高校地学 相対湿度と露点—水蒸気量の変化と冷却の効果を別々に計算する｜武蔵野個別指導塾

飽和水蒸気圧の表で冷却と凝結の境目を捉える鍵は、相対湿度と露点です。

よくあるのは、高校生が空気を冷やす問題で、露点に達する前から水蒸気が減ると考える場面です。温度が下がれば湿度は変わりますが、その変化だけでは水蒸気が液体に変わったとは言えません。冷却による飽和水蒸気圧の変化と、凝結による水蒸気そのものの変化を、異なる段階として追います。温度、実際の水蒸気圧、飽和水蒸気圧を並べると、どの段階で何を変えるべきかが見えてきます。

問いの形を見分ける

相対湿度の計算では、気温と湿度から実際の水蒸気圧を求める形が出ます。割合を先に求め、気温に対応する飽和水蒸気圧に掛けます。次に、表からその水蒸気圧に等しい飽和水蒸気圧を探せば露点を求められます。表の値に一致しないときは、問題が補間を認めているかが重要です。

別の形は、水蒸気の出入りがない空気を冷却したときの湿度を問うものです。凝結前は、ここでは圧力を一定に保つ条件で水蒸気圧も一定とします。分母となる飽和水蒸気圧は新しい気温の値に取り替えます。冷却後の温度が露点以下なら、凝結を考える必要があります。

さらに、同じ湿度の空気どうしを比べて、どちらの水蒸気圧が大きいかを問う場合もあります。百分率が同じでも気温が異なれば分母が異なるので、割合だけで水蒸気圧の大小は決まりません。答えを書く前に、比べる量と揃えた条件を明記しましょう。

水蒸気圧と飽和を分けて考える

空気中の水蒸気が及ぼす圧力を水蒸気圧と呼びます。液体の水とその水蒸気が釣り合う状態に対応する水蒸気圧が飽和水蒸気圧です。水面から飛び出す分子と水面へ戻る分子のやり取りが釣り合っても、個々の分子の運動が止まるわけではありません。温度が高くなると水に対する飽和水蒸気圧は大きくなります。

図1のように、相対湿度は実際の水蒸気圧を、その気温での飽和水蒸気圧で割って表します。湿度は水蒸気圧そのものではなく、飽和に対する割合です。水蒸気圧を e、気温 T での飽和水蒸気圧を E(T)、相対湿度を H とすると、同じ単位の圧力を使って次のように書けます。

H = e/E(T)・100 %
e = E(T)・H/100

図1の分母は、露点ではなく現在の気温で選びます。水蒸気圧が一定でも気温が下がると分母は小さくなり、相対湿度は上がります。空気が水蒸気を入れる容器だからという説明ではなく、その温度での飽和に対する比が変わると考えます。

露点は、水蒸気圧を一定にして冷やしたとき、飽和に達する温度です。露点を Tｄ とすると E(Tｄ) = e です。未飽和の空気では露点は気温より低く、飽和状態では両者が一致します。露点は現在の水蒸気圧に対応する温度なので、同じ圧力で水蒸気の出入りがなければ、未飽和の間に気温が変化しても露点は変わりません。

気体の状態を変えると、同じ水蒸気の質量でも体積や圧力が変わりえます。水蒸気を含む気体の全圧を一定に保ち、水蒸気と乾燥空気の出入りも相変化もないという本稿の冷却モデルでは、成分の物質量の割合が一定なので水蒸気圧も一定です。一定体積で冷やす場合まで水蒸気圧一定と決めてはいけません。

飽和後も冷却が続き、液体の水と平衡を保つと仮定すれば、余分な水蒸気の一部が凝結して水蒸気圧はその温度の飽和水蒸気圧に従って下がります。ただし、凝結核や冷却速度などの実際の条件で、平衡を直ちに実現するとは限りません。水蒸気圧の差をそのまま凝結した水の質量とすることもできません。質量を求めるには体積や温度、あるいは乾燥空気の質量など、計算に必要な条件が別に要ります。

基本例題：冷却前の水蒸気圧を探す

次の表は、説明と例題のために作った水に対する飽和水蒸気圧の練習用近似モデルです。観測値ではありません。表の間は問題文が認める場合に限り直線的に補間します。

気温25 ℃、相対湿度50 %の空気があります。全圧を一定に保ち、水蒸気の出入りや凝結がないまま20 ℃まで冷やします。初めの水蒸気圧と冷却後の相対湿度を求め、湿度は小数第1位を四捨五入して整数で答えてください。

