高校物理基礎 位置と時刻のグラフ—直線の傾きから速度と停止の区間を判断する｜武蔵野個別指導塾

位置と時刻の対応から傾きを求め、負の速度や停止を読む手順を、折れ線の例題と4問の練習で身につけます。

よくあるのは、位置と時刻のグラフで線が高い場所にあるほど速度が大きいと読んでしまう場面です。縦軸の数値が大きいと、動きも大きいように感じるかもしれません。しかし、縦軸が表すのは基準点から測った位置です。動きの向きや速さを知るには、時間が進む間に位置がどれだけ変わったかを調べます。横向きの線が高い位置にあっても、位置が変わらなければ物体は停止しています。

どの部分を読み取る問題か

定期テストでは、まずグラフ上のある時刻に対応する位置を読む型があります。横軸から線まで進み、そこから縦軸へ目を移します。軸の目盛りと単位が書かれているかを先に見て、線の高さを位置として答えます。

次に、直線の区間の速度を求める型があります。区間の両端の位置の差を、その間に経過した時間で割ります。線が右上がりか右下がりかも確認し、座標の正方向に進む速度か、その反対向きの速度かを符号で表します。

さらに、折れ線から停止や折り返しを判断したり、与えられた運動をグラフに描いたりする型があります。線の折れ曲がる時刻で区間を分け、各区間の両端を対応させます。ここでは一直線上の運動を扱い、各直線区間では速度が一定とします。曲線の細かな変化や加速度の計算には立ち入りません。

高さは位置、傾きは位置の変化

物体の通る直線上に原点を選び、右向きを位置の正方向とします。位置 x は原点からの座標で、正なら原点の右側、負なら左側です。時刻 t は運動を観察する時計の読みです。横軸に t、縦軸に x を取った図を位置と時刻のグラフ、または x-t 図と呼びます。

図1のように、時間の経過は左から右へ読みます。右上がりの線では時刻が進むと位置が増え、物体は正方向に進みます。右下がりなら位置が減るので、速度は負です。水平な線では時間が進んでも位置が変わらず、その区間の速度は 0 です。

図1の3本はそれぞれ独立した直線区間です。どれも高さそのものではなく、右に進んだときの上下の変化を見ます。右上がりと右下がりは紙の上での傾きであり、実際の道が坂になっているという意味ではありません。

2つの時刻を選び、後の位置から前の位置を引いたものを変位と呼びます。その区間の平均速度は「変位 ÷ 経過時間」です。時刻を t₁、t₂、対応する位置を x₁、x₂ とすると、t₂ が後の時刻であるとき、平均速度は (x₂ − x₁) ÷ (t₂ − t₁) です。位置の単位が m、時刻が s なら速度の単位は m/s です。

同じ直線区間なら、どの2点を選んでも位置の差と時間の差の比は同じです。読み取りやすい目盛り上の2点を選ぶと計算しやすくなります。ただし、異なる傾きの区間をまたいだ2点で計算すると、得られるのはその全体の平均速度です。個々の区間の速度と混同しないようにします。

位置が負でも、速度が負とは限りません。たとえば原点の左側で正方向に進めば位置は増えるため、線は右上がりです。逆に原点の右側にいても、左向きに進めば線は右下がりです。位置の符号は原点からの場所を表し、速度の符号は選んだ正方向に対する移動の向きを表します。

グラフを描くときは逆の手順を使います。先に時刻と位置の単位、目盛りの間隔を決め、時刻と位置の組を点として打ちます。一定の速度で動くと条件にある区間は、その両端を直線で結びます。停止なら同じ高さの点を結ぶので水平です。負の速度なら、後の点を前の点より低く置きます。

目盛りの間隔が両軸で異なる図では、見た目の角度だけで別の図と速度を比べられません。それぞれの図で位置の差と時間の差を目盛りから読み、単位をそろえて比べます。同じ図の中では、同じ時間差に対して位置の変化が大きい直線ほど、速度の大きさが大きくなります。負の傾きでも、変化の大きさを比べるときには符号を除いた大きさを使います。

与えられた点が1点しかない場合、その点を通る直線は何本も描けます。位置が1つ読めても速度は決まりません。別の時刻の位置や一定の速度など、傾きを決める条件が必要です。また、折れ線の折れ点ちょうどでどちらの速度を採るかは、この区間ごとの読み方だけでは決めません。折れ点の前と後の区間を明示して答えます。

