高校化学 イオン交換樹脂の容量計算—官能基と電荷から交換できる量を求める｜武蔵野個別指導塾

二価イオンに必要な交換基を電荷から数え、陽・陰イオン交換樹脂の直列処理で生じる水の量まで計算できます。

よくあるのは、樹脂に捕まるイオンを1個ずつ数え、二価のイオンも交換基1個で受け取れると考えてしまう場面です。樹脂に固定された電荷と、そこに対応する移動可能なイオンの電荷を比べると、その数え方が合わないことに気づきます。交換できる量を求めるときは、粒子の個数をすぐに足す前に、電荷の大きさをそろえましょう。

問題の入口で分ける3つの型

第1の型は、交換基の量から取り込めるイオンの量を求める問題です。1価のイオンなら交換基1個に対応しますが、2価なら電荷を打ち消すために1個のイオンに対して1価の交換基が2個必要です。第2の型は、複数のイオンが混ざった溶液を処理し、容量が足りるかを判断する問題です。各イオンの物質量を価数で重み付けしてから足します。

第3の型は、陽イオン交換樹脂と陰イオン交換樹脂を順に通し、出入りする物質を追う問題です。前の樹脂で生じたH⁺も後の段階で考えます。どの樹脂がどの形で始まり、交換が完全か、容量に余裕があるかを最初に確認します。容量不足の場合は、残りのイオンの種類や量を決めるために、選択性などの追加条件が必要になることがあります。

交換基と電荷を結び付ける

イオン交換樹脂は、イオン性の官能基をもつ高分子です。樹脂の骨格に固定された電荷と、その近くにある交換可能な反対符号のイオンを区別します。陽イオン交換樹脂のH⁺形を、固定部分をRとして R–SO₃⁻ H⁺ と表します。Rは樹脂の骨格をまとめた記号で、1個の小分子を表すものではありません。スルホン酸基由来の負電荷に対し、H⁺が移動可能な対イオンです。

図1のように、Na⁺なら固定された負電荷1個に対応し、Ca²⁺なら2個に対応します。図は交換後の電荷の対応を示す模式図であり、交換基の位置や樹脂の立体構造を描いたものではありません。

交換の前後で、固定された負電荷の数は変わりません。H⁺形で書けば、Na⁺1 molを取り込むとH⁺1 molを放出します。Ca²⁺1 molを取り込むとH⁺2 molを放出します。逆方向の交換もあり、矢印を一方向に限定するためには、問題の処理条件が必要です。以下の計算は、指定されたイオンが完全に交換されるという与条件の下で行います。

陰イオン交換樹脂では、正電荷をもつ交換基に陰イオンが対応します。OH⁻形の交換基を R–N⁺ OH⁻ と略すと、Cl⁻1 molに対してOH⁻1 mol、SO₄²⁻1 molに対してOH⁻2 molが交換されます。R–N⁺は固定された正電荷の模式表記であり、窒素原子に結合する基の詳細は省いています。

容量を電荷1 mol分に換算した量で表すと、価数の異なるイオンを比較できます。ここでは1価の交換基1 mol分を1 mol当量と呼びます。イオンの物質量に電荷の絶対値を掛けた量が必要な当量です。たとえばCa²⁺ 0.010 molは0.020 mol当量に相当します。mol当量は粒子そのものの物質量と取り違えないよう、答えの単位を明示します。

基本例題：カルシウムイオンと交換基

H⁺形の陽イオン交換樹脂に、交換可能なH⁺が0.060 molあります。Ca²⁺を0.020 mol含む水溶液を通すと、Ca²⁺は完全に交換されました。他の交換されるイオンはないものとします。使った交換基、放出されたH⁺、残った交換可能なH⁺をそれぞれmol単位で小数第3位まで求めてください。

図2のようにCa²⁺1個に固定負電荷2個を対応させます。残量は初めの容量から使った量を引いて求めます。

必要な交換基 = 0.020 mol × 2
             = 0.040 mol
放出されたH⁺ = 0.040 mol
残った交換可能なH⁺ = 0.060 mol - 0.040 mol
                    = 0.020 mol

答えは順に0.040 mol、0.040 mol、0.020 molです。逆に確かめると、取り込まれたCa²⁺の正電荷は0.040 mol当量で、放出されたH⁺の正電荷と一致します。使用分と残りを足すと0.060 molとなり、初めの交換基の量にも戻ります。溶液全体にはCa²⁺に対応する陰イオンが存在しますが、この設問では交換される陽イオンの量だけを数えています。

