高校物理 光の反射と屈折—法線からの角と屈折率の定義を図で結び付ける｜武蔵野個別指導塾

境界で振動数が変わらない理由をたどり、光の速さと波長の比から読み解く屈折。

よくあるのは、光が透明な物質の境界を通る問題で、屈折後の波長と振動数を両方変えてしまう場面です。光の進む向きが折れ、波の間隔も変わるので、1秒間の振動の回数まで変化したように見えます。しかし、境界をはさんだ振動は互いにつながっています。どの角を測ったか、どの媒質の速さを使うかを図に書き込み、変わる量と変わらない量を分けて考えましょう。

境界で何を問われるか

一つ目の型は、入射光の向きから反射光と屈折光を描き、角度を求める問題です。境界面に沿う角ではなく、入射点で面に垂直な法線から測る角を使います。二つ目は、屈折率と速さから波長を求める問題です。屈折率が大きい媒質では光は遅く、同じ振動数なら波長は短くなります。三つ目は、2種類の媒質を逆向きに通る場合です。相対屈折率の分子と分母を入れ替え、角度の関係も逆にたどります。

ここでは境界が平らで、各媒質は一様、光は単色とします。屈折率はその光に対して与えられた値を用います。偏光や色ごとの屈折率の違いは扱いません。目標は、式を覚えるだけでなく、結果を図と波の関係へ戻して確かめることです。

法線と波の間隔をそろえる

境界に到達する光を入射光、同じ媒質に戻る光を反射光、もう一方の媒質に進む光を屈折光と呼びます。入射点を通り境界に垂直な直線が法線です。入射角 i、反射角 i′、屈折角 r は、それぞれの光線と法線のなす角で、0°から90°の範囲で測ります。図1のように、入射光と反射光は法線をはさんで同じ側の媒質にあります。

図1では上側から光が入射します。反射則は i′ = i です。屈折の向きは媒質によって変わり、図のように下側の屈折率が大きいと法線に近づきます。面との角を与えられた場合は、先に90°から引いて法線との角に直します。法線そのものに沿う入射では、角は0°で進行方向は折れません。

真空中の光速を c、媒質中の速さを v とすると、その媒質の絶対屈折率 n は n = c/v です。媒質1、2の絶対屈折率を n₁、n₂、速さを v₁、v₂ とします。媒質1に対する媒質2の相対屈折率は n₂/n₁ = v₁/v₂ です。どちらを基準にしたかを添えずに「屈折率の比」と書くと、逆数を使う原因になります。

屈折則は n₁・sin(i) = n₂・sin(r) です。したがって sin(i)/sin(r) = n₂/n₁ = v₁/v₂ です。ただし入射角が0°の場合は両方の正弦が0なので、この比の形で割らず、積の式で扱います。角度が大きいか小さいかの判断には、0°から90°で正弦が角とともに増えることを使えます。

この式の理由を、同じ間隔の波面で考えます。波面は同じ位相の点を結んだ面で、光線に垂直です。斜めの波面の一端が先に境界へ達してから、他端が到達するまでを時間 t とします。その間に遅れていた端は媒質1を v₁・t 進み、先に達した端から媒質2へ進んだ波は v₂・t 進みます。同じ境界上の距離を斜辺とする直角三角形を比べると sin(i)/sin(r) = v₁/v₂ となります。角は波面と境界のなす角にも等しいので、この三角形の角を法線からの角に置き換えられます。これは両方に進む波が存在する場合の幾何です。

さらに、境界の同じ場所では入射波に対応する振動が連続して伝わります。境界で1秒間に受ける振動の回数と送り出す回数が違えば、位相の対応が時間とともにずれてしまいます。そのため、静止した境界を通る単色光の振動数 f は変わりません。波の関係 v = f・λ から、媒質1、2の波長は λ₂/λ₁ = v₂/v₁ = n₁/n₂ です。反射光も同じ媒質にあるので、入射光と速さ・波長・振動数が同じです。境界で変わるのは進行方向であり、透過した光では媒質に応じて速さと波長も変わります。

基本例題：透明板に入る光

媒質Aの絶対屈折率を 1、媒質Bの絶対屈折率を 2 とします。AからBへ入射角30°で単色光を入れます。Aでの速さは 3.0 × 10⁸ m/s、波長は 6.0 × 10⁻⁷ m です。sin(30°) = 1/2 とし、反射角、屈折角の正弦、Bでの速さ・波長・振動数を求めてください。角は度、正弦は分数、残りは有効数字2桁で表します。