基本例題：同じ直線上の2点を選ぶ

小さな台車を直線上で観察します。原点から右向きを正とし、台車は一定の速度で動きます。時刻 1 s に位置 2 m、時刻 5 s に位置 10 m でした。この区間の速度を符号を含む整数と単位で求め、時刻 4 s の位置も整数と単位で求めてください。台車の大きさは無視し、位置は台車を1点とみなして測ります。

図2のように、横軸の 1 s と 5 s に対応する2点を結ぶと右上がりの直線です。時間の差は 5 − 1 = 4 s、位置の差は 10 − 2 = 8 m です。順序をそろえ、どちらも後から前を引いています。

速度は次のように求めます。

速度 = 位置の差 ÷ 時間の差
= (10 − 2) ÷ (5 − 1)
= 8 ÷ 4
= +2 m/s

正の符号は右向きです。位置 10 m をそのまま速度にすることも、10 ÷ 5 として原点を通ると決めることもできません。この例ではたまたま同じ値になりますが、問題が与えた2点の差を使うことが根拠です。時刻 0 s の位置は与えられた2点から延長すれば 0 m ですが、速度を出す際にその点を前提にする必要はありません。

時刻 1 s から 4 s までの経過時間は 4 − 1 = 3 s です。速度が一定なので、その間の変位は +2 × 3 = +6 m です。初めの位置 2 m に変位を加えて、位置は 2 + 6 = 8 m です。答えを戻すと、1 s から 5 s の 4 s に +2 m/s で進んだ変位は +8 m で、2 + 8 = 10 m となり、与えられた終点に一致します。

線の上で位置を読む場合も、4 s の目盛りから上へ進んで直線に当て、その高さを縦軸で読みます。傾きの計算と位置の読み取りは別の操作ですが、同じ2点を結んだ直線に整合することを確かめられます。

折れ線では区間を分ける

動く点を一直線上で観察し、右向きを正とします。時刻と位置の組が順に (0 s, -2 m)、(3 s, 4 m)、(5 s, 4 m)、(9 s, -4 m) です。隣り合う点の間はそれぞれ直線で結ばれます。各区間の速度、全体の平均速度、移動した道のりを、符号が必要なものは符号を含め整数または分数と単位で求めてください。

まず 0 s から 3 s では、位置の差は 4 − (-2) = +6 m、経過時間は 3 s です。速度は +6 ÷ 3 = +2 m/s です。原点を通過しても同じ直線区間なので速度は変わりません。位置の符号が途中で変わることと、進む向きが変わることは別です。

3 s から 5 s は位置が 4 m のままです。差は 4 − 4 = 0 m、経過時間は 2 s ですから、速度は 0 ÷ 2 = 0 m/s です。原点から離れた場所でも停止できます。5 s から 9 s では位置の差が -4 − 4 = -8 m、経過時間が 4 s なので、速度は -8 ÷ 4 = -2 m/s です。

全体の平均速度は始点と終点で決まります。変位は -4 − (-2) = -2 m、経過時間は 9 s なので、平均速度は -2/9 m/s です。整数にならないため、この値は正確な分数で表します。

道のりは向きを消して、各区間で実際に進んだ長さを足します。6 + 0 + 8 = 14 m です。全体の変位 -2 m の絶対値 2 m とは異なります。折り返して戻る部分があると、変位では往路と復路が相殺されるためです。

答えを元の場面に戻すと、-2 m から +2 m/s で 3 s 進んで 4 m、そこで 2 s 止まり、-2 m/s で 4 s 進んで -4 m です。各区間が指定された点につながります。停止の後は位置が減るので、停止前と後では進む向きが変わっています。一方、折れ点で傾きが変わっても、両側の傾きがともに正なら向きは変わりません。

誤答から読み方を直す

図3のように、位置 6 m で水平な線を見て「速度は 6 m/s」と答えたとします。原因は縦軸の位置を速度の値として取り出したことです。時刻 1 s と 4 s で位置はいずれも 6 m なので、位置の差は 6 − 6 = 0 m です。時間の差 3 s で割れば、正しい速度は 0 m/s です。

図3で線が高いことは、原点から正方向に 6 m の位置にいることを示します。時間が過ぎてもその場所にとどまるため、速度は 0 です。グラフが横軸上にないと停止でない、という判断も同じ取り違えから生じます。

