高校物理 ヤングの干渉縞の移動—片側の薄板による光路差から中央明線のずれを決める｜武蔵野個別指導塾

片側の薄板が増やす光路とスクリーン上の位置を結び、明線が移る向きを読み解く薄板の縞移動。

よくあるのは、高校生がヤングの実験で片方のスリットの前に薄板を入れ、中央明線はその反対側へ移ると考える場面です。板を通る光は遅れるので、その側から遠い位置へ行けば差を取り戻せるように思えるかもしれません。しかし遠くへ行くと、その光の幾何学的な道のりはさらに長くなります。遅れを埋めるには、板を通る光の空気中の道のりを短くする必要があります。どちらの差を引くか決め、同じ符号で最後まで追えば、向きと大きさを一緒に決められます。

何を求め、どこから測るか

薄板を入れた後の中央明線の位置を問う問題では、最初の中央からの符号付き距離と、移動距離の絶対値を区別します。もう一つの型は、ある明線が何本分移動したかを波長との比で求める問題です。さらに、板の厚さや屈折率を変えたときのグラフから、比例関係と測定の限界を読む型もあります。

到達点は、板のある側へ移るという結論を暗記することだけではありません。板による光路の増加と、観測点の移動による幾何学的な経路差が互いに打ち消し合うと説明できることです。以下では同位相で振動する2つのスリット、単色光、空気中の装置を考えます。薄板は一方の光だけが通り、入射角は小さく、板を通る距離は厚さに近いものとします。板の傾きによる屈折や反射による複雑な効果は扱いません。

光路の増加を経路差に加える

図1のように上のスリットをA、下をBとし、スクリーンの中央Oから上向きを位置xの正方向とします。スリット間隔をd、スリットの中点からスクリーンまでの距離をLとします。A側に厚さt、空気に対する屈折率nの薄板を置きます。図は関係を示す模式図で、板の厚さは見やすく拡大しています。

図1では上側の光が板を通ります。光路長は、同じ時間の位相の進みを空気中の長さに換算した量です。空気中の長さtが屈折率nの板に置き換わると、その部分の光路長はtからn・tに変わります。したがって追加分をΔとすると、Δ = (n − 1)・tです。板の光路長n・tをそのまま追加すると、もともとあった空気の部分を二重に数えてしまいます。

点Pへの空気中の幾何学的な距離をそれぞれrA、rBとします。Aを通る光路からBを通る光路を引くと、符号付きの差DはD = rA − rB + Δです。最初の中央明線は両方の光路が等しい点なので、板を入れた後の同じ中央明線もD = 0を満たします。波長の整数倍なら他の明線もできますが、中央明線は板を連続的に入れたときに光路差0を保つ明線として追跡します。

Pが上にあるとAに近く、Bから遠くなります。したがってrA − rBは負です。板が増やした正のΔと釣り合うのは上側です。図1の矢印はこの符号の関係を表します。板の置かれた側と同じ方向へ移るという判断は、まずこの距離の比較だけでできます。

距離を式にするには、空気中での波長をλとし、dと位置の絶対値がLより十分小さいとします。Pが中央付近にあるとき、幾何学的な差はrA − rB ≒ -d・x/Lです。よってD ≒ -d・x/L + (n − 1)・tとなり、中央明線の位置x₀は

x₀ ≒ L・(n − 1)・t/d

です。正の値なのでA側です。式の形だけではなく、正方向、差を取る順序、追加分の符号をセットで書きます。下側に板を置く場合、同じDの定義では追加分を引くため、x₀は負になります。

近似の背景も見ておきます。直角三角形からrA² = L² + (x − d/2)²、rB² = L² + (x + d/2)²です。差の平方を使うと、rA − rB = (-2・d・x)/(rA + rB)です。両距離がほぼLなら分母を2・Lと見なせるので、上の近似が得られます。xが大きい場合には分母を2・Lと置けるか確かめます。また薄板の内部の斜めの道のりがtと大きく違う配置なら、板を通る距離も別に計算する必要があります。

明線をD = m・λと定義すると、整数mに対してxₘ ≒ L・(Δ − m・λ)/dです。このmはAの光路からBの光路を引いた符号で定めています。隣の整数へ移ると位置はL・λ/dだけ変わるので、明線間隔はi = L・λ/dです。板の前後でL、d、λが変わらなければ、間隔はこの近似では変わらず、各明線が同じ距離だけ移ります。中央明線の移動はx₀/i = Δ/λ本分です。途中の明線の番号がどちら向きに増えるかは、符号の定義を見て判断します。

基本例題：上側に置いた板

スリット間隔d = 0.50 mm、スクリーンまでの距離L = 2.0 m、空気中の波長λ = 500 nmとします。上側Aに屈折率n = 1.5、厚さt = 2.0 μmの板を入れます。近軸近似が使え、板を通る長さはtとします。中央明線の移動方向と距離、縞何本分かを求め、距離は有効数字2桁で示してください。

