高校物理 うなりの振動数—近い二音の重ね合わせから未知の振動数を絞る｜武蔵野個別指導塾

音の強弱の回数から2候補を出し、調整後の変化で音の高低を絞る鍵はうなりです。

よくあるのは、2つの音を同時に聞いて、1秒に4回のうなりがあれば、未知の音は基準音より4 Hz高いと決めてしまう場面です。音が強くなる回数は2つの振動数の差の大きさを教えますが、どちらが高いかは教えません。基準音より低い候補も残ります。そこで一方の音を少し調整し、うなりが増えるか減るかを見ます。音の細かな振動と、強弱のゆっくりした変化を分けると、この判定を式と図の両方から説明できます。

回数が教えることと、調整で決まること

扱うのは、同じ場所に届く、振動数が近い2つの正弦波の音です。音源と観測者は静止し、観測中の振動数と各波の振幅は一定とします。反射音や別の音は考えず、2波の変位を足せるものとします。以下の数値は計算のために設けた条件です。音源が動く場合の振動数の変化や、複雑な音色の分析には立ち入りません。

問われ方は主に3つあります。強い音の間隔から1秒あたりのうなりの回数を求める型、基準音と回数から未知の振動数を求める型、調整前後の回数を比較して2候補を絞る型です。最後の型では、調整された音が基準音か未知音かを取り違えないことが必要です。答えでは回数の式を示し、候補を元の条件と調整後の条件の両方に戻します。

到達点は、うなりの振動数が2音の振動数の差の絶対値になる理由を説明し、その絶対値が失わせた大小の情報を別の条件で補うことです。大きな音の山を数えるときは、細かい音波の振動を数えるのではなく、強弱の繰り返しを数えます。単位はどちらも Hz ですが、何の繰り返しを表すかが異なります。

重なる位相と強弱の時間間隔

観測点での2つの変位を、時刻 t を秒、振幅を同じ正の値 A として、次のように置きます。t = 0 で2波とも変位0から正の向きに動くとします。角度の単位はラジアンで、1周が 2π です。振動数 f₁、f₂ はともに正で、互いに近いとします。

y₁ = A・sin(2πf₁t) y₂ = A・sin(2πf₂t)

図1のように、位相差が0、2π、4πと1周ずつ増えるたびに2波は再び同位相になります。その間の位相差が π のときは逆位相となり、等しい振幅の変位は打ち消し合います。最初から位相差があっても、強弱の起こる時刻はずれますが、同位相から次の同位相までの間隔は変わりません。

2波の位相差の大きさは、上の初期条件では 2π・|f₁ − f₂|・t です。差が1周の 2π だけ進む時間を T とすると、2π・|f₁ − f₂|・T = 2π です。したがって、f₁ と f₂ が異なるとき、T = 1/(|f₁ − f₂|) 秒です。1秒あたりの強弱の繰り返し、すなわちうなりの振動数 b は次の式です。

b = 1/T = |f₁ − f₂| Hz

この式は差の符号を含みません。例えば未知音が基準より b Hz高い場合も、b Hz低い場合も、同位相になる間隔は等しくなります。f₁ = f₂ の場合は位相差が時間とともに変わらず、上の T は定義できません。この理想条件で周期的な強弱は生じず、差は0 Hzです。最初に同位相なら合成振幅は一定で大きく、逆位相なら等振幅の波は常に打ち消し合います。

別の確かめ方として、加法定理から得られる sin(p) + sin(q) = 2・sin((p + q)/2)・cos((p − q)/2) を使います。p、q に各位相を代入すると、合成変位 y は次のようになります。

y = 2A・cos(π(f₁ − f₂)t)・sin(π(f₁ + f₂)t)

後ろの sin は平均振動数 (f₁ + f₂)/2 で速く振動します。前の係数はゆっくり変化しますが、負になっても振動の向きが反転するだけです。振幅の大きさは 2A・|cos(π(f₁ − f₂)t)| で読みます。係数が正の最大値から負の最小値へ移ったときも絶対値は最大に戻るため、cos の符号まで含めた周期をそのまま強弱の周期にしてはいけません。最大の大きさが続けて現れる間隔は 1/(|f₁ − f₂|) 秒で、位相差から求めた結果と一致します。

