高校物理 音波の変位と圧力—二種類の節と腹を区別して同じ位置で対応させる｜武蔵野個別指導塾

圧力センサーの極大と空気の変位を同じ位置で比べ、節と腹の取り違えをほどく音波の圧力。

よくあるのは、管の中を調べた高校生が、圧力センサーの値が大きく振れる位置を見て、そこを空気の変位の腹とする場面です。センサーが記録する量と、空気の粒子が平衡位置から動く距離は同じではありません。管の中で空気が押し縮められるには、隣り合う部分の動きに差が必要です。まず何を測っているかを確認し、同じ座標に二種類の節と腹を書き込むと、混同をほどけます。

要点（結論から）

• 音の高さは基本となる振動数、大きさは振幅と関係し、音色には波形の違いが現れます。
• 空気の圧縮は隣り合う位置の変位の差から生じます。
• 理想的な定常音波では、変位の節と圧力の腹、変位の腹と圧力の節が同じ位置です。

何を比べる問題か

音の問題には、振動数から高さを比べる型、同じ振動数の音の大きさや音色を比べる型、定常波の位置を変位と圧力の両方で読む型があります。ここで扱う圧力は静かなときの圧力そのものではなく、そこからの変化です。正の値は平衡状態より圧力が高いことを、負の値は低いことを表します。

目標は、変位が大きい場所と圧力変化が大きい場所をそれぞれ探し、それがなぜ異なるかを空気の並びから説明することです。圧力の瞬間値が最大という情報と、圧力変化の振幅が最大という情報も区別します。後者は時間変化を観察して得る位置の性質です。音圧レベルは扱いません。

空気の動きと押し縮め

音の高さは主に基本となる振動数に対応し、振動数が大きいほど高く聞こえます。大きさは音の振幅に関係しますが、聞こえ方は振動数などにも依存するので、異なる高さの音を振幅だけで厳密に比較することはできません。同じ高さと大きさでも音色が異なるのは、基本となる振動に重なる成分の振動数や相対的な大きさ、時間変化が異なり、波形が変わるためです。高さ、大きさ、音色は測定量を区別して考えます。

管の軸を右向きに x、平衡位置から右向きの変位を正とします。近くにある2つの薄い空気の部分を考え、左側が右へ、右側が左へ動くと、その間の間隔は縮みます。空気は密になり、圧力は平衡状態より高くなります。逆向きに離れれば疎になり、圧力は低くなります。両方が同じ距離だけ右へ動けば、移動はしていても間隔は変わらず、その間の圧力変化は生じません。

図1のように、変位の大きさそのものではなく、位置による変位の変化が密と疎を決めます。矢印はある瞬間の変位の向きを表す模式図です。粒子の進行方向と波の進行方向を表す矢印ではありません。

図1の中央では左右から空気が近づき、圧力が高くなります。中央の粒子の変位がゼロでも、その両側が中央へ近づけば圧縮は起きます。したがって、変位ゼロから圧力変化ゼロを結論してはいけません。

両端で反射して生じた理想的な定常波を、波長 λ、周期 T として考えます。閉じた左端を x = 0 とし、右向きを正に、時刻 t = 0 に変位が各位置でゼロとなるよう時間の原点を取ります。変位の式の一例は次の形です。三角関数の角はラジアンで、2π が1周期に当たります。

変位 ξ = A・sin(2πx/λ)・sin(2πt/T)

A は正の定数です。時刻の因子は全位置で共通なので、変位の振幅は A・|sin(2πx/λ)| です。ゼロの位置が変位の節、最大 A の位置が変位の腹です。節では空気は常に平衡位置にあり、腹では大きく往復します。

圧力変化を求めるには、隣接する平衡位置 x と x + Δx の間を見ます。移動後の間隔は Δx + ξ(x + Δx) − ξ(x) です。変位が間隔に比べて十分小さい範囲では、圧力変化は間隔の縮みの割合に比例します。sin の加法定理を使うと、Δx を十分小さくしたとき変位差の割合は cos(2πx/λ) に比例します。圧縮を正に取るため符号は逆になり、正の定数 P を用いて次のように表せます。

圧力変化 p = -P・cos(2πx/λ)・sin(2πt/T)

この比例は小さな変化を仮定した近似です。P の値は媒質などによりますが、節と腹の位置を比べるためにその値を決める必要はありません。圧力の振幅は P・|cos(2πx/λ)| なので、変位の節は圧力の腹、変位の腹は圧力の節です。隣り合う異種の節は λ/4 離れます。同じ種類の隣り合う節どうしは λ/2 離れます。