図2のように、板の追加分を先に求めます。単位をそろえるとt = 2.0 × 10⁻⁶ m、d = 5.0 × 10⁻⁴ m、λ = 5.0 × 10⁻⁷ mです。

Δ = (1.5 − 1)・2.0 × 10⁻⁶ m = 1.0 × 10⁻⁶ mです。これは波長の2.0倍です。中央明線ではrA − rB = -Δなので、幾何学的にはA側の道のりが1.0 × 10⁻⁶ m短くなります。

x₀ = (2.0・1.0 × 10⁻⁶)/(5.0 × 10⁻⁴) m = 4.0 × 10⁻³ m = 4.0 mmです。答えは上側へ4.0 mmです。一方、i = (2.0・5.0 × 10⁻⁷)/(5.0 × 10⁻⁴) m = 2.0 mmなので、移動は2.0本分です。図2のOからPまでの矢印と数値が対応します。

答えを元の条件へ戻すと、幾何学的な差は-d・x₀/L = -1.0 × 10⁻⁶ mです。板の追加分と足せば0となり、中央明線の条件を満たします。移動がちょうど2本分のため、板を入れた後も元のOには別の次数の明線があります。中央明線が移ったことと、Oが明るいかどうかは同じ問いではありません。

標準例題：下側の板と元の中央

空気中の波長を600 nm、d = 0.40 mm、L = 1.2 mとします。下側Bだけにn = 1.4、t = 1.5 μmの板を入れます。近軸近似を用い、中央明線の位置と元の中央Oの明暗を求めてください。位置は有効数字2桁、明暗は理由も示します。

増加光路はΔ = 0.4・1.5 μm = 0.60 μmで、波長と等しい値です。差の定義はA側からB側を引くため、板を加えた差はD ≒ -d・x/L − Δです。中央明線の条件D = 0からx₀ = -L・Δ/d = -1.8 mmです。上向きを正としているので下側へ1.8 mm移ります。

元の中央Oでは幾何学的な差が0で、D = -λです。整数倍なのでOは明線です。ただし光路差0ではなく、移動した中央明線とは別の明線です。x₀を戻すと-d・x₀/L = +0.60 μmとなり、B側の追加分を打ち消します。方向の答えだけでなく、元の中央に残る明暗も差を使って確かめます。

別解ではi = L・λ/d = 1.8 mmです。追加分が1波長なので縞は1間隔だけB側に移ります。こちらは計算が短い反面、符号を与えないため、最初にB側へ移る理由を距離の比較で示す必要があります。整数倍のとき元の中央が明るいという結論も、縞が動いていないという意味ではありません。

発展例題：移動量から板を調べる

上側に同じ材質の薄板を入れます。波長500 nm、d = 0.25 mm、L = 1.5 mで、中央明線が上へ3.0 mm移りました。n = 1.5とし、近軸近似と垂直に近い通過を仮定します。板の厚さを有効数字2桁で求め、移動が縞間隔の何倍かも求めてください。

移動から逆に光路を求めると、Δ = d・x₀/L = (2.5 × 10⁻⁴・3.0 × 10⁻³)/1.5 m = 5.0 × 10⁻⁷ mです。Δ = (n − 1)・tより、t = (5.0 × 10⁻⁷)/(0.5) m = 1.0 μmです。i = L・λ/d = 3.0 mmなので、移動は1.0間隔です。厚さを戻すと追加光路は0.5 μmとなり、移動位置で生じる幾何学的な差の大きさと一致します。

この逆算はnを既知としたときに成り立ちます。移動量から直接得られるのは(n − 1)・tであり、厚さと屈折率の両方が未知なら1回の測定だけではそれぞれを決められません。例えば追加分が同じなら、異なるnとtの組も同じ移動を与えます。何を既知としたかを答案の初めに記すと、求められる量を取り違えにくくなります。

実験の設計とグラフの読み方

紙上で測定を設計するなら、光学装置の取り扱いは学校の指導の下で行います。板を入れる前の中央と、入れた後に同じ次数の明線が落ち着く位置を記録し、その差を測ります。板の挿入を連続的に追えないと、縞が複数間隔動いた場合に別の明線を中央明線と取り違えることがあります。移動の向きと途中の通過回数を記録する設計が必要です。

同じnの板について横軸に厚さt、縦軸に符号付き移動x₀を取ると、近似式では原点を通る直線です。上側に入れるなら傾きはL・(n − 1)/dで正、下側なら負です。縦軸を移動距離の絶対値にするとどちらも正になり、板の側をグラフだけから区別できません。軸に符号と単位を付ける意味はここにあります。

