個別指導塾

負の数の二乗と括弧の外の符号を区別し、途中式と誤答の直し方から正負の数を見直します。

よくあるのは、小テストで負の数の二乗だけ誤ったという場面です。かけ算はできていても、二乗する範囲を括弧で見落とすと、最後の符号が変わります。まず学校の範囲表で正負の数の指定を見て、次にワークの対象と提出条件を確かめ、小テストの誤答を探してから単元を復習します。範囲表にないページや提出期限を推測せず、手元の指示に戻りましょう。

1学期、2学期、3学期の欄を紙に作り、それぞれ実際に指定された単元、ワークの範囲、小テストで落とした型、提出条件を転記します。前期・後期に分かれる場合は、その範囲表に合わせて欄を作ります。どの学期に何を学ぶかを先に決めず、正負の数が書かれた欄を見て練習を選びます。空欄があるときは推測で埋めず、配られた指示を確認します。

範囲表から計算の型を拾う

正負の数の準備では、まず加法と減法、次に乗法と除法、さらに累乗と計算順序という3つの型に分けると、誤りの位置を探しやすくなります。分配法則が指定されている場合は、括弧を先に計算する方法と、括弧の中の各項にかける方法を比べます。扱うのは正負の数の計算までです。

ワークの該当箇所に印を付け、空欄、間違えた箇所、答えは合ったが途中の理由を説明できない箇所を区別します。小テストで二乗の符号を落としたなら、四則の欄と累乗の欄を別に作り、どちらで符号を決め間違えたかを書きます。提出条件には、解き直しの記入方法や必要な範囲を指示どおり転記します。答えだけ写して終えると、同じ式に別の括弧が付いたときに区別できません。

符号と絶対値を分けて読む

0より大きい数を正の数、0より小さい数を負の数と呼びます。0は正でも負でもありません。数直線で原点からその数までの距離を絶対値と呼び、例えば -6 の絶対値は6です。絶対値は距離なので負にはなりません。図1のように、符号と原点からの距離を別々に見ると、数の大小と計算の符号を混同しにくくなります。

図1では -6 は0の左にあり、0からの距離が6です。負の数どうしは、数直線で右にある数が大きいので、-2 は -6 より大きくなります。符号を無視して6と2を比べるだけでは、負の数の大小を逆にしてしまいます。

同符号の加法では絶対値を足し、共通の符号を付けます。異符号なら絶対値の大きい方から小さい方を引き、大きい方の符号を付けます。絶対値が等しい異符号の和は0です。減法は、引く数の符号を変えて加える形に直します。例えば 3 − (-5) は 3 + 5 です。引き算の記号と負の符号は別の役目を持ちます。

乗法では同符号なら正、異符号なら負にして絶対値をかけます。除法も同符号なら正、異符号なら負にして絶対値を割ります。0で割ることはできません。分数が出る場合は割り切れないからといって小数に丸めず、問題の指定に合わせて正確な分数で残します。ワークの各式に、加減の型か乗除の型かを記してから符号の理由を話してみましょう。

累乗は同じ数を繰り返しかける表し方です。(-3)² は (-3) × (-3) なので9ですが、-3² は二乗した 3² の前に負の符号が付くので -9 です。括弧の中の負の符号を底に含めるかが分かれ目です。累乗を先に計算し、その後に乗除、最後に加減を計算します。同じ優先順位の乗除、加減は左から進めます。括弧がある場合はその中を先に計算します。

括弧と二乗を残す基本例題

次の式を計算し、答えを整数で書きます。式は自作です。

(-4)² − 18 ÷ (-3) + (-2) × 5

まず二乗の底は括弧全体の -4 です。図2のように、二乗、割り算、かけ算の結果をそれぞれ書いてから加減に進みます。図2の3つの欄は元の式の順に対応しています。

(-4)² = (-4) × (-4) = 16

18 ÷ (-3) = -6

(-2) × 5 = -10

元の式に戻すと、16 − (-6) + (-10) です。引く数が -6 なので、その反対の数である6を足します。

16 − (-6) + (-10)

= 16 + 6 + (-10)

= 22 + (-10)

