高校化学 アルカンの炭素骨格—枝分かれと対称性から同じ構造を見抜く｜武蔵野個別指導塾

炭素の接続をたどり、左右反転した骨格の対応と枝分かれ点からの道の長さを使って、アルカンの構造の重複を見抜きます。

よくあるのは、枝を左に描いた構造と右に描いた構造を、別の分子として数える場面です。紙の上では向きが違っても、炭素どうしの結合の相手が変わっていなければ同じ構造です。逆に、分子式が同じでも結合の相手が違えば別の構造になります。炭素を番号で追い、端から端までの道と枝の付き方を調べると、見た目に左右されずに判断できます。

問題の条件を先に読む

炭素骨格を問う問題には、分子式から候補を描く型、2つの構造式が同じか判定する型、条件に合う骨格を数える型があります。いずれも最初に「鎖式」「飽和」「炭化水素」という条件を確認します。ここでは炭素と水素からなり、炭素間の結合がすべて単結合で、環のない分子を扱います。環や二重結合を含む候補は、炭素の数が合ってもこの条件の外です。

構造式は紙に描いた形そのものではなく、原子の結合関係を伝える記号です。向きを変えたり、単結合の周りの向きを変えたりして描き直しても、結合先が保たれるなら同じ骨格です。一方、枝を別の炭素に付け替える操作は結合先を変えるので、単なる描き直しとは限りません。数える前に、何を同一と見なすかを言葉にすると、答えの個数の意味が明確になります。

炭素の手を数えて骨格を見る

炭素原子は通常4本、水素原子は1本の結合をつくります。鎖式の飽和炭化水素では、炭素どうしをつなぐ線が全部単結合であり、炭素骨格に環がありません。この条件を外すと、これから導く式をそのまま適用できません。例えば環を1つつくるには、鎖の端どうしにも炭素間の結合が必要です。その分、水素に使える結合の手が減ります。

炭素がn個あるとき、炭素の結合の手は合計4n本です。環のない一続きの骨格の炭素間結合はn − 1本です。最初の炭素から新しい炭素を1個ずつつなぐと、1個増えるたびに結合が1本増えるからです。炭素間結合1本は両端の炭素の手を1本ずつ使います。残りの手を水素で埋めると、水素数は4n − 2(n − 1) = 2n + 2です。したがって一般式はCₙH₂ₙ₊₂です。nは1以上の整数です。

別の見方では、メタンCH₄の水素1個を炭素1個に置き換え、その新しい炭素の残り3本に水素を付けます。炭素が1個増えるたび、水素は1個減って3個増え、差し引き2個増えます。この考え方も枝の有無に依存しません。一般式が同じになる理由は、描いた線の向きではなく、環のない骨格の結合数にあります。

図1のように、骨格では炭素を点、炭素間結合を線として見ます。点の周りの線の数を数えれば、それぞれの炭素に付く水素の数は4からその数を引いて求まります。点だけの図は結合関係を示す模式図であり、実物の大きさや角度を表すものではありません。

図1では端の炭素は炭素間結合が1本なので水素が3個、中央の炭素は炭素間結合が2本なので水素が2個です。炭素間結合が3本なら水素は1個、4本なら水素はありません。5本以上の炭素間単結合が集まる図は、この範囲の炭素の構造として成立しません。結合の線の折れ方に引きずられず、各点の線の本数を数えます。

同じ骨格かどうかは、各炭素の結合先を対応させて確かめます。例えば一方の枝分かれ点がもう一方の枝分かれ点に対応し、そこから出る各道の長さも一致すれば、向きが違っても同一です。枝分かれ点につながる道の長さの組が違うなら、図を回しても一致しません。ただし一般には線の本数の分布だけで同一と決めず、隣接関係まで照合します。

基本例題：反転した2枚を照合する

炭素数5の鎖式飽和炭化水素について、次のAとBは同じ構造ですか。答えは「同じ」または「異なる」とし、炭素の対応を示してください。AはCH₃-CH(CH₃)-CH₂-CH₃、BはCH₃-CH₂-CH(CH₃)-CH₃です。かっこ内のCH₃は、直前のCHに結合しています。原子量を使う計算はありません。

Aの横の4個の炭素を左から1、2、3、4と呼び、枝の炭素を5とします。Bの横の4個を左からa、b、c、d、枝をeと呼びます。Aの1、2、3、4、5を、それぞれBのd、c、b、a、eに対応させます。Aの結合1-2、2-3、3-4、2-5は、Bのd-c、c-b、b-a、c-eに対応します。どの結合も保たれるため、答えは同じです。