2波の振幅が等しくないときも、同位相と逆位相の間隔は同じです。ただし逆位相でも大きい方の振幅が残るため、音の振幅は0まで下がりません。強弱が小さくて数えにくいことはありますが、理想的な2つの一定振動数の波なら、強弱の周期を決めるのは振動数の差です。

基本例題：数えた回数から候補を出す

基準音の振動数を 400 Hz とします。静止した未知音と同時に聞くと、音が強くなる瞬間から次に強くなる瞬間までが 0.25 s でした。両音は振動数の近い正弦波で、観測中は一定です。未知音の振動数としてありうる値を Hz 単位の整数で求めてください。図2は強弱の見取り図であり、速い音の振動そのものを描いた波形ではありません。

まず、強くなる瞬間同士の間隔が1周期です。図2の横軸は時刻で、右向きを時間の増加方向とします。0 s と 0.25 s は連続する強い瞬間なので、強弱の繰り返しは次のように求まります。

T = 0.25 s b = 1/(0.25) = 4 Hz

未知音の振動数を x Hz とすると、|x − 400| = 4 です。絶対値を外すと、x − 400 = 4 または x − 400 = -4 なので、x = 404 または x = 396 です。答えは 396 Hz、404 Hz の2通りです。どちらも正で、基準の 400 Hz に近いという条件に合います。

元へ戻すと、|396 − 400| = 4、|404 − 400| = 4 です。どちらも1周期は 1/4 = 0.25 s となり、問題の間隔を再現します。図2の右側に候補を2つ置いたのはこのためです。うなりの回数だけでは高低を決められません。

グラフで強い瞬間が 0 s と 0.75 s にあり、その間に強い瞬間が2回あると読めた場合、間隔は3周期です。0.75 s を3で割ってから逆数を取ります。端点を含めた強い瞬間の個数と、端点の間にある周期の数は1つ違います。弱い瞬間から次の弱い瞬間までを測っても1周期ですが、強い瞬間から次の弱い瞬間までは半周期です。

標準例題：調整の向きで2候補を選ぶ

基準音は 500 Hz、未知音は一定です。初めに1秒あたり6回のうなりが生じました。基準音を 503 Hz に上げると、1秒あたりのうなりは3回になりました。未知音を Hz 単位の整数で求めてください。2音は振動数の近い正弦波で、調整したのは基準音だけです。

初めの条件から |x − 500| = 6 なので、x = 494 または 506 です。調整後の条件は |x − 503| = 3 です。494 を入れると |494 − 503| = 9 で合いません。506 を入れると |506 − 503| = 3 で合います。答えは 506 Hz です。

数直線で考える別解もあります。500 から右へ3 Hz動かした基準が未知音に近づき、差が6 Hzから3 Hzに減っています。初めの候補のうち右側の 506 Hz なら距離は縮まり、左側の 494 Hz なら距離が広がります。元の条件へ戻しても差は6 Hz、変更後は3 Hzです。調整後の基準が未知音を通り越す場合には、動かした向きだけで判断せず、実際の距離を計算してください。

同じ初期条件でも、基準を上げた後の回数が9回なら 494 Hz が残ります。逆に、初期候補のどちらを代入しても観測値に合わなければ、このモデルの条件と観測値を同時に満たす答えはありません。勝手に近い候補を選ばず、調整量、回数の記録、両音が一定という仮定を点検します。

発展例題：調整途中で通過する点を調べる

未知音は一定の正弦波です。調整できる基準音が 620 Hz のとき、うなりは1秒に8回でした。基準音を上げて 625 Hz にしたところ、1秒に3回となりました。さらに基準音を 632 Hz まで上げるものとします。未知音と、基準音が 632 Hz のときのうなりの回数を、それぞれ整数と Hz で求めてください。調整中、他の音は無視できるとします。