別の見方では、容量をCa²⁺換算にすると0.060 ÷ 2 = 0.030 molです。与えた0.020 molはそれ以下なので完全交換が可能です。ただし、この0.030 molは樹脂が最初からCa²⁺だけを受け取る場合の上限です。他の陽イオンにも容量を使う場合、その分を引かなければなりません。

標準例題：混合溶液の必要容量

H⁺形の陽イオン交換樹脂に、Na⁺ 0.012 molとMg²⁺ 0.009 molを含む溶液を通します。両者は完全に交換され、他に交換される陽イオンはありません。交換可能なH⁺は初めに0.040 molあります。放出されるH⁺と残りの交換可能なH⁺をmol単位で小数第3位まで求めてください。

Na⁺に対応するH⁺ = 0.012 mol × 1 = 0.012 mol
Mg²⁺に対応するH⁺ = 0.009 mol × 2 = 0.018 mol
放出されるH⁺ = 0.012 mol + 0.018 mol
               = 0.030 mol
残り = 0.040 mol - 0.030 mol = 0.010 mol

答えは0.030 molと0.010 molです。陽イオンの粒子数に相当する物質量を単純に足した0.021 molは、交換に必要なH⁺の量ではありません。Mg²⁺の電荷を2倍して初めて、固定された負電荷との対応が取れます。逆算すると、使用0.030 molと残り0.010 molの和は初めの0.040 molです。

もし容量が0.025 mol当量しかなければ、必要な0.030 mol当量に足りず、両者の完全交換という条件は成立しません。差の0.005 mol当量が不足することは言えますが、それだけで流出液に残るNa⁺とMg²⁺のそれぞれの量は定まりません。どちらが優先して交換されるか、また交換がどこまで進むかを指定する必要があります。負の残量を答えとして書くのではなく、条件が両立するかを先に点検します。

発展例題：直列に通して水を数える

CaCl₂が0.015 mol溶けた水溶液を、十分な容量のH⁺形陽イオン交換樹脂、次に十分な容量のOH⁻形陰イオン交換樹脂に通します。CaCl₂は完全に電離し、各段階で対象のイオンは完全に交換されます。溶液中の他の交換対象は無視します。各樹脂から放出されるH⁺とOH⁻の量、中和で生じる水の量をmol単位で小数第3位まで求めてください。もともとの溶媒の水は数えません。

Ca²⁺の量 = 0.015 mol
Cl⁻の量 = 0.015 mol × 2 = 0.030 mol
放出されるH⁺ = 0.015 mol × 2 = 0.030 mol
放出されるOH⁻ = 0.030 mol × 1 = 0.030 mol
生成するH₂O = 0.030 mol

答えはH⁺ 0.030 mol、OH⁻ 0.030 mol、生成水0.030 molです。前段ではCa²⁺が樹脂側へ移り、同じ正電荷に相当するH⁺が溶液側へ出ます。Cl⁻は前段では対象とせず溶液に残ります。後段でCl⁻が固定正電荷に対応して取り込まれ、同じ量のOH⁻が放出されます。H⁺とOH⁻は1対1で水になります。

戻して確かめると、樹脂が受け取ったCa²⁺の電荷は正の0.030 mol当量、Cl⁻の電荷は負の0.030 mol当量です。生成水0.030 molをH⁺とOH⁻に分けて考えても、それぞれの放出量に戻ります。前段で水が完成したと考えると、後段のOH⁻の行き先が失われます。段階ごとに溶液に残るイオンを書くことが収支の確認になります。

この計算では、溶媒の水の自己電離や溶液中のその他の成分を無視しています。実際の水には複数の成分が存在しうるため、容量と完全交換の条件なしに同じ数値を適用することはできません。また、通過後の液が常に完全に純粋であると、このモデルだけから断定することもできません。

誤答から直す：粒子の数と電荷の数

「Ca²⁺が0.020 molなので、H⁺も0.020 mol出る」という答えを考えます。粒子の物質量をそのまま対応させたことが原因です。Ca²⁺の正電荷は0.040 mol当量ですが、H⁺ 0.020 molの正電荷は0.020 mol当量しかありません。交換の前後で固定負電荷を打ち消す量が合わなくなります。

図3のように、まず電荷を数え、次に1価のH⁺の量に戻します。正しくはH⁺ 0.040 molです。樹脂に入るイオンの数と出るイオンの数は一致しなくても、対応する電荷の総量は一致します。

同じ誤りは陰イオン側にも現れます。SO₄²⁻ 1 molを受け取るには1価の正の交換基が2 mol必要で、OH⁻形からはOH⁻が2 mol出ます。陽イオンか陰イオンかで符号は逆になりますが、電荷の絶対値を掛けて比較する手順は共通です。なお、容量に足りないときはこの比例関係だけで完全交換を主張できません。

