数検5級 一次方程式と等式—両辺への同じ操作から移項の意味を確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

天びんの釣り合いを保つように両辺へ同じ操作を重ねる見方を、整数係数の例題と誤答の直し方から確かめる。釣り合いをそのまま書き表したものが等式です。

ノートに 3x + 5 = 14 と書いた式を見て、次の行で 3x = 14 と書いてしまう答案があります。左辺から5を消したつもりで、右辺の14には手を付けていません。天びんの左の皿からおもりを一つ外せば、右の皿も同じだけ軽くしないと釣り合いは崩れます。等式も同じで、片側だけを動かした式は、もとの式と同じ意味を持ちません。

一次方程式と等式で問われる三つの型

数検5級の一次方程式と等式では、答えの数を言い当てる力よりも、式を同じ意味のまま変形する力が見られます。自作の例で言えば、次の三つの型が中心です。

第一は、等式の性質をそのまま使う型です。x + 7 = 12 の両辺から7を引いて x = 5 とするように、両辺へ同じ数を足す・引く・掛ける・割る操作を選びます。どれを使うかは、消したい数や係数の形から決めます。

第二は、文字の項を片側に集める型です。5x − 3 = 2x + 9 のように両辺にxがあるとき、2x を両辺から引いて 3x − 3 = 9 とします。移項という言葉は、この「両辺に同じ操作をして、片側から項を消す」手順を短く呼ぶ名前です。

第三は、求めた解を式へ戻して確かめる型です。x = 4 が答えなら、もとの式のxに4を入れて、左辺と右辺が同じ数になるかを計算します。この確認を省くと、途中の符号の誤りに気づけません。

三つの型は別々の技能ではなく、一つの流れでつながっています。消したい数を決め、両辺へ同じ操作をし、最後に代入して確かめる。この順序を毎回なぞると、答えの数だけでなく、そこへ至る判断まで答案に残ります。

文章の条件を式にする場面でも、使う操作は同じです。代金や個数の関係を文字で置いたら、最後は等式の変形で文字の値を取り出します。ここでは等式そのものの扱いに絞り、文章題の立式は別の機会に譲ります。

等式は天びん、両辺は同じだけ動かす

等式とは、左辺と右辺が等しいことを表す文です。等号 = の左右は、天びんの二つの皿だと考えます。皿にのった量が同じだから、天びんは水平に止まります。

天びんの左の皿に x の箱を三つと4のおもり、右の皿に13のおもりをのせた状態を考えます。式では 3x + 4 = 13 です。両側が釣り合っているので、左右から同じ4を取り除いても釣り合いは保たれます。左は 3x、右は 9 になり、3x = 9、つまり x = 3 と読めます。

式の中の、+ や − で区切られたまとまりを項と呼びます。3x + 4 なら 3x と 4 が項です。文字の項の数の部分、3x の3を係数と呼びます。係数は、x が何個分あるかを示す数です。定数だけの項を定数項と呼び、3x + 4 の4がそれにあたります。

等式の性質は四つにまとめられます。両辺に同じ数を足す、両辺から同じ数を引く、両辺に同じ数を掛ける、両辺を同じ数で割る。ただし、0で割る操作は使いません。0で割る計算は定義されていないので、割る数が0でないことを確かめてから使います。どれも、天びんの両側を同じだけ変える操作に対応します。

移項という言葉を聞くと、符号を変えて反対側へ動かす作業を思い浮かべる人がいます。その結果は正しいのですが、理由は両辺への同じ操作にあります。5x − 3 = 2x + 9 で 2x を左へ移すと -2x になるのは、両辺から 2x を引いたからです。理由をたどれると、符号の変え忘れが減ります。天びんの図1で、両側を同じだけ動かす見方も確かめます。

割る操作には、一つだけ条件があります。両辺を割る数が0でないことです。x の係数が0なら、その式は一次方程式の形になりません。係数を確認してから割る習慣を付けると、0で割る式を立てる誤りも防げます。

図1のように、左辺と右辺を二つの皿として見ると、どの操作を両側へ行ったかが目で追えます。式だけを眺めていると見落とす「右辺にも同じことをしたか」を、図の釣り合いで確かめられます。

基本の例題　4x + 5 = 21 を解く

4x + 5 = 21 を解きます。目標は x だけの形、つまり x = 何か にすることです。まず、左辺の +5 を消します。

4x + 5 = 21

4x + 5 − 5 = 21 − 5

4x = 16

二行目で、左辺だけでなく右辺の21からも5を引いています。ここが答案で最も抜けやすい所です。左辺の +5 と -5 は打ち消し合って0になり、右辺は16になります。等号を縦にそろえて書くと、両辺に同じ -5 が並んでいることが目で確かめられます。次に、4x を x にするため、両辺を4でわります。