初めの候補は 620 − 8 = 612 Hz と 620 + 8 = 628 Hz です。625 Hz との差は、612 Hz なら13 Hz、628 Hz なら3 Hzです。観測に合う未知音は 628 Hz です。632 Hz まで調整すると差は |632 − 628| = 4 Hz なので、うなりは1秒に4回です。

調整前後をつなぐと、基準音が 628 Hz に到達した瞬間に差は0となり、その後は再び広がります。差を縦軸、基準音の振動数を横軸に取ると、頂点が (628, 0) のV字です。620、625、632 Hz に対応する高さは順に8、3、4 Hzです。回数が途中で0を通るので、最後の回数が初めより小さいという情報だけでは、基準音が未知音より低いままとは限りません。

別解として、2回目の条件からは x = 622 または 628 と出ます。初めの候補 612、628 と共通するのは 628 Hz です。これを各条件に戻すと、差は8、3、4 Hzとなります。どちらの方法でも、途中で等しい振動数を通過する可能性を落とさずに答えを選べます。

記録の作り方と読み取れる精度

2つの音の強弱を観測する紙上の測定を考えます。片方を一定の基準とし、もう片方の設定も記録してから、強い瞬間を始点にして複数周期の時間を測ります。例えば n 周期にかかった時間を Δt 秒とすれば、b = n/(Δt) Hz です。連続する強い瞬間を n + 1 個数えると、その間が n 周期になります。測定した時間と周期数を一緒に記録すれば、数え間違いを後から確認できます。

1周期だけでは開始と終了を判断する時刻のずれが結果に大きく響きます。複数周期を使えば同じ程度の時刻の読み取り誤差が全時間に占める割合は小さくなります。ただし、その間に音源の振動数が変わると、一定の周期を前提とする計算が成り立ちません。前半と後半で周期の長さが変わっていないかを見て、変化があれば別々に記録します。音が大きすぎない条件で、学校の指導の下で扱います。

強弱があいまいで山を見失った場合、数えられた区間だけを明記し、周期数を確かめ直します。音が重なって聞こえにくい、反射音が混じる、どちらかの設定が安定しない場合も、得られた回数を直ちに差と断定できません。記録が途中で途切れたら、欠けた部分の山の数を想像で補わず、観測できた連続区間を使うか測り直します。調整前後で数え方が変わると比較も崩れます。

グラフが振幅の大きさを示すのか、符号付きの変位を示すのかも先に確認します。振幅の大きさの山は強い瞬間に対応しますが、変位の細かい山は音そのものの振動です。縦軸の名前と横軸の単位が不明な図からは、強弱の回数を一意に読めないことがあります。読み取れない条件を補って答えを作らず、軸と何を記録したかを確かめます。

誤答をほどく：符号を残さず大小を決めていないか

基準音が 400 Hz、うなりが4 Hzの基本例題で、「未知音は 400 + 4 = 404 Hz」とだけ答える誤りを考えます。式に4を加える操作自体が間違いなのではありません。差の絶対値から正の差だけを選び、負の差を調べなかったことが原因です。図3のように基準から左右に同じ距離を取れば、396 Hz も条件に合うと見えます。

修正するときは、まず |x − 400| = 4 と書き、x − 400 = 4 と x − 400 = -4 に分けます。2つの候補を出した後に追加条件があるなら、それぞれを代入して消します。追加条件がなければ2候補を答えます。図3は振動数の位置関係を示し、時間波形ではありません。

もう1つの誤りは、強い瞬間と次の弱い瞬間の時間をそのまま周期とすることです。等振幅の2波では、同位相から逆位相への位相差の変化は半周で、次の同位相までは1周です。半周期の逆数はうなりの振動数の2倍になります。強い点から次の強い点、または弱い点から次の弱い点を取り直し、どの2点を選んだかを答案に添えると修正できます。

調整後の回数が減った場合にも注意が要ります。調整した振動数が相手に近づいたことは示しますが、調整量が大きければ相手の値を通り越していることもあります。数直線上の位置を思い描くだけで終えず、候補ごとに調整後の絶対値を計算してください。

