高校受験の理科 物質の性質と密度—質量と体積をそろえて物質を見分ける｜武蔵野個別指導塾

メスシリンダーの前後の目盛りから体積を求め、測定の不足や候補の重なりにも注意して物質を見分ける密度を学びます。

よくあるのは、中学生がメスシリンダーに物体を沈めた後、最後の目盛りをそのまま物体の体積にしてしまう場面です。最初から入っていた水も、最後の目盛りに含まれています。増えた分を取り出して質量と対応させると、物体の大きさが違っても物質の性質を比べられます。目盛りを読む前に、何が容器に入っているかを言葉にしてみましょう。

問題で求められる見分け方

物質の性質と密度の問題には、主に3つの型があります。1つ目は、光沢や電気の通しやすさなどの観察結果から、金属と非金属の特徴を比べる型です。見た目の色だけで決めず、与えられた複数の性質を照らします。2つ目は、質量と体積から密度を計算し、条件として示された候補と比べる型です。体積が直接書かれていないときは、長さや水面の変化から先に求めます。

3つ目は、器具の目盛りや測定の手順に問題がないかを考える型です。たとえば水がこぼれた場合、最後の目盛りから最初の目盛りを引いても、その差は物体の体積を正しく表しません。計算ができることと、その数値が求めたい量を表していることは別です。何を測ったかを確かめてから式に進みます。

性質と測定値を結ぶ

金属には、みがくと特有の光沢が見られ、電気や熱を通しやすく、たたくとうすく広がったり引くと細く延びたりするものが多くあります。非金属にもさまざまな性質があり、例外もあるので、1つの特徴だけで全てを決めつけません。物体は形のあるもの、物質はそれをつくる材料です。同じ物質でできた大小の物体は質量も体積も異なりますが、同じ状態なら質量を体積で割った値を比べられます。

密度は単位体積あたりの質量です。質量を g、体積を cm³ で表すと、密度の単位は g/cm³ です。式は「密度 = 質量 ÷ 体積」です。1 cm³ あたり何 g かを表すため、物体全体の質量を、その物体全体の体積で割ります。逆に、密度と体積がわかれば「質量 = 密度 × 体積」、密度と質量がわかれば「体積 = 質量 ÷ 密度」です。何を求める式かを単位でも確かめます。

図1のように、水に沈める前後の目盛りを比べます。物体が水に溶けず、水を吸わず、完全に沈み、気泡が付かず、水がこぼれない条件では、増えた体積が物体の体積です。1 mL と 1 cm³ は同じ体積なので、増加量が mL で得られても cm³ に直せます。

図1では、最後の目盛りには水と物体が占める体積が含まれ、差が物体の体積に当たります。液面が曲がる水の場合は、目を液面の高さに合わせ、へこんだ液面の最も低いところを読みます。目線が上や下にずれると、同じ液面でも異なる目盛りを読んでしまいます。目盛りの間隔と単位を先に見て、器具の読み取りの規則に従い記録します。

直方体なら縦、横、高さを同じ長さの単位でそろえ、3つをかけて体積を求める方法もあります。空洞のある物体では、外側の寸法から求めた体積には空洞も含まれます。その値で全体の質量を割った値と、材料そのものの密度を混同しないようにします。

測定値を表にするときは、初めの目盛り、最後の目盛り、差、質量を別の欄にします。差を計算した後に元の2つの値を消してしまうと、引く順序の誤りや読み違いを見直しにくくなります。体積と質量が異なる物体の値を組み合わせても意味のある密度は得られません。複数の物体を測る問題では、記号ごとに同じ行にそろえます。

密度が大きいということは、同じ体積で比べたときの質量が大きいという意味です。大きな物体の質量が小さな物体より大きくても、それだけでは密度の大小は決まりません。反対に、同じ質量の物体なら、体積が小さい方が密度は大きくなります。比較の条件をそろえることで、形や量の違いに引きずられずに考えられます。

候補の表と照合するときは、計算結果の単位と、候補の単位が同じかを見ます。丸めた値を比べるよう指定された場合はその指示に従い、指定がなければ途中で早く丸めすぎないようにします。測定値に幅がある問題なら、見かけ上近い数を即座に確定せず、問題の条件で区別できるかを検討します。

