高校物理 反射音のドップラー効果—壁に届く音と戻る音を二段階に分けて計算する｜武蔵野個別指導塾

壁へ近づく送受信者と動く壁について、往路と復路の波面の間隔から追う反射音の変化。

よくあるのは、高校生が壁に向かって進む送受信器の反射音を考え、片道の振動数の変化率を一度だけ掛けて答えにする場面です。壁に届いた音は確かに元の音と振動数が異なります。しかし、戻る波を送受信器が受け取るときにも、波面と出会う間隔が変わります。反射した瞬間の壁と、戻った音を聞く受信器とを別の役割として追うと、もう一段階を見落とさずに済みます。

二つの受信を区別する

求める量には、壁に届く振動数、反射後に空気中を進む波の振動数、送受信器が受け取る振動数があります。静止壁では前の二つは同じですが、壁が動くときには一般に同じではありません。まず静止壁と動く送受信器、次に静止した送受信器と動く壁を考えます。いずれも一直線上の理想化した音波です。

到達点は、壁と受信器をそれぞれ一度ずつ受信者として扱い、各段階の振動数を説明できることです。速さを式に入れる前に、音源、壁、受信器の向きを書き込みます。受信した回数が増える理由と、波面の間隔が変わる理由を分ければ、同じ符号を機械的に二度使う必要はありません。

波面の間隔から往復を作る

空気は地面に対して静止し、音速を V とします。速度はすべて空気に対して測ります。右を正とし、送受信器は壁の左側にあるとします。音源の振動数を f、周期を T = 1/f とします。各物体の速さは音速未満で、反射までの間、一定とします。反射は理想的で、壁で受けた周期に合わせて反射波が生じると考えます。

図1のように、右向きに進む音源が速さ u で壁に近づくと、周期 T の間に先の波面は VT 進み、音源も uT 進みます。後の波面との間隔は (V − u)T です。音源が動いても空気に対する音速は V のままです。静止壁が波面を受ける回数は、この間隔を V で割った到着間隔の逆数なので、壁での振動数 F は

F = V/((V − u)T) = f・V/(V − u)

です。壁は静止しているため、反射波の壁での周期も 1/F です。左へ進む反射波の波長は V/F です。右向きに進む受信器は左向きの波面と V + u の速さで接近します。したがって受信振動数は

f受 = (V + u)/(V/F) = f・(V + u)/(V − u)

です。分母は往路で作られた波長の短縮、分子は復路での波面との接近を表します。u = 0 なら f受 = f になり、壁に近づくなら f受 > f となります。壁から遠ざかるときの速さを u と書けば、同じ手順で f受 = f・(V − u)/(V + u) です。

図1の二つの円弧は異なる時刻に放出された波面の右側を模式的に示します。大きな波面が先に放出されたもので、小さな波面の中心は音源の移動後の位置です。壁に並ぶ波面の到着間隔を考えると、図の間隔が短いほど受け取る回数が増えると読めます。

壁が動く場合は、壁を往路の観測者、復路の音源と見ます。例えば送受信器が静止し、左向きに速さ w で壁が近づくとします。往路の波長は V/f です。壁は右向きの波面と V + w で近づくので、壁が受ける振動数は F = f・(V + w)/V です。次に壁は左向きに移動しながら左向きの反射波を出すため、その波長は (V − w)/F です。静止受信器が受ける振動数は f受 = V/((V − w)/F) = f・(V + w)/(V − w) となります。式の形は上の例と同じでも、各因子が現れる段階は入れ替わっています。

壁が遠ざかる場合は、壁が波面を追うため F = f・(V − w)/V です。反射波の放出点は受信器から遠ざかるので、その波長は (V + w)/F となり、f受 = f・(V − w)/(V + w) です。動く壁において F をそのまま反射波の空気中の振動数としてはいけません。壁が次の波面を出す位置も動くからです。

基本例題：壁へ進む送受信器

静止した空気中の音速を 340 m/s とします。右側の静止壁へ向かい、送受信器が右向きに 20 m/s で一定に進みます。送信振動数は 800 Hz です。壁に到達する振動数と送受信器が受ける反射音の振動数を求め、それぞれ整数の Hz で答えてください。壁と受信器は反射と受信まで離れているものとします。

図2の往路では、音源の周期は 1/800 s です。連続する波面の間隔は

(340 − 20)/800 = 0.40 m

です。壁は毎秒 340 m 分の波面を受けるので、壁での振動数は 340/0.40 = 850 Hz です。壁は静止しているため、反射波の周期も 1/850 s、波長は 340/850 = 0.40 m です。