図2のように、初めの気温25 ℃で表を引くと、分母は32 hPaです。H = 50、E(25) = 32 hPaを式に代入します。

e = 32・50/100
  = 16 hPa

水蒸気の出入りや凝結がないので、図2の右側でも e は16 hPaです。20 ℃における飽和水蒸気圧は23 hPaですから、冷却後の湿度は次のようになります。

H = 16/23・100
  = 69.565... %
  = 70 %

未丸めの割合を用い、23・(69.565…/100) = 16 hPaと戻せます。初めも32・0.50 = 16 hPaです。20 ℃の飽和水蒸気圧23 hPaは16 hPaより大きく、未飽和という条件も成り立ちます。冷却で50 %から約70 %に上がりましたが、水蒸気圧は変わっていません。

別解では、分子が一定なので湿度は飽和水蒸気圧に反比例します。50・32/23 = 69.565… %です。この方法も冷却後が未飽和であることを確認して初めて使えます。飽和後にそのまま延長すると100 %を超える値が出て、平衡を保つという条件に反します。

標準例題：表の途中から露点を読む

上の練習用近似表を使い、表の各区間では飽和水蒸気圧が温度に対して直線的に変化するとします。気温30 ℃、相対湿度50 %の空気の露点を小数第1位まで求めてください。水に対する露点を考えます。

まず、30 ℃の飽和水蒸気圧42 hPaから実際の水蒸気圧を出します。

e = 42・50/100
  = 21 hPa

21 hPaは、15 ℃の17 hPaと20 ℃の23 hPaの間です。温度差5 ℃の間で圧力は6 hPa増えるという近似を使います。15 ℃からの温度差を x ℃とすれば、求める圧力の増分は4 hPaです。

x/5 = (21 - 17)/(23 - 17)
x = 5・4/6
  = 3.333... ℃
露点 = 15 + 3.333...
     = 18.3 ℃

逆に、丸める前の18.333… ℃を表の直線に戻すと、17 + 6・(3.333…/5) = 21 hPaです。さらに21/42・100 = 50 %で初めの湿度に戻ります。整数の表の間を直線とするのはこの問題の約束であり、実際の曲線が厳密に直線という意味ではありません。

グラフなら横軸を温度、縦軸を飽和水蒸気圧として表の点を結びます。縦軸21 hPaから水平に進み、線との交点から温度軸へ下ろします。温度を先に読むのか圧力を先に読むのかで進む向きが違います。表の範囲外に交点がある場合、直線を勝手に延長せず、必要な範囲の資料を求めます。

発展例題：飽和後まで追う

同じ近似表を用います。気温30 ℃、水蒸気圧23 hPaの空気を、全圧一定で10 ℃まで冷やします。水蒸気は外部と出入りせず、飽和後は凝結した水が共存して平衡を保つとします。初めの相対湿度を整数に丸め、凝結が始まる温度、10 ℃での水蒸気圧、初めからの水蒸気圧の減少を答えてください。

初めの分母は42 hPaです。初めの湿度は23/42・100 = 54.761… %なので55 %です。表で23 hPaに対応する温度は20 ℃ですから、20 ℃で飽和します。初めの30 ℃から20 ℃までは水蒸気圧23 hPaのままです。

10 ℃では表の飽和水蒸気圧12 hPaに等しくなります。平衡を保つ条件の下で、差は次のように求まります。

水蒸気圧の減少 = 23 - 12
                   = 11 hPa

10 ℃で12/12・100 = 100 %となり、飽和の条件に戻ります。凝結開始時も23/23・100 = 100 %です。この11 hPaは圧力の差であり、凝結水の質量ではありません。なお、冷却を途中で止めて再び温め、液体の水が全て蒸発できるかは、残っている水の量などの条件によります。

誤答をたどり直す

基本例題で「20 ℃になったら水蒸気圧は23 hPaに減る」という答えを考えます。図3のように、23 hPaは20 ℃の飽和水蒸気圧であって、初めに求めた実際の16 hPaではありません。しかも23 hPaは16 hPaより大きいので、数値の大小からも「減る」という説明と合いません。

原因は、表の値を実際の値へ無条件に置き換えたことです。図3の2つの値を区別し、まず16 hPaのまま23 hPaと比べます。16 hPaが23 hPa未満なので未飽和と判断し、16/23・100で湿度を計算します。飽和したときに限って、平衡状態の実際の水蒸気圧が飽和値に等しくなります。

もう1つの誤りは、湿度が同じなら水蒸気圧も同じとすることです。分母が気温で変わるので、割合だけを比べても水蒸気圧は決まりません。逆に、同じ水蒸気圧で気温が違えば露点は同じですが、相対湿度は一般に異なります。何を一定にした比較かを答えの前に書くと、因果の取り違えを防げます。