基本例題：水面の上昇を使う

問題：水に溶けず、水を吸わない固体Aの質量は 54 g でした。水を入れたメスシリンダーの目盛りは 20 mL です。Aを完全に沈めると 40 mL になりました。水はこぼれず、Aに気泡は付いていません。候補の物質P、Q、Rの密度は、この問題の条件としてそれぞれ 1.8、2.7、3.6 g/cm³ とします。Aが候補のいずれか1種類からできているとき、密度を小数で、候補を記号で答えてください。割り切れない場合は小数第2位を四捨五入し、小数第1位までとします。

図2のように、40 mL は水とAを合わせた目盛りです。20 mL の水がもともとあったので、40 mL をAの体積にしてはいけません。増えた分を先に求めます。

図2に対応する計算を、量の名前と単位を付けて順に書きます。

Aの体積 = 40 − 20 = 20 mL

1 mL = 1 cm³ ですから、Aの体積は 20 cm³ です。次に、同じAの質量 54 g をこの体積で割ります。

Aの密度 = 54 ÷ 20 = 2.7 g/cm³

候補の密度と比べると、2.7 g/cm³ に一致するのはQです。したがって答えは密度 2.7 g/cm³、候補Qです。答えを元に戻すと、2.7 g/cm³ × 20 cm³ = 54 g で質量に合います。また、20 mL の水に 20 mL 分の体積が加わり、40 mL という最後の目盛りにも戻ります。

水の質量を測った値は、この計算には使っていません。水面の変化で求めたのは固体Aの体積で、割る相手は固体Aの質量です。容器ごとの質量しか与えられていない場合は、空の容器の質量を引いて固体の質量を取り出します。容器の質量が不明なら、容器ごとの値を固体の質量とみなすことはできません。

条件が変わるときの分かれ目

問題：同じ材料がすき間なく詰まった直方体Bは、縦 3 cm、横 4 cm、高さ 5 cm、質量 180 g です。候補X、Yの密度は、問題の条件としてそれぞれ 3.0、4.0 g/cm³ です。Bの密度を小数で、候補を記号で答えてください。割り切れない場合は小数第2位を四捨五入し、小数第1位までとします。さらに、Bから同じ材料の部分を切り取ったところ、その部分の体積は 15 cm³ でした。この部分の質量を g の小数で答えてください。

まず外側の寸法から体積を求めます。材料はすき間なく詰まっているので、この体積を材料の体積として使えます。

Bの体積 = 3 × 4 × 5 = 60 cm³

Bの密度 = 180 ÷ 60 = 3.0 g/cm³

候補はXです。切り取った部分は体積が変わっても同じ材料なので、密度は 3.0 g/cm³ のままです。求める量が質量なので、密度にその部分の体積をかけます。

切り取った部分の質量 = 3.0 × 15 = 45.0 g

確かめると、60 cm³ に 3.0 g/cm³ をかけて 180 g、15 cm³ に 3.0 g/cm³ をかけて 45.0 g です。後者を体積で割り戻すと 3.0 g/cm³ になります。切り取った部分をもとの直方体に戻すと、残りの体積は 45 cm³、残りの質量は 135 g となり、合計はもとの 60 cm³ と 180 g に合います。

ここでの分かれ目は、外側の体積が材料の体積と一致するかどうかです。内部に空洞があれば、寸法から得た体積には空洞が入ります。空洞の体積が不明なまま、材料そのものの密度を求めることはできません。また、候補に同じ密度が複数ある場合は、密度が一致しても候補を1つに絞れません。別の性質や追加の条件が必要です。

まちがいの場所をたどる

基本例題で、54 ÷ 40 = 1.35 として密度を求める誤答を考えます。割り算自体はできますが、40 mL はAの体積ではなく水とAを合わせた目盛りです。図3のように、初めの水 20 mL を取り除いてから、Aの質量を増加分の 20 cm³ に対応させます。

図3の誤りを直すには、式の分母に「何の体積か」を書き添えます。最終目盛りを引くのではなく、最終目盛りから初めの目盛りを引きます。差が負になったり0になったりした場合は、そのまま密度を計算せず、読み違いや条件を点検します。正しく沈めて水がこぼれていなければ、正の体積をもつ物体で水面は上がるはずです。