復路では、波面と受信器の接近速度は 340 + 20 = 360 m/s です。受信振動数は 360/0.40 = 900 Hz です。答えを戻して確認すると、壁では 850 個の波面が 1 秒間に届き、受信器では同じ 0.40 m 間隔の波面を毎秒 360 m 分だけ横切るので 900 個です。壁での 850 Hz を答えにすると、受信器が戻る波へ進む効果が残ります。

別解として、放出間隔 T の間に音源が壁へ uT 近づくので、2番目の波面は先の波面より短い距離を進みます。壁への到着間隔は T − uT/V = T・(V − u)/V です。反射された2波面を受信器が受け取る間隔は、その壁での放出間隔に V/(V + u) を掛けたものです。全体の時間間隔は T・(V − u)/(V + u) となり、逆数は 900 Hz です。波長を使う方法と到着時刻を使う方法は同じ波面を数えています。

標準例題：壁が近づく

静止した送受信器が 600 Hz の音を右へ出します。空気中の音速は 330 m/s、右側の平面壁は左へ 30 m/s で一定に進みます。反射まで壁は送受信器から離れているとします。壁で受ける振動数と、静止受信器で受ける反射音の振動数を整数の Hz で求めてください。

往路の波長は 330/600 = 0.55 m です。壁と波面の接近速度は 360 m/s なので、壁での振動数は 360/0.55 = 7200/11 Hz です。整数指定に合わせて最後に四捨五入すると約 655 Hz です。反射波の波長は (330 − 30)/(7200/11) = 11/24 m です。受信振動数は 330/(11/24) = 720 Hz です。壁に当たる波の数を 0.55・(7200/11) = 360 m/s と戻せます。復路も (11/24)・720 = 330 m/s となり、静止空気中の音速に一致します。途中の 655 Hz を使って丸め直すと答えに誤差が入るので、分数を保ちます。

壁の位置を時刻 t に対して描けば傾きは -30 m/s です。右向きの各波面の位置は傾き 330 m/s の直線で表せます。隣り合う直線が壁の直線と交わる時刻の差が壁での周期です。左向きの反射波面はその交点から傾き -330 m/s で伸びます。受信器の位置を表す水平線との交点間隔を読めば、720 Hz を別の方法で確かめられます。位置と時刻の軸を逆にすると傾きの意味が変わるため、単位も書きます。

発展例題：遠ざかる壁から速度を逆算する

空気中で静止した送受信器が 1000 Hz の音を出し、右側の壁が右向きに一定速度で遠ざかります。音速は 340 m/s です。反射音が 900 Hz と観測されたとき、壁の速さを分数の m/s で求めてください。壁の速さは音速未満で、同じ直線上で反射するとします。

壁の速さを w m/s とすると、往路では壁が波面を追います。壁が受ける振動数は 1000・(340 − w)/340 Hz です。復路では反射波の放出点が受信器から遠ざかるため、受信振動数は 1000・(340 − w)/(340 + w) Hz です。これを 900 Hz とおくと

9・(340 + w) = 10・(340 − w)

19w = 340、よって w = 340/19 m/s です。音速未満という条件を満たします。戻して比を取ると (340 − 340/19)/(340 + 340/19) = 18/20 = 9/10 です。静止壁なら比が 1、遠ざかる壁なら 1 より小さく、答えの向きも条件に合います。

この逆算では、反射音が低いという情報だけで壁の速さを求めるには音源の振動数と音速も必要です。また、測った比が 1 を超えるのに遠ざかる壁の式に代入して正の速さを求めようとすると、負の値が出ます。それは計算の失敗を隠す値ではなく、仮定した運動方向を見直す手がかりです。

一段階で止めた答えを直す

図3のように、基本例題で壁に届いた 850 Hz をそのまま受信音とする誤答を考えます。原因は、壁で数えた波面と受信器で数えた波面を同じ時間間隔で受けると思い込むことです。壁は静止していますが、受信器は戻る波面へ近づきます。壁での値を中間結果として書き、復路で波長 0.40 m と接近速度 360 m/s を組にすることで 900 Hz に修正できます。

図3では矢印の先ごとに誰が波面を数えるかを記しています。動く壁の問題でも、壁が受けた振動数をいったん記してから、動く放出点の波長を計算します。静止壁の場合に限って壁での振動数と反射波の空気中の振動数が一致することを、条件の欄に添えます。

