高校物理 動く観測者のドップラー効果—波面と出会う回数から観測振動数を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

静止音源と動く観測者の出会う波面を数え、音源も動く場合との違いを追うドップラー効果。

よくあるのは、高校生が音源と観測者の相対速度が同じなら、どちらが動いても聞こえる音の高さは同じだと考える場面です。静止した空気の中では、音の波面は空気を基準に進みます。観測者が動くと波面に出会う間隔が変わり、音源が動くと放出位置が変わって波面の間隔そのものが変わります。この二つを区別すると、式の分子と分母の意味が見えてきます。音源と観測者が一直線上を等速で動く場合を扱い、反射や風のある場合は扱いません。

要点（結論から）

• 音速と両者の速度は、静止した媒質を基準にします。
• 静止音源では波長は c/f、観測者の運動は出会う速さを変えます。
• 波の方向を正にした符号付き速度で、f′ = f・(c − vₒ)/(c − vₛ) です。

何を比べる問題か

問題の型は主に三つあります。静止音源に近づく観測者の振動数、静止音源から遠ざかる観測者の振動数、そして音源と観測者がともに動く場合です。いずれも、音源が1秒間に出す波の数と、観測者が1秒間に受け取る波の数を別にします。前者は放出振動数、後者は観測振動数です。

目標は符号を暗記することではなく、波面間隔と波面に対する接近の速さを図から選べることです。まず空気に対する音速を決め、音源と観測者の速度も同じ空気を基準にします。次に、音源から観測者へ向かう波を選びます。その方向が右か左かで速度の符号を決めると、接近と遠ざかりを同じ式で扱えます。

波面に出会う時間から考える

空気は静止し、音源は一定の振動数 f で音を出すとします。音速を c とすると、隣り合う同じ位相の波面を放出する間隔は周期 T = 1/f です。静止音源から右へ進む波面は、この間に cT 進みます。したがって波長は λ = cT = c/f です。波長は同じ時刻に測った隣接波面の距離で、周期は同じ場所で隣接波面を待つ時間です。単位もそれぞれ m と s で異なります。

図1のように、音源の右側で観測者が左へ速さ u で動くと、右向きの波面と観測者は互いに近づきます。波面と観測者の間隔は1秒に c + u だけ縮みます。波面間隔が λ なので、続けて二つの波面に出会う時間は λ/(c + u) です。その逆数が観測振動数 f′ です。

図1では波面を縦線で表しています。線は空気の粒子の移動経路ではなく、同じ位相にある場所を表す模式図です。観測者が波面へ向かうと、次の波面までの距離を音と観測者が両方埋めるため、間隔は短くなります。よって f′ = (c + u)/λ = f・(c + u)/c です。

逆に右向きに速さ u で遠ざかると、後ろから来る波面と観測者の距離の縮む速さは c − u です。f′ = f・(c − u)/c となります。ここでは u は正の速さで、c より小さいとします。観測者の運動によって空気中の波長は変わらず、1秒間に横切る波面の数が変わる点が中心です。

符号を統一するには、音源から観測者へ向かう方向を正とし、音源の速度を vₛ、観測者の速度を vₒ とします。両方とも空気に対する符号付きの速度です。波は正方向へ速さ c で進み、観測者との接近の速さは c − vₒ です。観測者が音源へ向かえば vₒ は負なので、ここは c + u になります。

音源も正方向に動く場合を考えます。周期 T の間に先の波面は cT、音源は vₛT 進みます。後の波面の放出位置は前方へ vₛT ずれるので、前方の波長は λ = (c − vₛ)T です。音源が逆向きなら vₛ は負になり、波長は長くなります。これを出会う速さで割ると、

観測周期 = λ/(c − vₒ)

f′ = f・(c − vₒ)/(c − vₛ)

です。音源と観測者の速さはそれぞれ c 未満とし、観測者が音源の前方にいて、両者の位置関係が対象の波面の放出から受信まで変わらないとします。観測者が音源の後方にいるときは、波の向きに合わせて正方向を反転し、速度の符号を付け直します。式の分母は波面間隔、分子は波面と観測者の接近の速さに対応します。

この式は一定速度の波面を連続して数えた結果です。加速する途中や、観測者が音源の位置を通過する瞬間を一つの一定振動数で扱うことはできません。また、音源と観測者の相対速度が同じでも、空気を基準に見た音源の速度が違えば分母が変わります。音の伝わる媒質があるからこそ、二人の間の距離の変化率だけでは足りません。

基本例題：観測者が音源へ進む

静止した空気中の音速を 340 m/s とします。静止音源は 500 Hz の音を出し、その右側の観測者が音源に向かって 20 m/s で等速運動します。音源と観測者は十分離れ、受信中に位置関係は変わりません。観測振動数を整数の Hz で求めてください。