気泡が付いていた場合は、物体に加えて気泡の分も水面を押し上げるため、体積を大きく読み、密度を小さく計算しがちです。反対に、水がこぼれた場合は増加量が小さくなり、密度を大きく計算しがちです。どちらも得られた数値を機械的に直すのではなく、状態を整えて測り直すか、補正に必要な情報を求めます。目盛りの範囲を超えて読めない場合も、最後の目盛りを上限値として代用できません。

水に浮いて一部しか沈まない物体では、水面の増加分は沈んだ部分に対応し、物体全体の体積ではありません。水に溶けたり水を吸ったりする物体でも、この手順をそのまま使えません。問題文に測定可能な条件がそろっているかを、計算前に確認します。

自分で確かめる問題

次の数値は練習用の条件です。各問で求める数値は小数で答え、割り切れない場合は小数第2位を四捨五入して小数第1位までにしてください。

1. 固体Cの質量は 63 g、体積は 15 cm³ です。密度を g/cm³ で求めてください。
2. 水に溶けず水を吸わない固体Dを、32 mL の水に完全に沈めると 44 mL になりました。水はこぼれず、気泡も付きません。Dの質量が 30 g のとき、体積を cm³、密度を g/cm³ で求めてください。
3. 密度が 2.4 g/cm³ の材料がすき間なく詰まった固体Eの質量は 72 g です。Eの体積を cm³ で求めてください。
4. 固体Fの質量は 36 g です。水は初め 25 mL でしたが、Fを完全に沈める途中で水がこぼれ、最後は 31 mL を示しました。こぼれた水の量は不明です。Fの密度をこの情報だけで求められるか、理由とともに答えてください。

答えと道筋

1. 63 ÷ 15 = 4.2 なので、密度は 4.2 g/cm³ です。戻して確かめると、4.2 × 15 = 63 g となり、与えられた質量に合います。体積が 15 cm³ の全体に対して質量 63 g を割っています。

2. 体積は 44 − 32 = 12 mL = 12 cm³ です。密度は 30 ÷ 12 = 2.5 g/cm³ です。12 mL を初めの 32 mL に加えると 44 mL、2.5 × 12 = 30 g となり、目盛りと質量の両方に戻ります。最後の 44 mL をそのまま分母にしないことが要点です。

3. 体積は 72 ÷ 2.4 = 30.0 cm³ です。2.4 × 30.0 = 72 g と戻して確かめられます。密度を求める式を使う場合も、2.4 = 72 ÷ 体積 と置いて考えると、求める量の位置が明らかになります。

4. 求められません。31 − 25 = 6 mL は、水がこぼれた後に残った目盛りの差であり、Fの体積そのものではないからです。たとえば、こぼれた水が 2 mL なら体積は 8 mL、4 mL なら 10 mL です。どちらも最後は 31 mL ですが、36 g を割る体積が異なります。こぼれた量を求めるか、こぼさずに測り直す必要があります。

手元に残す要点

• 密度は物体の質量 ÷ その物体の体積です。
• 水面の差を使うときは、完全に沈み、水がこぼれないなどの条件を確かめます。
• 1 mL は 1 cm³ で、候補の密度と比べるときも単位をそろえます。
• 条件が足りない場合は、数値を決めずに不足を示します。

途中のどこで止まるかを見る

お子さまが答えを間違えたときは、最終値だけでなく、最初の目盛りと最後の目盛りを指して、それぞれに何が含まれるかを聞いてみます。差を求められても、水の体積と物体の体積を言い分けられない場合は、前後の図に水と固体を書き込みます。式は合っていても単位が違う場合は、mL と cm³ の対応に戻ります。

個別指導では、体積が直接示される場合と水面の差から求める場合を並べ、分母に入れた量の意味を説明してもらいます。さらに、水がこぼれた条件を加え、同じ引き算が使えるかを問い直します。答えを元の質量や目盛りに戻せるかまで見ると、計算と測定条件の両方を点検できます。密度は、同じ物体の質量と体積を結んで初めて意味を持ちます。