= 12

答えは12です。図2の -6 は割り算の結果であり、その前の引き算の記号とは別です。ここを 16 − 6 と書くと、負の数を引く操作が失われます。元の式の各部分を順に戻しても、16から -6 を引き、さらに -10 を加えるので12になります。

途中式を残すと、答えが違ったときに、二乗、乗除、減法のどこまで合っていたかを確かめられます。最初から符号を頭の中で処理せず、負の結果を括弧に入れます。途中で括弧を外すときは、その直前の演算記号も一緒に見ます。たとえば「負の数を引く」ことを「正の数を足す」ことに変えたと、声に出して説明できれば、符号を変えた理由が残ります。

分配するときの分かれ目

次の式を計算し、答えを整数で書きます。括弧の中に負の数がある自作の例です。

(-3) × {8 + (-5)} − (-2)²

括弧を先に計算する方法では、8 + (-5) = 3 です。(-2)² は (-2) × (-2) = 4 ですから、次のようになります。

(-3) × 3 − 4

= -9 − 4

= -13

分配法則を使う場合は、-3 を括弧内の両方の数にかけます。後ろの項は -5 という符号を含めた数です。

(-3) × 8 + (-3) × (-5) − 4

= -24 + 15 − 4

= -9 − 4

= -13

どちらも答えは -13 です。元の括弧の中は3で、-3をかけると -9、そこから4を引くと -13 なので、元の条件に戻しても一致します。分配のときに最初の8にしか -3 をかけないと、もう一方の項が別の数に変わります。括弧内の各項へ矢印を引き、かけ終えた項を一つずつ消し込むと見落としを探せます。

もう一つの分かれ目は、末尾の二乗の範囲です。ここは (-2)² なので4を引きます。もし -2² と書かれていれば、その値は -4 です。見た目が似ていても同じ式として扱わず、括弧の端と指数の位置を指でたどります。

誤答を直す場所を特定する

小テストに (-3)² − 3² を計算する欄があり、答えを -18 としたとします。これは左の二乗を -9 と扱い、右の9をさらに引いた誤答です。図3のように左の底が -3 であることを示して、2つの積を書き直します。

(-3)² = (-3) × (-3) = 9

3² = 3 × 3 = 9

したがって 9 − 9 = 0 です。原因は、左の括弧を見ずに負の符号を二乗の外に置いたことです。図3の修正欄のように、負の数を2回かけた結果から符号を決め直します。答えの0を書き足すだけでなく、誤った -9 の横に、底と2つの因数を書いておくと、次の見直しの手掛かりになります。

答えが合わない場合も、すぐ全体を消さずに、最初に元の式と違った行に印を付けます。符号を写し違えたのか、二乗の範囲を間違えたのか、減法を加法に直す際に間違えたのかを分けます。答えが合った場合も、偶然2つの間違いが打ち消し合っていないか、途中の各行を元の計算に照らします。

手を動かす4問

次はすべて自作の問題です。途中式を残して解き、答えは指定の形で書きます。4問を解いてから後の解答を見て、どの段階で違ったか確かめてください。

1. -7 + 12 − (-4) を計算し、整数で答えます。
2. (-5)² + 20 ÷ (-4) を計算し、整数で答えます。
3. 18 ÷ (-6) × (-4) − 2 を計算し、整数で答えます。
4. (-2) × {9 + (-6)} + 7 を計算し、整数で答えます。括弧を先に計算する方法と分配する方法の両方を示します。

解答と確かめ方

1. -7 + 12 − (-4) = 5 + 4 = 9 です。-7 と12の和は5で、そこから -4 を引くことは4を足すことです。元の3つの操作に戻すと、負の7に12を加えて5、さらに負の4を取り除いて9です。

2. (-5)² + 20 ÷ (-4) = 25 + (-5) = 20 です。二乗は (-5) × (-5) = 25、割り算は異符号なので -5 です。元の2つの部分を合わせても25と -5 の和は20になります。二乗の結果を -25 としていないか、括弧の位置を見ます。

3. 18 ÷ (-6) × (-4) − 2 = (-3) × (-4) − 2 = 12 − 2 = 10 です。割り算とかけ算は左から行います。18を -6 で割った -3 に -4 をかけて12、そこから2を引けば10で、元の順序に戻しても一致します。