この式では t = 0 に変位も圧力変化も全位置でゼロです。その瞬間に圧力の測定値がゼロだからといって、全位置が圧力の節になるわけではありません。節は時間を通じて振幅がゼロの位置です。瞬間の波形と振幅の包絡線を分けて読みます。また、閉端は空気が壁を貫けないため変位の節、圧力の腹です。理想的な開口端は外気と圧力が等しいため圧力の節、変位の腹です。実際の開口付近ではこの理想化にずれが生じます。

基本例題：閉端から位置を読む

長さ 0.60 m の理想的な片端閉管に、基本振動の定常波ができています。左端 x = 0 が閉端、右端 x = 0.60 m が開口端です。右向きを x の正方向とし、管内の音速を 340 m/s とします。波長と振動数、変位と圧力の節・腹の位置を求めてください。波長と位置は小数第2位まで、振動数は有効数字2桁で表し、途中では丸めません。

図2のように閉端から開口端まで、変位の節から隣の腹までの距離が並びます。基本振動なので、その間に別の節や腹はありません。

管長 L = λ/4 ですから、λ = 4・0.60 = 2.40 m です。波の速さ v = fλ より、f = 340/(2.40) = 141.666… Hz です。指定どおり 1.4 × 10² Hz とします。

変位の節は x = 0.00 m、変位の腹は x = 0.60 m です。圧力はこれと入れ替わり、圧力の腹は x = 0.00 m、圧力の節は x = 0.60 m です。図2の赤い曲線は変位の振幅を示す包絡線で、瞬間の波形ではありません。同じ縦線上の2つのラベルを対応させています。

答えを条件に戻すと、2.40/(4) = 0.60 m で管長と一致します。丸める前の振動数を使うと fλ = 340 m/s となり、指定された音速にも戻ります。丸めた 1.4 × 10² Hz を使うと厳密には一致しないため、検算には丸め前の値を使います。

別の読み方として、閉端で圧力の腹、開口端で圧力の節を置いてもよいです。圧力の腹から隣の節までが λ/4 なので、同じ波長が得られます。ただし、圧力を基準にした後で変位の名前に戻すとき、節と腹の交換を忘れないようにします。

標準例題：複数の節を並べる

長さ 0.90 m の理想的な両端閉管で、両端を含めて変位の節が3個ある定常波を考えます。左端を x = 0、右向きを正とし、音速を 360 m/s とします。波長、振動数、および管内の圧力の節と腹の位置を小数第2位まで求め、振動数は整数の Hz で示してください。

両端と中央が変位の節です。隣接する変位の節の間隔は λ/2 なので、管長はその2区間分、つまり λ です。よって λ = 0.90 m、f = 360/(0.90) = 400 Hz です。

変位の節は x = 0.00、0.45、0.90 m ですから、これらは圧力の腹です。各区間の中央 x = 0.225、0.675 m が変位の腹であり、圧力の節です。指定した小数第2位への丸めを四捨五入とすると、圧力の節は 0.23、0.68 m です。位置の計算には丸め前の値を使います。

逆に圧力の腹から次の腹へ λ/2 ずつ置くと、0.45 m の間隔で3個が管内に収まります。節はそれぞれの中間にあり、両端の閉じた条件も満たします。波長 0.90 m に振動数 400 Hz を掛けると 360 m/s に戻ります。節の個数は両端を含むという条件を落とすと、別の振動を選んでしまいます。

発展例題：センサーの振幅から選ぶ

右向きを正とする長い直管内の定常波を考えます。圧力変化の振幅が最大となる隣り合う位置は x = 0.20 m と x = 0.60 m です。空気中の音速は 320 m/s とし、その間に別の圧力の腹はありません。波長、振動数、2点の間にある変位の腹の位置を求めてください。値は小数第2位の m と整数の Hz で表します。

隣接する圧力の腹の間隔は λ/2 です。0.60 − 0.20 = 0.40 m なので、λ = 0.80 m、f = 320/(0.80) = 400 Hz です。圧力の節は2つの腹の中間 x = 0.40 m にあり、そこが変位の腹です。

条件を逆にたどると、0.80/(2) = 0.40 m が測定した腹の間隔になり、400・0.80 = 320 m/s も満たします。片方の腹から変位の腹まで 0.20 m で、λ/4 に等しいことも確認できます。もし2点が隣り合う腹でない場合は、この距離が λ/2 の整数倍になり、波長を一意には決められません。

実験を設計するなら、管の軸に沿って圧力センサーを少しずつ移動し、各位置で十分な時間の記録を取り、平衡圧力からの変化の振幅を求めます。位置を横軸、振幅を縦軸にしたグラフの山が圧力の腹、谷が節の候補です。センサーの読みが正の最大値を示した瞬間だけを並べた図とは区別します。機器は学校の指導の下で扱います。