図2のように、波は右へ、観測者は左へ進みます。音源の周期は 1/500 s で、波長は次の通りです。

λ = 340/500 = 0.68 m

波面と観測者の接近の速さは 340 + 20 = 360 m/s です。受信間隔とその逆数を順に求めます。

受信間隔 = 0.68/360 = 17/9000 s

f′ = 9000/17 Hz ≒ 529 Hz

最後に整数へ四捨五入しました。近づくので 500 Hz より大きい結果は向きとも一致します。

図2の波面の間隔は 0.68 m です。逆に 9000/17 Hz の受信間隔を 17/9000 s として、その間に波面と観測者が近づく距離を求めると、360・(17/9000) = 0.68 m です。隣の波面までの距離に戻るため、答えは場面の条件にも合います。

別の見方もあります。観測者が静止していれば毎秒 500 個の波面を受けます。左へ進むことで、毎秒 20 m の距離に並ぶ 20/0.68 個の波面を余分に横切ります。500 + 20/0.68 = 9000/17 Hz です。この方法も、波長を媒質中の間隔として数えている点は同じです。

標準例題：音源と観測者がともに右へ動く

静止した空気中で音速を 330 m/s、音源の放出振動数を 600 Hz とします。音源は右へ 30 m/s、音源の前方にいる観測者は右へ 10 m/s で等速運動します。対象の波面の放出から受信まで観測者は音源の前方にいます。観測振動数を整数の Hz で求めてください。

右を正とすると vₛ = 30 m/s、vₒ = 10 m/s です。放出周期は 1/600 s なので、前方の波長は

λ = (330 − 30)/600 = 0.50 m

です。波面が観測者に追いつく速さは 330 − 10 = 320 m/s ですから、

f′ = 320/0.50 = 640 Hz

となります。検算では受信間隔 1/640 s の間に波面が観測者との差を 320/640 = 0.50 m 縮めます。また 1/600 s の放出間隔に音源は 0.05 m、先の波面は 0.55 m 進み、その差も 0.50 m です。放出と受信の両方を確かめられます。

音源と観測者の接近の速さは 20 m/s です。しかし、静止音源に観測者が 20 m/s で近づく条件へ置き換えると、観測振動数は 600・350/330 = 7000/11 Hz で、約 636 Hz です。元の 640 Hz と異なります。接近の速さは同じでも、動く音源が前方に作る波長 0.50 m と、静止音源が作る波長 0.55 m が異なるためです。

発展例題：観測値から速度を逆算する

静止した空気中で音速を 300 m/s とし、音源は 480 Hz の音を出しながら右へ 20 m/s で進みます。前方の観測者も右向きに等速運動し、観測振動数は 450 Hz でした。放出から受信まで観測者は前方にいます。観測者の速さを整数の m/s で求めてください。

波の向きを正に取り、観測者の速度を vₒ とすると、

450 = 480・(300 − vₒ)/(300 − 20)

です。よって 300 − vₒ = 450・280/480 = 262.5 m/s となり、vₒ = 37.5 m/s です。指定どおり整数に四捨五入すると 38 m/s です。途中で丸めた 38 m/s を元の式に入れると厳密には 450 Hz に戻らないので、照合は丸め前の値で行います。

別解では、先に波長を 280/480 = 7/12 m とします。毎秒 450 波面に出会うには、波面との接近の速さが 450・(7/12) = 262.5 m/s 必要です。右向きの波面は 300 m/s なので、観測者は右へ 37.5 m/s です。音源より観測者が速く、距離が広がるため、観測振動数が放出振動数より低いことも条件に合います。

式の取り違えを直す

基本例題で、観測者が近づくのだから f′ = 500・340/(340 − 20) としたとします。この式は約 531 Hz となり、近づくと高くなるという方向だけなら合っています。しかし、分母の 340 − 20 は音源が観測者へ向かって動くときに波長を決める量です。静止音源が作る波長は 0.68 m のままです。

図3の上段では観測者が動き、波面間隔は変わりません。下段では音源が動き、前方の波面間隔が縮みます。修正するときは、まず「どの物体が空気に対して動くか」を書き、波長を求めてから出会う速さで割ります。式の見かけが似ていても、分母を入れ替える前に距離の図を描けば誤りの場所が見つかります。

もう一つの誤りは、放出周期と受信周期を同一視することです。放出周期は音源の発射間隔であり、観測者が次の波面まで移動すれば受信間隔は変わります。音源から先に出た波面と後に出た波面を区別し、それぞれが観測者に届く時刻を取ると、二種類の時間を混ぜずに済みます。