測った直線が原点を通らないときは、初期位置の読み取りやスクリーンの基準のずれを検討します。縞の幅による位置の読み取りの揺れ、dとLの測定誤差、板の傾きも結果に影響します。同じ条件で複数回測り、上下方向のずれと読み取り幅を記録すれば、ずれが式の予測と比べてどの程度か判断できます。測定値が直線に近いだけで、近軸近似や板を通る距離の仮定まで自動的に証明されるわけではありません。

誤答を距離の図で直す

図3のように、上側のAに板があるのに、中央明線は下へ移ると考える誤りを見ます。板が作る遅れを、空気中の道のりを長くして補うと考えることが原因です。下側ではAからの距離がBからの距離より長くなるので、追加光路と同じ向きに差が増えます。差を0に戻すことはできません。

修正するには、図3の上側Pに目を移します。PはAに近いのでrA − rBは負です。その負の差を板による正の増加分に足せば、0にできる余地があります。式で書けば-d・x/L + Δ = 0です。逆に差をBからAで定義するなら、式全体の符号が反転しますが、0になる位置は変わりません。片方の項だけを反転させることが誤りです。

もう一つの誤答は、薄板の追加分をn・tとするものです。板を入れる前にも空気の距離tがあったため、増加はn・t − tです。nを1に近づけたとき追加分も0に近づくかを確認すると、この取り違えを検出できます。板が周囲と同じ屈折率なら、置き換えによる光路の変化はありません。

練習：条件を変えて試す

いずれも空気中の同位相の2スリットとし、上向きを正、近軸近似と板を通る距離を厚さとみなす近似を使います。指定した有効数字で答え、計算途中では丸めません。

1. 上側にn = 1.6、t = 1.0 μmの板を置きます。追加光路をμmで有効数字2桁、移動方向を答えてください。
2. 上側の追加光路が0.30 μm、d = 0.30 mm、L = 2.0 mです。中央明線の位置をmmで有効数字2桁で求めてください。
3. 下側の追加光路が0.45 μm、波長が600 nmです。元の中央の明暗と、中央明線の移動が縞間隔の何倍かを答えてください。倍率は小数第2位まで示します。
4. 上側の板についてd = 0.20 mm、L = 1.0 m、中央明線の移動が2.0 mmです。n = 1.4として厚さをμmで有効数字2桁で求めてください。
5. 上側の板の追加光路が0.80 μm、波長が400 nmです。元の中央の明暗と、中央明線の移動が何間隔かを求めてください。間隔の数は整数で示します。

練習の答えと途中式

1. Δ = (1.6 − 1)・1.0 μm = 0.60 μmです。幾何学的なA側の道のりを短くするため、上側へ移ります。板を入れた長さの光路は1.6 μmで、元の1.0 μmとの差も0.60 μmです。

2. x₀ = L・Δ/d = (2.0・0.30 × 10⁻⁶)/(0.30 × 10⁻³) m = 2.0 mmです。正なので上側です。戻すとd・x₀/L = 0.30 μmで、与えられた追加光路に等しくなります。

3. Δ/λ = 0.45/0.60 = 0.75です。元の中央の差は -0.75波長で、整数倍でも半整数倍でもないため、明線でも暗線でもありません。中央明線は下側へ0.75間隔移ります。逆に0.75・600 nm = 450 nmとなり、与えられた追加光路に戻ります。

4. Δ = d・x₀/L = (0.20 × 10⁻³・2.0 × 10⁻³)/1.0 m = 0.40 μmです。t = Δ/(n − 1) = 0.40/0.4 μm = 1.0 μmです。板の追加分を計算し直すと0.4・1.0 μm = 0.40 μmになります。

5. Δ/λ = 0.80/0.40 = 2です。元の中央では光路差が2波長なので明線です。中央明線は上側へ2間隔移ります。2・400 nm = 800 nmは板の追加光路に一致します。元の中央に見える明線は光路差0の中央明線ではありません。

覚えておくこと

板が増やす光路は(n − 1)・tです。 中央明線は板を通る経路が短くなる側へ移ります。 近軸では移動量の大きさはL・(n − 1)・t/dです。 縞間隔はL・λ/d、移動の間隔数は(n − 1)・t/λです。 整数間隔の移動後も元の中央に別の明線が現れます。

つまずきの位置を見つける

向きが逆になったら、まず板を通る側からの距離が観測点を動かすと長くなるか短くなるか、図に2本の線を引いて比べます。式の符号が合わなければ、どちらの光路からどちらを引いたかを言葉で読み上げ、板の項と幾何学的な項を同じ順序で作り直します。

個別指導で確認するなら、板を入れる前後の光路の差を図の横に並べ、移動後の中央で両方が等しいことを本人の言葉で説明してみます。位置が合っても、元の中央の明暗と中央明線の追跡を混同していないか、追加光路が半波長や整数波長の場合に分けて確かめます。光路差の符号を決める一手が、縞の移動方向を支えます。