紙上測定の設計と読み取り

送受信器の速度を複数の値に設定し、送信振動数と反射音の振動数の比を記録する計画を考えます。空気が静止し、壁が固定され、運動が壁に垂直な直線上であると仮定します。近づく向きを正にした速度 u を横軸、比を縦軸にすると、予測は (V + u)/(V − u) です。原点で比は 1、正の側では 1 を超え、負の側では 1 を下回ります。速度の大きさが同じ正負の点の比は互いに逆数です。

測定では音速の見積もり、速度の変動、壁以外からの反射、送信音と反射音の混在が誤差の原因になります。速度を変える前後で送信振動数を確かめ、反射の経路が変わらない配置を選ぶと原因を切り分けやすくなります。空気が流れる場合、地面に対する速度をそのまま代入すると媒質基準の仮定が崩れます。グラフが予測と異なるときは、点を無理に曲線に合わせる前に、各軸の単位と運動方向、反射以外の音の混入を確かめます。

練習：別の条件で波面を数える

次の問題では空気は静止し、各速さは空気に対する一定の速さで、音速未満です。反射は一直線上で起こり、受信まで壁と送受信器は離れています。整数の指定があるときは最後に四捨五入します。

1. 静止壁に向かう送受信器の速さは 10 m/s、音速は 310 m/s、送信振動数は 600 Hz です。壁の振動数と受信振動数を整数の Hz で求めてください。
2. 静止壁から離れる送受信器の速さは 15 m/s、音速は 315 m/s、送信振動数は 660 Hz です。受信振動数を整数の Hz で求めてください。
3. 静止送受信器へ壁が 20 m/s で近づきます。音速は 300 m/s、送信振動数は 700 Hz です。壁の振動数を分数の Hz、受信振動数を整数の Hz で求めてください。
4. 静止送受信器から壁が 25 m/s で遠ざかります。音速は 325 m/s、送信振動数は 700 Hz です。反射波の波長を分数の m、受信振動数を整数の Hz で求めてください。
5. 静止壁へ向かう送受信器の送信振動数は 450 Hz、受信振動数は 550 Hz です。音速が 300 m/s のとき、送受信器の速さを整数の m/s で求めてください。

解答と途中の確認

1. 往路の波長は (310 − 10)/600 = 1/2 m です。壁の振動数は 310/(1/2) = 620 Hz、受信振動数は (310 + 10)/(1/2) = 640 Hz です。波長と受信数の積 0.5・640 は接近速度 320 m/s に戻ります。

2. 往路の波長は (315 + 15)/660 = 1/2 m です。壁で 630 Hz、復路では波面を追うので (315 − 15)/(1/2) = 600 Hz です。0.5・600 = 300 m/s は受信器と波面の接近速度に一致します。

3. 壁の振動数は 700・(300 + 20)/300 = 2240/3 Hz です。反射波の波長は (300 − 20)/(2240/3) = 3/8 m、受信振動数は 300/(3/8) = 800 Hz です。壁での周期に壁が進む距離と波の進む距離の差は 3/8 m です。

4. 壁の振動数は 700・(325 − 25)/325 = 8400/13 Hz です。反射波の波長は (325 + 25)/(8400/13) = 13/24 m です。受信振動数は 325/(13/24) = 600 Hz です。波長と振動数の積は 325 m/s に戻ります。

5. 550/450 = (300 + u)/(300 − u) より、11・(300 − u) = 9・(300 + u) です。20u = 600 なので u = 30 m/s です。戻すと (300 + 30)/(300 − 30) = 11/9 で、450 Hz から 550 Hz が得られます。

覚えておくこと

• 速さは静止空気に対して測り、音速未満とします。
• 往路で壁が受ける振動数を求めてから、復路の波長を求めます。
• 静止壁は周期を保ち、動く壁は反射波の波長も変えます。
• 受信器と波面の接近速度を波長で割ると受信振動数です。
• 近づくと高く、遠ざかると低くなるかを最後に照合します。

つまずきの位置を見分ける

答えが壁での振動数に一致したら、復路に受信器の矢印が描かれているか確かめます。符号が逆なら、各段階で波面と物体の距離が増えるか減るかを言葉にします。分母に速さを入れる理由を説明できなければ、連続する放出点と波面を2組描き、周期中に進む距離の差へ戻ります。

個別指導で確認するときも、まず本人に音源、壁、受信器を図に置いてもらい、各地点で何を数えるかを尋ねます。数式が合っていても、壁に届く間隔と受信器に届く間隔を説明できるかを確認します。反射音の高さは、往路と復路の波面を数え直すことで決まります。