図2のように、横の鎖を逆向きに読むと枝分かれ点が対応します。Aの左から2番目とBの左から3番目は、どちらも近い端から2番目です。炭素数5、水素数12も一致し、一般式にも合います。ただし分子式が一致したことだけでは同一の証明になりません。直鎖のC₅H₁₂も同じ分子式を持つので、結合の対応まで示す必要があります。

答案を戻して点検すると、枝分かれ点には炭素が3個接続し、水素が1個付きます。その左右には炭素1個の道と2個の道、残る枝には炭素1個の道があります。Bにも同じ道があり、炭素の原子価も満たされています。向きを変えただけで枝の接続先を移していないことが、同じと判断する根拠です。

標準例題：道の長さで候補を分ける

炭素数6の鎖式飽和炭化水素で、枝分かれ点がちょうど1個あり、その点に炭素が3個結合している骨格を考えます。枝分かれ点から各端までにある炭素の個数を、枝分かれ点自身を除いて数えます。道の長さの組を小さい順の整数で全部挙げ、骨格の個数を整数で答えてください。回転や反転で結合関係が一致するものは同一とします。

枝分かれ点以外の炭素は5個です。道の長さはそれぞれ1以上なので、小さい順にa、b、cとすればa + b + c = 5、1 ≤ a ≤ b ≤ cです。aが1のとき、bは1または2です。組は(1, 1, 3)と(1, 2, 2)になります。aが2以上なら合計は少なくとも6なので条件に合いません。答えは2個です。

枝分かれ点から同じ長さの道が出るとき、その道を交換しても結合関係は変わりません。そのため(1, 1, 3)を(3, 1, 1)と並べ直して個数を増やしません。逆に2組を比べると、長さ3の道の有無が違います。枝分かれ点は各骨格で1個と決まっているので、この違いを回転で消すことはできません。

別解として最長の道を見ます。2つの端を結ぶ最長の道に含まれる炭素数は、長い2本の道の長さと枝分かれ点1個の和です。(1, 1, 3)では5個、(1, 2, 2)では5個です。最長鎖の長さだけでは2つを区別できないため、残る枝の接続位置も比べます。前者は端に近い側、後者は中央に枝があり、互いに異なります。最長鎖を使う方法でも、同じ長さの鎖をどちらから読むかで重複が生じる点に注意します。

発展例題：炭素数を増やして分類する

炭素数7の鎖式飽和炭化水素で、炭素間結合が4本の炭素をちょうど1個もち、炭素間結合が3本の炭素をもたない骨格を数えます。回転や反転で結合関係が一致するものは同一とし、道の長さの組と個数を整数で答えてください。炭素間結合が4本の炭素を中心とし、中心を除いた各道の炭素数を小さい順に書きます。

中心以外は6個です。枝分かれ点が他にないため、中心から4方向へ伸びる道に炭素を分配します。各道に少なくとも1個あるので、最初に4個を置き、残る2個を配ります。2個を同じ道に足せば(1, 1, 1, 3)、異なる2本に1個ずつ足せば(1, 1, 2, 2)です。道の順番は区別しないため、答えは2個です。

戻して調べると、どちらも中心が4本の炭素間結合を持ち、他の炭素間結合は1本または2本です。炭素の合計はどちらも7個で、一般式から水素は16個です。例えば(1, 1, 1, 3)では末端4個に水素が各3個、途中の2個に各2個付き、合計16個になります。(1, 1, 2, 2)でも末端4個と途中2個から16個となります。

この数え方は中心が条件から一意に定まるため有効です。中心が複数ある問題では、それぞれを中心に選んで同じ骨格を二重に作る可能性があります。分類の基準を決めた後、別の基準から同じ候補が現れないか照合してください。また、構造を数える作業は実物の純度を測る実験ではありません。学校の指導の下で得た試料の観察記録があっても、測定値の誤差や混合物の影響を考え、分子式だけで骨格を断定しないことが必要です。

例えば、ある系列で炭素数を横軸、一般式から求めた水素数を縦軸に取ると、隣り合う炭素数で水素数は2ずつ増えます。点は直線上に並びますが、横軸の値は1以上の整数に限ります。グラフの中間の点に分子があると読んではいけません。実測値を重ねたときに直線からずれれば、読み取りや試料の条件を点検する手掛かりにはなりますが、ずれの原因をグラフだけで決めることはできません。

数え過ぎと数え落としを直す

誤答の例は、基本例題のAとBを「枝が2番目と3番目にあるから2種類」とすることです。原因は、左端という紙の上の位置を分子固有の位置だと思うことにあります。Aの右端から読むと、枝は3番目に見えます。端を入れ替えても接続が対応するので、2つは1種類です。図3のように、端からの順序を逆にたどって対応をつけると修正できます。