図2のように入射点に法線を引き、まず反射角を30°と置きます。屈折則に代入すると、

1・sin(30°) = 2・sin(r)

sin(r) = (1/2)/2 = 1/4

です。正弦が入射角の値より小さいので、屈折光は法線に近づきます。角度そのものが半分になるとは限りません。

図2の屈折光は sin(r) = 1/4 に合わせた向きです。速さの比は vB/vA = 1/2 なので、Bでの速さは 1.5 × 10⁸ m/s です。振動数はAでの値から、

f = (3.0 × 10⁸)/(6.0 × 10⁻⁷) = 5.0 × 10¹⁴ Hz

となり、Bでも同じです。Bでの波長は (1.5 × 10⁸)/(5.0 × 10¹⁴) = 3.0 × 10⁻⁷ m です。逆に、この波長に振動数を掛けるとBの速さに戻ります。屈折率が2倍で速さと波長が半分、振動数は不変という関係も一致します。

標準例題：媒質を入れ替える

媒質CとDの絶対屈折率をそれぞれ 3/2、2 とします。CからDへ入る光の入射角を30°とし、sin(30°) = 1/2 を使います。Dでの屈折角の正弦を分数で求め、同じ経路をDから逆向きに進んだときの屈折角を度で答えてください。

屈折則より (3/2)・(1/2) = 2・sin(r) です。したがって sin(r) = 3/8 です。正弦が1/2より小さいので、Dでの角は30°より小さくなります。逆向きには、Dでの入射角が先ほどの r になり、Cでの屈折角を q とすると、

2・(3/8) = (3/2)・sin(q)

sin(q) = 1/2

です。角の範囲から q = 30° です。光路を逆にたどって元の30°に戻るので、比の向きも確認できます。別解では相対屈折率を CからDへ 4/3、DからCへ 3/4 と置きます。後者に対し sin(r)/sin(q) = 3/4 としても同じ結果です。逆数にするのは媒質の順序を逆にしたからで、角を勝手に入れ替えるからではありません。

発展例題：波長と角から媒質を判定する

媒質EからFへ光が進みます。Eでの波長を 8.0 × 10⁻⁷ m、Fでの波長を 6.0 × 10⁻⁷ m、Eでの入射角を30°とします。Eでの速さは 2.4 × 10⁸ m/s です。sin(30°) = 1/2 として、Fでの速さ、振動数、屈折角の正弦、およびFのEに対する相対屈折率を求めてください。速さと振動数は有効数字2桁、比と正弦は分数で答えます。

振動数は境界で変わらず、f = (2.4 × 10⁸)/(8.0 × 10⁻⁷) = 3.0 × 10¹⁴ Hz です。Fの速さは f・λF = 1.8 × 10⁸ m/s です。よって相対屈折率は vE/vF = 4/3 です。屈折則を比で書くと sin(30°)/sin(r) = 4/3 なので、sin(r) = 3/8 です。

別の求め方では、振動数を先に数値化せず、sin(r)/sin(30°) = vF/vE = λF/λE = 3/4 とします。どちらでも sin(r) = 3/8 となります。答えを元の条件に戻すと、Fの波長と振動数の積は 1.8 × 10⁸ m/s、EとFの正弦の比は 4/3 です。速さが小さいFで法線に近づく図とも一致します。

測定値とグラフを読む

紙上の測定計画として、平らな境界と法線を記した図に、複数の入射方向と屈折方向を記録することを考えます。光源を使う実験は学校の指導の下で行い、光を直接目に入れないようにします。入射点と境界の位置を固定し、毎回同じ法線から角を測れば、面からの角を混ぜる誤りを減らせます。光線に幅があれば中心線を決め、境界を横切る位置の読み取りにも幅があることを記録します。

横軸を sin(r)、縦軸を sin(i) にすると、一定の媒質の組では原点を通る直線が予想されます。その傾きは n₂/n₁ です。角度をそのまま横縦の軸にした場合、一般にはその傾きを相対屈折率として読めません。測定点が一直線から少し外れたら、線の太さ、分度器の読み、法線のずれを検討します。原点を通らない大きなずれがあれば、角の基準や装置の配置を点検し、1点だけの値で原因を断定しません。直線の傾きは離れた2点から読むと、同じ読み取り幅に対する比の影響を抑えやすくなります。

