数検5級 錐体の表面積と体積—側面の高さと立体の高さを図で区別する練習｜武蔵野個別指導塾

円錐の母線と立体の高さを見分け、正四角錐の側面の高さと比較しながら、表面積と体積を計算する内容です。

よくあるのは、円錐の体積を求めるとき、斜めの母線を高さとして式に入れる場面です。図に長さが2つ並んでいると、どちらも頂点から底面へ伸びているため迷いやすくなります。底面に垂直な線を探し、その長さを体積に使うと決めてから計算しましょう。

円錐と角錐では、表面の広さを求めるのか、中に入る量を求めるのかで、必要な長さが変わります。ここでは必要な長さが問題に与えられている場合を扱い、図の見た目から長さを推測しません。

何を求める問題かを分ける

錐体は、1つの底面と、底面の外にある1つの頂点を結んでできる立体です。底面が円なら円錐、底面が多角形なら角錐です。底面と側面を合わせた広さが表面積で、立体の内部の大きさが体積です。表面積は平方センチメートル、体積は立方センチメートルなどで表します。

練習では、まず円錐の半径と母線から側面積を求め、底面積を足す型を考えます。次に、底面積と底面に垂直な高さから体積を求める型を扱います。さらに、角錐の側面を三角形として数え、表面積と体積をそれぞれ出す型にも取り組みます。いずれも考え方を練習するための自作の型です。

問われたものに丸を付けてから、使う長さに印を付けます。表面積と体積の両方を問われたら、同じ高さを使い回すと決めずに、それぞれの式に必要な長さを探しましょう。単位の違いも、答えを見直す目印になります。

母線と垂直な高さの置き場所

図1のように、円錐の母線は頂点と底面の円周上の点を結ぶ斜めの線です。一方、立体の高さは頂点から底面を含む平面へ垂直に下ろした線の長さです。図の直角の印は、底面との垂直を示しています。母線は側面を広げたおうぎ形の半径になり、立体の高さは体積に使います。

図1では、側面上の斜めの線と立体内部の垂直な線を区別しています。立体を描くと底面は楕円のように見えますが、底面自体は円です。図を傾けても、底面への垂直という関係は変わりません。紙面の上下方向だけで高さを選ばないことが大切です。

円錐の底面の半径を r、母線を l とすると、底面積は π × r × r、側面積は π × r × l です。側面を開いたおうぎ形では、弧の長さが底面の円周と等しいため、側面積は「底面の円周 × 母線 ÷ 2」でも求められます。底面を付けた表面積は、底面積と側面積の和です。

錐体の体積は「底面積 × 立体の高さ ÷ 3」です。同じ底面積と高さの柱体の体積の3分の1になります。角錐でもこの式は使えますが、三角形の側面の高さを立体の高さと混同しないようにします。側面の三角形の高さは、その三角形の底辺に垂直な長さです。

円錐の表面積と体積を求める

例題。底面の半径が 3 cm、母線が 5 cm、底面に垂直な高さが 4 cm の円錐があります。底面を含む表面積と体積をそれぞれ求め、円周率は π のまま、面積は cm²、体積は cm³ で答えましょう。

図2のように、3 cm は円の半径、5 cm は側面の斜めの長さ、4 cm は底面に垂直な長さです。与えられた3つの長さのうち、表面積と体積の各式にどれを使うかを先に分けます。

図2の円錐の底面積は、次のようになります。

底面積 = π × 3 × 3 = 9π cm²

底面の円周は 2 × π × 3 = 6π cm です。側面を開くと、その弧の長さが 6π cm、半径が母線の 5 cm のおうぎ形になります。したがって、側面積と表面積は次のとおりです。

側面積 = 6π × 5 ÷ 2 = 15π cm²

表面積 = 9π + 15π = 24π cm²

側面積を先に求めて終わると、底面の円が抜けます。問題は底面を含む表面積を求めているため、円と側面の両方を足します。面積どうしなので単位も cm² のままです。

体積には、母線の 5 cm ではなく、底面に垂直な 4 cm を使います。

体積 = 9π × 4 ÷ 3 = 12π cm³

答えは表面積 24π cm²、体積 12π cm³ です。体積を3倍して高さ 4 cm で割ると 9π cm² となり、最初に求めた底面積に戻ります。表面積から底面積を引くと 15π cm² となり、側面積にも戻ります。こうして結果を元の部分に分けると、底面の足し忘れや高さの取り違えに気づきやすくなります。