図3の2と3は別の分子を示す数ではなく、同じ枝分かれ点に異なる端から付けた番号です。反対に、炭素の数が同じだから同一とするのも誤りです。炭素数6の標準例題の2組は、枝分かれ点から端までの道の長さが違うため、相互に対応しません。

成立しない図も候補から除きます。1個の炭素から5本の炭素間単結合を引いたものは、4本という原子価を超えます。また、炭素間の線を閉じて環にした図は、鎖式という条件を満たしません。どちらも「見た目が違う」というだけで数える前に除外します。さらに一般式に合わない水素数を付けた場合は、各炭素の残りの手を数え直し、結合線の描き漏れか水素の付け間違いかを確認します。

練習：接続を自分でたどる

以下はすべて鎖式飽和炭化水素とし、構造の数は回転や反転で結合関係が一致するものを同一として数えます。数値は整数で答え、原子量を使う計算はありません。

1. 炭素数8の分子の水素数を整数で答えてください。導出の際の炭素間結合数も示してください。
2. 炭素数4の直鎖と、炭素1個が他の炭素3個に結合した骨格は同じですか。答えを「同じ」または「異なる」とし、判定の理由を述べてください。
3. 炭素数8で、枝分かれ点がちょうど1個、その点の炭素間結合が3本の骨格を考えます。枝分かれ点を除く3方向の道の長さの組を小さい順に全部挙げ、個数を整数で答えてください。
4. 炭素数9で、炭素間結合が4本の炭素がちょうど1個、炭素間結合が3本の炭素がない骨格を考えます。中心を除く4方向の道の長さの組を小さい順に全部挙げ、個数を整数で答えてください。
5. CH₃-CH₂-CH₂-CH₃とCH₃-CH(CH₃)-CH₃の各炭素に結合する水素の個数を、それぞれ横に書かれた炭素を左からたどり、枝がある場合は最後に枝を加えて答えてください。2つの分子式も示してください。

答えとたどり方

1. 炭素間結合は8 − 1 = 7本です。炭素の手32本から炭素間結合に使う14本を引くと、水素は18個です。C₈H₁₈は一般式にも合い、炭素8個と水素18個という問題の条件に戻ります。
2. 異なります。直鎖では炭素間結合が3本の炭素はありません。もう一方にはそのような炭素が1個あり、この結合数は描く向きを変えても変わらないからです。どちらも炭素4個で水素10個ですが、分子式の一致は結合先の一致を意味しません。
3. 枝分かれ点以外は7個なので、1以上の整数3個の和が7です。小さい順の組は(1, 1, 5)、(1, 2, 4)、(1, 3, 3)、(2, 2, 3)の4個です。最小の数が1か2かで分けると漏れません。各組は合計7で、中心を足すと炭素8個に戻ります。
4. 中心以外は8個です。4方向に1個ずつ置いた後、残る4個の配り方を整理すると、(1, 1, 1, 5)、(1, 1, 2, 4)、(1, 1, 3, 3)、(1, 2, 2, 3)、(2, 2, 2, 2)の5個です。各組の和は8であり、中心を足すと炭素9個です。各道の途中で分岐しないため、他に炭素間結合が3本の点は現れません。
5. 前者は左から3、2、2、3個、後者は左から3、1、3個、枝が3個です。いずれも合計10個なので分子式はC₄H₁₀です。後者の中央は3個の炭素と結合するため水素は1個であり、各炭素の結合数を4に戻すと確かめられます。

手元に残す要点

鎖式飽和炭化水素の一般式はCₙH₂ₙ₊₂です。 同一性は向きではなく炭素どうしの接続で判断します。 枝分かれ点から端までの道の長さは、重複を除く手掛かりです。 候補ごとに炭素数と各炭素の結合数を確かめます。

つまずきを見分けるには

構造式を見て個数が合わないときは、まず炭素を一つずつ指でたどり、各点に何本の炭素間結合があるかを書きます。個別指導で確認するなら、左右の端を入れ替えた図を描いてもらい、枝分かれ点とその隣の炭素がどこに対応するかを言葉で説明してもらうと、向きと接続の混同を見分けられます。

一般式の計算で合わないときは、炭素間結合1本が炭素の手を2本使うことに戻ります。列挙で漏れが出るときは、道の長さを小さい順に並べ、和と最小値で場合分けします。最後に水素を埋めて原子価を確かめれば、同じ骨格の重複と成立しない候補を区別できます。炭素のつながりを保つ対応が、骨格を見抜く根拠です。