4x ÷ 4 = 16 ÷ 4

x = 4

割る操作も両辺に同じだけ行います。左辺は 4x ÷ 4 で x、右辺は16 ÷ 4 で4になります。両辺を同じ数で割るので、= の関係はそのまま残ります。

最後に確かめます。もとの式のxに4を入れると、左辺は 4 × 4 + 5 = 16 + 5 = 21、右辺は21です。両辺がそろったので、x = 4 が解です。

解とは、その式を成り立たせる文字の値のことです。x = 4 を入れて左辺と右辺が同じ数になるなら、4はこの式の解です。逆に、代入してそろわない数は解ではありません。答えを書いたら、必ずもとの式へ戻して確かめます。

検算は、答えを書いた直後の行に置きます。「左辺 = 4 × 4 + 5 = 21、右辺 = 21、よって正しい」のように、両辺を別々に計算して最後に比べます。片方の計算だけを書くと、比べた証拠が残りません。

操作の順序で迷ったら、文字の項を左、数の項を右に集める、と決めておきます。4x + 5 = 21 なら、数の項の5を右へ動かし、次に係数の4で両辺を割ります。この順序なら、式の形が毎回同じ流れで進みます。この手順は図2の流れで一行ずつ並べます。

図2のように、操作の名前と式を一行ずつ並べると、どの段で何をしたかが残ります。途中式を省くと、右辺への引き忘れが次の行に隠れてしまいます。

同じ流れを、引き算の入った式でも確かめます。7x − 4 = 17 を解きます。左辺の -4 を消すため、両辺に4を足します。

7x − 4 + 4 = 17 + 4

7x = 21

x = 3

両辺に4を足すと、左辺の -4 と +4 が打ち消し合って0になり、右辺は21になります。次に両辺を7で割って x = 3 です。確かめると、左辺は 7 × 3 − 4 = 21 − 4 = 17 で、右辺と一致します。引く操作が入っていても、両辺へ同じ数を足す原則は変わりません。

少し難しい例題　5x − 3 = 2x + 9

両辺にxの項がある式では、まず文字の項を片側へ集めます。5x − 3 = 2x + 9 を考えます。左辺に x の項を集める方針で進め、両辺から 2x を引きます。

5x − 3 − 2x = 2x + 9 − 2x

3x − 3 = 9

左辺は 5x − 2x = 3x、右辺は 2x − 2x で0になり、項が消えます。次に、左辺の -3 を消すため、両辺に3を足します。

3x − 3 + 3 = 9 + 3

3x = 12

x = 4

確かめます。左辺は 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17、右辺は 2 × 4 + 9 = 8 + 9 = 17 です。両辺が17でそろい、x = 4 が解です。

ここでの分かれ目は、最初に何を消すかです。文字の項を左へ、数の項を右へ集めると決めておくと、操作の順序で迷いません。移項という短い言い方を使うときも、頭の中では両辺への同じ操作を思い出します。

もし 5x を右辺へ移すと、-3 = -3x + 9 となり、割る数が -3 になります。計算はできますが、符号の扱いが増えて見通しが悪くなります。集める側を決めておくのは、計算を軽くするための工夫です。

答えが出たら、必ず両辺を別々に計算します。この問題では左辺も右辺も17になりました。片方だけを計算して「たぶん合っている」と済ませると、符号の誤りは見つかりません。右辺の 2 × 4 + 9 を省かずに書くことが、確かめの重さになります。

片側だけを動かした誤答と直し方

3x + 5 = 14 を解く場面です。よくある誤答は、左辺から5を引いただけで、右辺をそのままにすることです。

誤答の答案は 3x + 5 − 5 = 14、次の行が 3x = 14 になります。左辺だけを5減らしたので、式の意味が変わりました。この式を解くと x = 14/3 となり、もとの式に戻すと左辺は 3 × 14/3 + 5 = 14 + 5 = 19 で、右辺の14と合いません。

原因は、等号を「計算の区切り」と見ていることです。等号の左右は同じ量を表すので、片側だけを変えると別の式になります。左辺を変えたら、右辺にも同じ変え方を書く。この一線を答案の上で守ることが、等式を保つ条件です。

直し方は、操作を書くときに必ず両辺へ同じ記号を並べることです。図3で、誤った式と正しい式の並べ方を比べます。

3x + 5 − 5 = 14 − 5

3x = 9

x = 3

確かめると、左辺は 3 × 3 + 5 = 9 + 5 = 14 で、右辺と一致します。右辺に書いた -5 を指で押さえながら読み直すと、引き忘れが見つかります。