正四角錐では側面を何枚数えるか

例題。底面が1辺 6 cm の正方形で、頂点の真下が底面の中心にある正四角錐があります。立体の高さは 4 cm、各側面の三角形の高さは 5 cm です。底面を含む表面積を cm²、体積を cm³ で求めましょう。

この問題の分かれ目は、5 cm をどこへ使うかです。5 cm は側面の三角形の高さなので、その三角形の面積を計算するときに使います。4 cm は底面に垂直な立体の高さなので、体積に使います。どちらも条件として与えられているため、別の定理で求める必要はありません。

底面積 = 6 × 6 = 36 cm²

側面1枚の面積 = 6 × 5 ÷ 2 = 15 cm²

側面は同じ三角形が4枚あるので、側面積は 15 × 4 = 60 cm² です。底面を足して、表面積は 36 + 60 = 96 cm² です。体積は 36 × 4 ÷ 3 = 48 cm³ です。

確かめとして、表面積から底面積 36 cm² を引くと 60 cm² で、4枚に分けると1枚 15 cm² に戻ります。また、体積 48 cm³ を3倍し高さ 4 cm で割ると底面積 36 cm² に戻ります。側面が4枚であることと、体積の高さが垂直であることを別々に確認しましょう。

間違えた式を図へ戻す

基本例題の円錐で、体積を 9π × 5 ÷ 3 = 15π cm³ としたとします。計算自体は合っていますが、5 cm は母線です。図3のように、その線は底面に斜めに達しており、体積の式に入れる高さではありません。

図3では、誤った式が斜めの線を選び、正しい式が底面に垂直な線を選んでいます。直すには、まず底面に直角に交わる線を指し、4 cm と書き込みます。それから 9π × 4 ÷ 3 と入れ直します。答えを修正した後も、3倍して高さで割り、底面積に戻るか確かめましょう。

別の誤りとして、表面積を 15π cm² とする場合があります。これは側面積としては正しい値ですが、底面を含む表面積には足りません。何を計算した値なのか横に書き、円の 9π cm² を足して 24π cm² に直します。数値だけを見比べるより、面の名前を添えると抜けた部分が見えます。

角錐でも、1枚の三角形を計算した後に枚数を忘れることがあります。底面の辺それぞれに側面がつながっていると考え、底面の形から枚数を数えます。ただし、側面の形や高さが異なる角錐では、1枚の面積を枚数倍する前に、それぞれの条件を確認する必要があります。

計算の前に条件を点検する

長さが示されていても、その名前が示す位置を読み違えると式は変わってしまいます。円錐では、底面の中心から円周までが半径です。円の端から反対側の端までを中心を通って測った直径が与えられた場合は、2で割って半径に直してから底面積や側面積を求めます。直径をそのまま半径として二度掛けると、底面積の誤りは大きくなります。

たとえば底面の直径が 8 cm、母線が 5 cm、立体の高さが 3 cm の円錐を考えます。半径は 8 ÷ 2 = 4 cm です。底面積は 16π cm²、側面積は 20π cm²、底面を含む表面積は 36π cm² です。体積は 16π × 3 ÷ 3 = 16π cm³ です。表面積から底面積を引けば 20π cm²、体積を3倍して高さで割れば 16π cm² となります。最初の直径にも、半径 4 cm を2倍して戻せます。

図に母線しか書かれていないのに体積を尋ねられたときは、その数を高さと決めて進めないでください。底面に垂直な高さが別に示されているか、文章や図の条件をもう一度探します。必要な情報が与えられていない問題については、図の見た目を測って値を作らず、条件を確認します。側面を開いた図にも、立体内部の高さがそのまま描かれるとは限りません。

角錐では、底面をどの面と決めたかが式の出発点になります。三角錐なら底面も三角形ですが、底面積を出す三角形の高さと、頂点から底面の平面に下ろす立体の高さは別の長さです。底面積を計算するときに使う長さへ印を付け、体積の式に移るときに垂直な方向を確認します。底面の形が違っても、体積の式の底面積という部分にその形の面積を入れる流れは同じです。