測定を設計し、グラフを読む

学校の指導の下で、一定振動数の音源と移動する観測装置を使う測定を考えます。音源を固定し、装置を直線上で一定速度に近づける区間と遠ざける区間で記録します。装置の速度は部屋の空気に対する値として測り、同じ方向を正として記録します。壁からの反射音が混じりにくい配置を選び、音源の振動数も停止時の記録で確認します。

理想条件では横軸を観測者の符号付き速度 vₒ、縦軸を観測振動数 f′ とすると、f′ = f − (f/c)・vₒ です。切片は f、傾きは -f/c の直線です。右向きの波に対して観測者が右向きに速くなるほど、グラフは下がります。縦軸の単位は Hz、横軸の単位は m/s です。傾きを読み取るときは2点の縦の差を横の差で割り、符号を落とさないようにします。

実際には速度が一定でない区間、反射音、振動数を短時間で読み取る際のばらつきが結果をずらします。近づく区間と遠ざかる区間を繰り返し、速度と振動数を同じ時間帯で対応させます。予測から外れた点があれば即座に式の誤りとせず、速度が変化した時間帯や反射が重なる位置を先に調べます。往復の値が同じ速度の符号反転で対称にならない場合は、空気の流れや速度の測定基準も見直します。測定値を作り上げず、実際のばらつきと条件を記録することが重要です。

練習問題

各問とも空気は静止し、音源と観測者は一直線上を等速で動き、記された位置関係は対象の放出から受信まで保たれます。途中では丸めず、指定の形で答えてください。

1. 音速 320 m/s、静止音源の振動数 400 Hz。右側の観測者が音源へ 16 m/s で近づきます。観測振動数を整数の Hz で求めてください。
2. 音速 300 m/s、静止音源の振動数 360 Hz。右側の観測者が右へ 25 m/s で遠ざかります。観測振動数を整数の Hz で求めてください。
3. 音速 340 m/s、振動数 600 Hz の音源が右へ 40 m/s、前方の観測者が右へ 20 m/s で進みます。観測振動数を整数の Hz で求めてください。
4. 音速 300 m/s、静止音源の振動数 500 Hz。右側の観測者が音源へ一定速度で近づくと 550 Hz を観測しました。観測者の速さを整数の m/s で求めてください。
5. 音速 320 m/s、振動数 400 Hz の音源が右へ 20 m/s、前方の観測者も右へ 20 m/s で進みます。観測振動数を整数の Hz で求め、放出振動数との関係を述べてください。

練習の答えと道筋

1. 波長は 320/400 = 0.8 m、接近の速さは 320 + 16 = 336 m/s です。336/0.8 = 420 Hz です。受信間隔 1/420 s で縮む距離は 336/420 = 0.8 m と元の波長に戻ります。

2. 波長は 300/360 = 5/6 m、追いつく速さは 300 − 25 = 275 m/s です。275/(5/6) = 330 Hz です。1/330 s の間に縮む距離は 275/330 = 5/6 m です。遠ざかるため元の 360 Hz より低くなります。

3. 前方の波長は (340 − 40)/600 = 0.5 m です。波面が観測者に追いつく速さは 340 − 20 = 320 m/s なので、320/0.5 = 640 Hz です。放出周期中に音と音源が進む距離の差は 300/600 = 0.5 m、受信周期中の接近距離も 320/640 = 0.5 m です。

4. 波長は 300/500 = 0.6 m です。550 個の波面を毎秒受けるための接近の速さは 550・0.6 = 330 m/s です。音速との差 30 m/s が求める速さです。戻して計算すると (300 + 30)/0.6 = 550 Hz です。

5. 波長は (320 − 20)/400 = 0.75 m、追いつく速さは 320 − 20 = 300 m/s です。300/0.75 = 400 Hz で、放出振動数と等しくなります。受信間隔 1/400 s で縮む距離は 300/400 = 0.75 m です。両者が同速度なら距離が一定で、先に出た波面と後に出た波面の到達時間の差は放出間隔と一致します。

要点

• 音速と両者の速度は、静止した媒質を基準にします。
• 静止音源では波長は c/f、観測者の運動は出会う速さを変えます。
• 波の方向を正にした符号付き速度で、f′ = f・(c − vₒ)/(c − vₛ) です。
• 放出周期から波長を、受信間隔から観測振動数を確かめます。

つまずきを見つける問い

答えが予想より高いか低いか迷ったら、まず波面が観測者に追いつく向きと、両者の距離が縮む速さを口に出してみてください。次に、連続する放出位置を二点描き、音源の動きが波面間隔を広げるか縮めるかを説明します。個別指導で確認するなら、式の分子が何の速さか、分母が何の距離を周期で割ったものかを図に書き添えると、符号の取り違えを特定できます。

相対速度が同じ二つの場面でも、媒質中の波面間隔を比べれば違いを説明できます。