図3のように、誤った式と正しい式を並べると、最初の一行で違うのは右辺の -5 の有無だけです。この一行を書く習慣が、答えの分数を生む誤りを止めます。

検算で気づく型もあります。答えが分数になったときは、代入して両辺がそろうかを確かめます。整数の答えなら暗算で済みますが、分数の答えは計算の途中で誤りが混ざりやすいので、両辺を別々に書き出します。分数が出たこと自体を誤りと決めつけず、式に戻して確かめる順序を守ります。

もう一つの見直しは、操作の記号を声に出すことです。「両辺から5を引く」と言いながら式を書くと、右辺にも -5 を書いたかどうかを耳で確かめられます。声に出す手間は小さく、見落としを減らす効果は大きい方法です。

6x + 7 = 43でも、右辺から7を引き忘れると等式を保てません。6x + 7 = 43 で、左辺から7を引いたのに右辺をそのままにすると、6x = 43 という別の式になります。正しくは 6x + 7 − 7 = 43 − 7、つまり 6x = 36、x = 6 です。確かめると 6 × 6 + 7 = 36 + 7 = 43 で、右辺とそろいます。足す操作でも引く操作でも、確かめる場所は同じです。

別題の練習

次の4問を解きます。答えはすべて整数になります。解いたら、もとの式へ代入して両辺がそろうことを確かめてください。

1. 2x + 9 = 17
2. 6x − 4 = 2x + 16
3. 5 − 3x = 20
4. 8x + 3 = 5x − 9

1問目と3問目は数の項を右へ集めるところから、2問目と4問目は文字の項を左へ集めるところから始めます。3問目はxの項が左辺に一つしかありませんが、係数が負なので、割る数の符号まで確かめます。4問目は右辺にもxの項があるので、文字の項を左へそろえてから数の項を動かします。

練習の答えと解き方

1. 2x + 9 = 17。両辺から9を引いて 2x = 8、両辺を2でわって x = 4 です。確かめると、左辺は 2 × 4 + 9 = 17 で、右辺とそろいます。

2. 6x − 4 = 2x + 16。両辺から 2x を引いて 4x − 4 = 16、両辺に4を足して 4x = 20、両辺を4でわって x = 5 です。確かめると、左辺は 6 × 5 − 4 = 26、右辺は 2 × 5 + 16 = 26 で、両辺がそろいます。

3. 5 − 3x = 20。両辺から5を引いて -3x = 15、両辺を -3 でわって x = -5 です。確かめると、左辺は 5 − 3 × (-5) = 5 + 15 = 20 で、右辺と一致します。負の数を掛けると符号が変わるので、代入のときは括弧を付けて計算します。

4. 8x + 3 = 5x − 9。両辺から 5x を引いて 3x + 3 = -9、両辺から3を引いて 3x = -12、両辺を3でわって x = -4 です。確かめると、左辺は 8 × (-4) + 3 = -32 + 3 = -29、右辺は 5 × (-4) − 9 = -20 − 9 = -29 で、両辺とも -29 になります。

4問に共通するのは、両辺へ同じ操作を一行ずつ書く進め方です。3問目のように割る数が負になる場合は、両辺を -3 でわると x の符号が決まります。4問目のように右辺が負の数になる場合も、数の項を移す操作は変わりません。

答えを出す前に、問題文の条件を読み直します。整数という指定があるので、分数が出たら計算の誤りを疑います。4問とも整数で終わり、代入しても両辺がそろいました。もし合わない問題があれば、右辺への操作の書き忘れと、負の数の割り算の二か所を順に確かめます。

覚えておくこと

• 等式は天びん。片側だけ動かすと釣り合いが崩れる。
• 足す・引く・掛ける・割るは、両辺に同じ数だけ行う。
• 移項は、両辺に同じ操作をした結果を短く書いたもの。
• 解は、もとの式に代入して両辺がそろう数。
• 途中式には、何を両辺へ行ったかを一行ずつ残す。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

式変形で止まるお子さまには、どの段で手が止まったかを説明してもらいます。両辺へ同じ操作をしたか、右辺にも同じ数を書いたか、係数で両辺を割ったかを、一行ずつ指で追ってもらうと、抜けた操作が言葉になります。

答えが合わないときは、解を代入して両辺を別々に計算してもらいます。両辺の値がそろわなければ、まず代入の計算を確認します。そのうえで途中式を一行ずつ元の式と比べ、両辺への同じ操作が初めて崩れた行を探します。

説明が止まった段落こそ、練習をやり直す場所になります。手順を言葉にできるかどうかで、次の問題の正答が変わります。