質量基準の混合比は乾燥空気の質量に対する水蒸気の質量の比です。体積あたりの水蒸気の質量や水蒸気圧と単位も定義も異なります。特に温度や全圧の違う状態で、数値を変換せずに同じ表へ入れることはできません。湿度の計算では、分子と分母を同じ温度・同じ種類の量で揃えます。

測定を設計するとき

冷却によって湿度が変わる様子を調べるなら、同じ空気について温度と湿度を同時に測り、外部との水蒸気の交換や結露の有無を記録します。温度の異なる地点を別々に測って比較すると、もともとの水蒸気量の違いが冷却の効果に混ざるからです。温度を均一に保ちにくい装置では、センサー付近と結露する面の温度が異なることにも注意します。

温度計と湿度計の応答の遅れや読み取りの幅は、求めた水蒸気圧と露点の不確かさに伝わります。特に露点に近いとき、わずかな温度差で結露の開始時刻の判定が変わります。繰り返し測定し、装置の表示の精度を超えた桁まで断定しないことが必要です。器具の取り扱いは学校の指導の下で行います。

練習：条件を記号に移す

次の5問には、それぞれ独立した練習用近似モデルを用います。圧力の単位はhPa、温度の単位は℃です。各問の表の間の直線補間は、問3に限って認めます。

1. ある温度の飽和水蒸気圧が40 hPa、相対湿度が35 %です。実際の水蒸気圧を整数のhPaで求めてください。
2. 水蒸気圧18 hPaの空気があり、気温での飽和水蒸気圧は30 hPaです。相対湿度を整数の%で求めてください。
3. 水蒸気圧が19 hPaです。飽和水蒸気圧は12 ℃で15 hPa、16 ℃で23 hPaです。露点を小数第1位の℃で求めてください。
4. 空気の全圧を一定に保って未飽和のまま冷やします。冷却前後の飽和水蒸気圧はそれぞれ36 hPa、24 hPa、初めの湿度は50 %です。冷却後の湿度を整数の%で求め、凝結の有無を述べてください。水蒸気の出入りはありません。
5. AとBの気温での飽和水蒸気圧はそれぞれ28 hPa、20 hPaです。両方の相対湿度は60 %です。水蒸気圧が大きい方とその値を小数第1位のhPaで示し、理由を述べてください。

練習の答えと道筋

1. 40・35/100 = 14 hPaです。14/40・100 = 35 %と戻り、問題の割合と一致します。水蒸気圧は飽和値の35 %です。

2. 18/30・100 = 60 %です。30・60/100 = 18 hPaと、初めの水蒸気圧に戻せます。18 hPaは30 hPa未満なので未飽和です。

3. 15から19 hPaまでの増分は4 hPaで、表の8 hPaの増分の半分です。12 ℃から16 ℃までの4 ℃の半分を加え、露点は14.0 ℃です。表の直線に戻すと15 + 8・(2/4) = 19 hPaです。補間の仮定がなければ、表から言えるのは12 ℃と16 ℃の間という範囲までです。

4. 初めの水蒸気圧は36・50/100 = 18 hPaです。冷却後も18 hPaなので、18/24・100 = 75 %です。18 hPaは24 hPa未満で、与えられた条件では凝結しません。24・75/100 = 18 hPa、36・50/100 = 18 hPaと両方の状態へ戻せます。

5. Aは28・60/100 = 16.8 hPa、Bは20・60/100 = 12.0 hPaです。Aの方が大きい値です。同じ60 %でもAの飽和水蒸気圧が大きいためです。16.8/28・100と12.0/20・100はいずれも60 %に戻ります。

覚えておくこと

相対湿度は実際の水蒸気圧を現在の気温での飽和水蒸気圧で割った割合です。 露点では、その温度の飽和水蒸気圧が実際の水蒸気圧に等しくなります。 一定圧力の未飽和冷却では、水蒸気圧一定と分母の変化を分けます。 飽和後の凝結は、平衡や水の出入りの条件を確認して扱います。

答案のどこを見るか

個別指導で最初に確かめるのは、式の分母に添えた温度です。冷却後の湿度なのに冷却前の飽和値を残していたら、表のどの列を選んだかを言葉で説明してもらいます。次に、露点を求める行で水蒸気圧と飽和水蒸気圧を等しく置けているかを見ます。

計算結果が100 %を超えた答案では、丸め直す前に飽和後の条件を確認します。数値が合っていても、圧力の差を水の質量と書いていれば単位を並べ直します。気温と露点、水蒸気圧と飽和水蒸気圧を区別する言葉が、冷却の過程を正しくつなぎます。