誤答を図で直す

図3のように、遅い媒質へ入った光について「波長が半分だから振動数も半分」とする答案を考えます。たとえば速さが半分、波長も半分なら、v/λ は変わらず、振動数は半分になりません。速さを固定したまま波長の変化だけを見ることが原因です。

図3の左の波の間隔と右の間隔を比べると、右は半分です。両側で同じ時間に通過する波の数は等しく、右の波はその間に半分の距離を進みます。修正するには、まず f = v/λ と書き、分子と分母の両方に1/2を掛けます。約分後に f が残ることを確認します。図の波面の間隔は模式的な表現であり、波面そのものが物質の粒子の移動を表すわけではありません。

もう一つの誤りは、面から測った60°をそのまま入射角にすることです。法線からの角は30°です。入射点に直角の印を付けてから角を移せば、反射角も正しい側に取れます。屈折率が大きい側へ進んでいるのに法線から遠ざかる図になったときも、計算を消す前に角の基準と比の向きを調べましょう。

練習問題

次の5問では単色光と平らな境界を考えます。角は法線から測り、指定した形で答えてください。必要な値は sin(30°) = 1/2、sin(45°) = √2/2、sin(60°) = √3/2 です。

1. 光が境界面となす角が25°です。反射角と、反射光が境界面となす角をそれぞれ度で求めてください。
2. 真空中の速さを 3.0 × 10⁸ m/s、媒質Gの絶対屈折率を 5/4 とします。Gでの速さを有効数字2桁で求めてください。
3. 媒質HからJへ光が進み、速さが 2.0 × 10⁸ m/s から 1.2 × 10⁸ m/s に変化します。Hでの波長が 5.0 × 10⁻⁷ m のとき、Jでの波長と振動数を有効数字2桁で求めてください。
4. 媒質KからLへの相対屈折率を √2 とし、Kからの入射角を45°とします。屈折角を度で求めてください。
5. 媒質M、Nの絶対屈折率をそれぞれ 4/3、5/3 とします。MからNへの入射角の正弦が 5/8 のとき、屈折角の正弦とNからMへの相対屈折率を分数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 入射角は 90° − 25° = 65° です。反射角も65°、面との角は 90° − 65° = 25° です。反射光を法線に対して対称に描けば、面との角が元と同じになることも確かめられます。
2. v = c/n = (3.0 × 10⁸)/(5/4) = 2.4 × 10⁸ m/s です。この速さで真空中の速さを割ると 5/4 に戻ります。
3. f = (2.0 × 10⁸)/(5.0 × 10⁻⁷) = 4.0 × 10¹⁴ Hz です。Jでも同じ振動数なので、波長は (1.2 × 10⁸)/(4.0 × 10¹⁴) = 3.0 × 10⁻⁷ m です。波長の比 3/5 は速さの比とも一致します。
4. sin(r) = sin(45°)/√2 = 1/2 です。角は0°から90°なので30°です。逆に sin(45°)/sin(30°) = √2 で、与えられた相対屈折率に戻ります。
5. (4/3)・(5/8) = (5/3)・sin(r) から sin(r) = 1/2 です。NからMへの相対屈折率は (4/3)/(5/3) = 4/5 です。元の向きの正弦の比は (5/8)/(1/2) = 5/4 で、逆向きの比と互いに逆数です。

手元に残す要点

• 入射角、反射角、屈折角は法線から測り、反射角は入射角に等しいです。
• 絶対屈折率は n = c/v、媒質1に対する媒質2の相対屈折率は n₂/n₁ です。
• 屈折則は n₁・sin(i) = n₂・sin(r) です。
• 静止した境界では振動数は変わらず、波長は速さに比例します。

どこで迷ったかを見分ける

個別に確認するときは、まず境界面だけを描いた紙に法線と3本の光線を描き、どの角を測ったか説明してもらいます。図が正しくても比が逆なら、媒質の順序を添えて n₂/n₁ = v₁/v₂ を書き直します。波長だけが合わない場合は、各媒質に同じ f を置き、v = f・λ の3量に単位を付けます。正しい数値が出た後も、その値を元の式と図へ戻すことで、偶然の約分と筋道の通った解答を区別できます。法線を起点にたどれば、折れた光の向きと波の間隔が一つの関係につながります。