観察の設計と結果の限界

交換の進行を調べるなら、同じ量と同じ初期形の樹脂を用い、流す液の組成と量を記録します。比較したい要因を1つに絞り、樹脂を通さない液も対照として測ります。例えば処理前後の液に含まれる対象イオンの量を測れば、差から樹脂に移った量を推定できます。実験は学校の指導の下で行います。

流出液を一定量ずつ分けて分析する場合、横軸を通した液の累積量、縦軸を流出液の対象イオン濃度にします。最初に低く、後に濃度が上がる記録なら、交換しきれないイオンが流出し始めたことを示唆します。ただし、流出の開始点は測定限界や試料の分け方に左右されます。グラフの形だけで樹脂内部の全交換基が使われたと決めることはできません。

採取液がこぼれれば回収した量は実際より小さく見え、分析器具に対象イオンが残れば測定値は大きく見えます。樹脂に残った液を無視して差を取ることも誤差の原因です。対照の測定、回収量の確認、同じ条件での繰り返しによって、交換による変化と操作上のばらつきを分けて考えます。完全に交換したかは、測定の検出限界も添えて判断します。

練習問題

いずれも示したイオンは完全に交換され、他の交換対象はないものとします。容量が与えられた場合は初期状態の値です。計算結果はmol単位で小数第3位まで、記述は理由を含めて答えてください。

1. H⁺形樹脂にK⁺ 0.017 molを通します。放出されるH⁺の量を求めてください。
2. H⁺形樹脂にBa²⁺ 0.013 molを通します。使う交換基の量と放出されるH⁺の量を求めてください。
3. 交換可能なH⁺が0.070 molの樹脂に、Li⁺ 0.014 molとCa²⁺ 0.021 molを通します。残る交換可能なH⁺の量を求めてください。
4. OH⁻形樹脂にSO₄²⁻ 0.011 molとCl⁻ 0.008 molを通します。放出されるOH⁻の量を求めてください。
5. Na₂SO₄ 0.019 molを含む溶液を、十分なH⁺形樹脂、十分なOH⁻形樹脂の順に通します。完全電離と完全交換を仮定し、交換に使われる各樹脂の容量と生成する水の量を求め、電荷が対応する理由を説明してください。

練習の答えと解き方

1. K⁺は1価です。0.017 × 1 = 0.017 molのH⁺が出ます。逆にH⁺ 0.017 molの正電荷はK⁺ 0.017 molの正電荷に一致します。

2. Ba²⁺は2価なので、0.013 × 2 = 0.026 molの交換基を使い、H⁺も0.026 mol出ます。0.026 ÷ 2 = 0.013 molとしてBa²⁺の条件に戻ります。

3. Li⁺が0.014 mol、Ca²⁺が0.021 × 2 = 0.042 molの交換基を使います。合計は0.056 mol、残りは0.070 − 0.056 = 0.014 molです。残りと使用量の和が初めの0.070 molに戻ります。

4. SO₄²⁻に対応するOH⁻は0.011 × 2 = 0.022 mol、Cl⁻に対応するOH⁻は0.008 molです。合計は0.030 molです。負電荷を逆向きに数えると0.022 + 0.008 = 0.030 mol当量となり、放出されたOH⁻と合います。

5. Na⁺は0.019 × 2 = 0.038 mol、SO₄²⁻は0.019 molです。前段で必要な容量は0.038 mol当量、後段では0.019 × 2 = 0.038 mol当量です。放出されるH⁺とOH⁻はそれぞれ0.038 molなので、生成水は0.038 molです。Na⁺の正電荷とSO₄²⁻の負電荷はともに0.038 mol当量で、各樹脂の交換量と一致します。

覚えておくこと

交換基の固定電荷と移動する対イオンを分けます。
必要な容量はイオンの物質量に電荷の絶対値を掛けます。
混合物は各イオンの当量を足し、容量と比べます。
直列処理では各段階の流出成分と水の生成を追います。

つまずいた場所の見分け方

二価イオンで答えが半分になったときは、固定電荷を2個描き、その横に対イオンを置いてみます。混合物で計算が合わないときは、molの列とmol当量の列を分け、足す前に単位を確認します。個別に確認するときも、式の数字だけでなく、各数字が樹脂側と溶液側のどちらを表すかを言葉にすると原因を見つけやすくなります。

直列処理で迷ったら、前段に入るイオン、前段から出るイオン、後段で交換されるイオンを順に書きます。容量不足なら負の残量を使わず、何が追加条件として必要かを確認します。電荷の収支を合わせることが、交換量を読み解く手がかりです。