答えが出たら、数の大きさだけでなく、何を求めた数かを見直します。側面積と表面積を混同していれば、表面積から底面積を引いたとき側面の計算結果に戻りません。立体の高さを選び間違えた場合は、計算に使った長さが底面と直角かを調べます。式の計算を逆向きになぞる確認と、図の線を選び直す確認は、それぞれ違う間違いを見つけるために役立ちます。

別の問題で確かめる

次の4問は、どれも必要な長さが与えられています。円周率は π のままとし、面積は cm²、体積は cm³ で答えましょう。表面積には底面を含めます。

1. 底面の半径が 5 cm、母線が 13 cm、立体の高さが 12 cm の円錐の表面積と体積を求めましょう。
2. 底面の半径が 7 cm、母線が 25 cm、立体の高さが 24 cm の円錐の側面積と体積を求めましょう。
3. 底面が1辺 8 cm の正方形で、立体の高さが 3 cm、各側面の三角形の高さが 5 cm の正四角錐の表面積と体積を求めましょう。
4. 底面が底辺 6 cm、高さ 4 cm の三角形で、立体の高さが 9 cm の三角錐があります。この体積を求めましょう。

答えと解き方

1. 底面積は 5 × 5 × π = 25π cm²、側面積は π × 5 × 13 = 65π cm² です。表面積は 25π + 65π = 90π cm²、体積は 25π × 12 ÷ 3 = 100π cm³ です。表面積から底面積を引くと側面積に戻り、体積を3倍して 12 cm で割ると底面積 25π cm² に戻ります。13 cm は側面積に使い、体積には 12 cm を使います。

2. 側面積は π × 7 × 25 = 175π cm² です。底面積は 49π cm² なので、体積は 49π × 24 ÷ 3 = 392π cm³ です。体積を3倍して 24 cm で割ると 49π cm² に戻ります。側面積も底面の円周 14π cm と母線 25 cm を使って 14π × 25 ÷ 2 = 175π cm² と確かめられます。この問いは側面積なので、底面積を足しません。

3. 底面積は 8 × 8 = 64 cm²、側面1枚は 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm² です。4枚の側面は 80 cm² なので表面積は 144 cm²、体積は 64 × 3 ÷ 3 = 64 cm³ です。表面積から 64 cm² を引くと側面4枚分の 80 cm² に戻り、体積を3倍して高さ 3 cm で割ると底面積に戻ります。側面の高さ 5 cm と立体の高さ 3 cm は用途が異なります。

4. 三角形の底面積は 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm² です。体積は 12 × 9 ÷ 3 = 36 cm³ です。36 cm³ を3倍して立体の高さ 9 cm で割ると、底面積 12 cm² に戻ります。底面の三角形の高さ 4 cm は底面積を出すために使い、立体の高さ 9 cm は体積に使います。

計算を終えたら、問題が表面全体を尋ねているのか、側面だけを尋ねているのかをもう一度読みます。求める量が異なれば、同じ立体でも答えに含める面が変わります。単位を添えて、どの量を答えたかまで示しましょう。

覚えておくこと

• 表面積は、指定された底面と側面の面積を合わせます。
• 円錐の側面積には底面の半径と母線を使います。
• 錐体の体積は底面積 × 底面に垂直な高さ ÷ 3 です。
• 面積と体積の単位を区別し、答えを元の条件に戻します。

つまずいた場所を見分ける

式の答えが違うときは、まず図のどの線を高さと読んだかを本人に指してもらいます。垂直な線を選べていれば、次に底面積と3分の1の計算を見ます。母線を指した場合は、底面に垂直な線と比べて、それぞれ何の計算に使うかを言葉にしてもらいます。

個別指導では、表面積の答えが側面積と同じになった場合、展開した面を指でたどり、底面を足したかを確認します。正四角錐なら、側面1枚の面積と枚数を別々に説明してもらいます。お子さまが正しい数を選んだ理由を図と式でつなげられれば、向きの違う図でも高さを判断しやすくなります。斜めの線と底面への垂線を見分けることが、錐体の計算の出発点です。