練習：まず5問を解く

どの問題も、2音は静止した観測点に届く振動数の近い正弦波で、観測中の振動数は一定とします。答えは指定された形で表し、途中で丸めません。

1. 強い瞬間から数えて、次々に強くなる瞬間までの4周期に 2.0 s かかりました。うなりの振動数を Hz 単位の整数で求めてください。
2. 基準音が 350 Hz のとき、未知音とのうなりは1秒に5回です。未知音の候補を Hz 単位の整数で全部求めてください。
3. 基準音が 440 Hz のとき、一定の未知音とのうなりは1秒に7回です。基準音を 442 Hz に上げると、うなりは1秒に9回になりました。未知音を Hz 単位の整数で求めてください。
4. 未知音が一定のとき、基準音を 700 Hz から 710 Hz に上げると、うなりは1秒に6回から4回になりました。未知音と、基準音が 714 Hz のときのうなりの振動数を整数と Hz で求めてください。
5. 一定の未知音と 800 Hz の基準音のうなりを1秒に3回と記録しました。基準音を 802 Hz に上げた後は1秒に8回と記録しました。この2つの記録を同時に満たす未知音があるか調べ、なければ理由と記録を点検する箇所を答えてください。

練習の答えと照合

1. 4周期の時間が 2.0 s なので、1周期は 2.0/4 = 0.5 s です。よって b = 1/(0.5) = 2 Hz です。逆に2 Hzなら1周期は0.5 s、4周期は2.0 sとなり、与えられた時間に戻ります。強い瞬間は始点と終点を含めて5回ありますが、周期は4つです。

2. 未知音を x Hz とすると、|x − 350| = 5 です。x = 350 − 5 または 350 + 5 なので、345 Hz と 355 Hz です。どちらを基準音と比べても差は5 Hzで、1秒に5回の強弱を再現します。高低を決める追加の観測は与えられていません。

3. 初めの候補は 440 − 7 = 433 Hz、440 + 7 = 447 Hz です。変更後の基準 442 Hz との差はそれぞれ9 Hz、5 Hzです。記録の9回に合う答えは 433 Hz です。433 Hz を初めの基準に戻すと差は7 Hzで、両方の記録を満たします。

4. 最初の候補は 694 Hz、706 Hz です。710 Hz との差は順に16 Hz、4 Hzなので、未知音は 706 Hz です。基準を 714 Hz にすると差は |714 − 706| = 8 Hz です。706 Hz との差は基準が700、710、714 Hzのとき順に6、4、8 Hzとなり、条件と答えを照合できます。基準は706 Hzを通過しています。

5. 初めの条件から未知音の候補は 797 Hz と 803 Hz です。802 Hz との差は順に5 Hzと1 Hzで、どちらも8 Hzになりません。したがって、記録された2条件を同時に満たす未知音はありません。例えば、調整後の基準値と回数を書き違えていないか、強い瞬間の数を周期数と混同していないかを点検します。記録だけではどこに誤りがあるかまでは決められません。

手元に残す要点

うなりの振動数は2音の振動数の差の絶対値です。 強い瞬間から次の強い瞬間までが1周期です。 差の絶対値だけでは基準の高低2通りが残ります。 調整後の条件は候補ごとに代入し、通過の可能性も調べます。

どこで止まったかを見分ける

音の細かい振動を数えてしまうなら、時間軸に強い瞬間を印し、その間に何周期あるかを言葉で説明してみます。1周期を決められるのに候補を1つしか出せないなら、基準音を数直線上に置き、等距離の左右を調べます。2候補を出せても調整後に迷うなら、変更されたのがどの音かを矢印で書き、変更後の差をそれぞれ計算します。

個別に確認するときは、|x − 基準の振動数| = うなりの振動数の式、候補を置いた数直線、各候補を調整後に戻す説明を順に見ます。観測値が合わないときに候補を無理に残していないかも確認します。強弱の間隔と振動数の距離を結び直せば、うなりから言える範囲が明確になります。