4. 括弧から計算すると、(-2) × 3 + 7 = -6 + 7 = 1 です。分配すると、(-2) × 9 + (-2) × (-6) + 7 = -18 + 12 + 7 = 1 です。元の括弧の和3に -2 をかけ、7を加えても1です。負の6にも -2 をかけるため、分配した後のその項は正の12です。

間違えた問題は番号と誤った行を控え、答えを隠して元の問題からもう一度解きます。加減で失敗した場合は引く数の符号を括弧に残し、乗除で失敗した場合は先に符号を決めてから絶対値を計算します。二乗で失敗した場合は底を2回書きます。直した後は元の式に各部分の値を戻し、答えまでの順序をたどります。

答えが合わないときの立て直し

途中で計算が止まったら、まだ計算していない部分をそのまま書き写し、処理した部分だけを別の数に変えます。例えば 6 − (-8) ÷ 2 では、先に (-8) ÷ 2 = -4 を求め、6 − (-4) と書きます。ここから 6 + 4 = 10 です。最初に 6 − (-8) を計算してしまうと、割り算の対象が変わり、元の式と別の計算になります。各行が前の行と同じ値を表しているかを確かめます。

割り算が割り切れない場合も同じ順序です。例えば (-5) ÷ 2 + 1 は、まず商を -5/2 と正確に表し、1を 2/2 として加えます。-5/2 + 2/2 = -3/2 です。元の商に1を加えると、負の5を半分にした量から正の1だけ進むので、結果は負の3/2になります。小数に丸めた数だけで照合すると、元の値とのわずかな違いが残る場合があります。

提出用の見直しでは、空欄が残っているときと、答えを書いたが理由が曖昧なときを分けます。空欄には、まずどの計算を先にするかを書きます。理由が曖昧なら、答えを隠して途中式を再現し、前の行と比べます。どちらも進まないときは、その式に現れる括弧や演算記号を一つずつ読み上げて、ワークの対応する基本の型に戻ります。

範囲表とワークの指定が食い違って見えるときや、提出方法の記載が読めないときは、自分でページや条件を決めず、配布された別の指示や学校への確認で補います。小テストが手元にない場合は、ワークで印を付けた箇所から同じように途中式を確かめ、見つかった誤りを後で照合できるよう残します。資料がそろっていないことと計算ができないことを同じ扱いにせず、確認できる作業から進めます。

保護者が確認するときは、答えをすぐ伝える代わりに、最初に計算した場所とその理由を尋ねると、本人の考えた順序が見えます。間違った行が見つかれば、その直前の正しい行から書き直します。時間が足りず全問を見直せない場合は、範囲と提出条件を確かめたうえで、二乗の誤答と空欄を先に扱い、残りの箇所も後で見直せるよう印を残します。

見直しの印は、計算の途中で迷った理由も添えて残します。「括弧の外の引き算を見落とした」と書けば、次に似た式を見たとき、何を確かめるかが明確です。正解した式についても、その理由を言葉にできるか試します。

覚えておくこと

• 減法は引く数の符号を変えて加法に直します。
• 乗除は符号と絶対値を分けて計算します。
• 二乗は括弧の内側まで底に含むか確かめます。
• 括弧、累乗、乗除、加減の順に進めます。
• 分配法則では括弧内の各項にかけます。

どこで止まるかを見る

お子さまが答えを出せないときは、まず式を読んでもらい、二乗の底を指せるかを確かめます。底を指せても積の符号が違うなら乗法の符号に戻り、積が合っているのに結果が違うなら加減の変形を見ます。最初の誤りの場所が違えば、必要な練習も変わります。

個別指導で確かめるときは、範囲表、提出ワーク、小テストを並べ、本人に誤った行と直した行を説明してもらいます。指導する側は答えを先に告げず、括弧がどこまでか、どの数を引いているかを尋ねます。提出前には別の式でも同じ手順を本人が言葉にし、指定された範囲と記入条件に照らして空欄を確認します。符号の理由を行ごとに残せば、正負の数の誤りを自分でたどれます。