別の誤りは、右下がりの線に対して位置の差を大きい数から小さい数へ引き、常に正の速度にすることです。後の位置から前の位置を引けば、位置が減る区間では差が負になります。経過時間は正に取り、負の値を残してください。速さを尋ねられた場合は速度の大きさを答えますが、速度を尋ねられた場合は向きも必要です。

また、折れ点をまたいで選んだ2点の傾きを、途中の各区間の速度とする誤答もあります。まず線が折れる時刻で区切り、それぞれの差を計算します。2点が同じ直線上にあるか見失ったときは、区間の両端に印を付け、時間と位置の組を横に書くと整理できます。

自分で確かめる4問

いずれも直線上の物体を1点とみなし、右向きを正とします。各点の間は直線で結ばれ、直線区間の速度は一定です。速度は符号を含め、指定の形と単位で答えてください。

1. 玩具の車は時刻 2 s に位置 -3 m、時刻 6 s に位置 5 m です。速度と時刻 5 s の位置を整数で求めてください。
2. 動く印は時刻 0 s に位置 12 m、時刻 3 s に位置 3 m です。速度を整数で求め、向きを答えてください。
3. 小球の位置は時刻 0 s、2 s、6 s にそれぞれ -5 m、1 m、1 m です。各区間の速度と、全体の平均速度を整数で求めてください。
4. 紙面上の点は時刻 0 s、4 s、7 s にそれぞれ 2 m、10 m、1 m にあります。各区間の速度と全体の平均速度を整数または分数で求め、道のりを整数で求めてください。

答えとたどり直し

1. 時間の差は 6 − 2 = 4 s、位置の差は 5 − (-3) = 8 m です。速度は +8 ÷ 4 = +2 m/s です。5 s は 2 s の 3 s 後なので、位置は -3 + 2 × 3 = 3 m です。さらに 1 s 進めると 3 + 2 = 5 m となり、終点に戻ります。

2. 位置の差は 3 − 12 = -9 m、経過時間は 3 s です。速度は -9 ÷ 3 = -3 m/s で、正方向と反対の左向きです。12 m から毎秒 3 m ずつ位置を減らすと、3 s 後に 12 − 3 × 3 = 3 m となります。位置は正のままでも速度は負です。

3. 前半は位置の差が 1 − (-5) = 6 m、時間の差が 2 s なので、速度は +3 m/s です。後半は位置の差が 1 − 1 = 0 m、時間の差が 4 s なので、速度は 0 m/s です。全体では変位が 1 − (-5) = 6 m、時間が 6 s なので平均速度は +1 m/s です。前半の +3 m/s を 2 s 続けると -5 + 6 = 1 m となり、その後の停止も終点に合います。

4. 前半は (10 − 2) ÷ 4 = +2 m/s、後半は (1 − 10) ÷ (7 − 4) = -3 m/s です。全体の変位は 1 − 2 = -1 m なので、平均速度は -1/7 m/s です。道のりは前半 8 m と後半 9 m の和で 17 m です。2 + 2 × 4 = 10 m、10 − 3 × 3 = 1 m と戻せるため、各点と整合します。2つの区間の速度を単純に平均すると、時間の長さの違いを反映できません。

覚えておくこと

位置は線の高さ、速度は位置の差を時間の差で割った傾きです。
右上がりは正の速度、右下がりは負の速度、水平は停止です。
折れ線は区間ごとに読み、全体の平均速度は始点と終点から求めます。
道のりは各区間の移動距離の和で、変位とは区別します。

説明が止まった場所を探す

答えが合わないときは、まず横軸と縦軸の量と単位を声に出してみてください。位置を読めても速度が出せないなら、2点の座標を書き、後から前を引く順序を示せるか確かめます。負の速度に迷うなら、位置の数が時間とともに増えるか減るかを先に言葉にします。

個別指導で確認するなら、水平な線を原点から離れた高さに描き、その物体がどこで何をしているか説明してみます。次に右下がりの線の両端を使って変位を計算し、その値を始点へ戻して終点に届くかを見ます。折れ点がある場合には、区間の速度と全体の平均速度を別々に求める理由も尋ねます。位置と時刻の対応を言葉と式で結べると、線の高さと傾きを取り違えずに読めます。