測定位置の間隔が粗いと、本当の山を通り過ぎて最大位置をずらすことがあります。センサー自体の大きさ、管端の反射や開口端の補正、背景音も結果に影響します。山の近くを細かく測り直し、複数の隣接間隔を比べると、読み取りの不確かさを点検できます。谷がゼロにならない場合も、すぐに節がないと決めず、背景音や反射の不完全さを考えます。

誤答を直す：最大という言葉の対象

圧力センサーの振幅が最大の位置を見て、「空気の変位も最大だから変位の腹」とする答えを考えます。原因は、圧力の変化と粒子の移動距離を同じ量として扱うことです。圧力の腹では近くの空気が互いに近づいたり離れたりする一方、その中心にある空気の変位は常にゼロです。

図3のように、まず圧力の腹を記入し、同じ位置に変位の節を対応させます。図の両側の矢印は圧縮時の変位を示し、中央の点は動きません。

図3の位置で圧力変化が正の最大なら、半周期後には負の最大です。それでも中央は変位の節のままです。圧力の値が最大となる時刻と、圧力の振幅が最大となる位置を言葉で区別すると、時間と場所を混ぜずに済みます。

練習：5つの場面で確かめる

答えは位置と波長を小数第2位の m、振動数を整数の Hz で示します。小数第3位以下がある場合は四捨五入し、途中では丸めません。各管は理想的で、座標は左端から右向きを正とします。

1. 長さ 0.50 m の片端閉管の基本振動で、音速が 300 m/s です。波長と振動数、閉端の変位と圧力の節・腹を求めてください。
2. 長さ 1.20 m の両端閉管で、両端と中央が変位の節です。圧力の節の位置と波長を求めてください。
3. 圧力の隣接する2つの節が x = 0.10 m、0.35 m にあります。その間の変位の節の位置と波長を求めてください。
4. ある定常波の波長が 1.60 m、音速が 320 m/s です。変位の節から隣の変位の腹までの距離と振動数を求めてください。
5. ある位置で圧力変化が周期的に正負へ変わり、その振幅が周囲より最大です。この位置の変位と圧力の節・腹を答え、圧力変化が瞬間的にゼロになることと矛盾しない理由を述べてください。

練習の答えと戻し方

1. λ = 4・0.50 = 2.00 m、f = 300/(2.00) = 150 Hz です。閉端は変位の節、圧力の腹です。2.00/(4) = 0.50 m、150・2.00 = 300 m/s と元の条件に戻ります。

2. 変位の節が2区間に分かれるので λ = 1.20 m です。圧力の節は変位の腹に当たり、各区間の中央の x = 0.30、0.90 m です。節どうしの間隔 0.60 m は λ/2 で、両端と中央に変位の節を戻せます。

3. 圧力の節の間隔は 0.35 − 0.10 = 0.25 m で、λ/2 に当たります。λ = 0.50 m です。間の圧力の腹、すなわち変位の節は x = 0.225 m で、四捨五入すると 0.23 m です。丸め前の位置から両節までの距離はそれぞれ 0.125 m で、λ/4 と一致します。

4. 節から隣の腹までは 1.60/(4) = 0.40 m、振動数は 320/(1.60) = 200 Hz です。0.40・4 = 1.60 m、200・1.60 = 320 m/s と条件に戻ります。

5. 圧力の腹であり、変位の節です。圧力の腹とは振幅が最大の位置であり、瞬間値が常に最大という意味ではありません。時間とともに正負に振動するので、途中でゼロを通ることは条件に合います。

要点

• 音の高さは基本となる振動数、大きさは振幅と関係し、音色には波形の違いが現れます。
• 空気の圧縮は隣り合う位置の変位の差から生じます。
• 理想的な定常音波では、変位の節と圧力の腹、変位の腹と圧力の節が同じ位置です。
• 隣り合う同種の節の間隔は λ/2、節と隣の腹の間隔は λ/4 です。
• 瞬間値と時間を通じた振幅を分けて読みます。

どこで取り違えたかを見つける

答えの位置が合わないときは、まず端が開いているか閉じているかを図に記し、次に変位と圧力のどちらの節を書いているかを声に出して確かめます。振動数が合わないときは、管長が波長の何倍かを、端から節と腹を交互に並べて数えます。センサーのグラフなら、縦軸が瞬間値か振幅かを先に確認します。

個別に説明を受けるときは、自分の図に隣り合う空気の矢印を加え、中央で圧縮が起きる理由を説明してみてください。式では v = fλ と、どの区間を λ/4 と置いたかを示します。位置の名前と空気の動きが同じ図でつながれば、圧力の腹を変位の節として読み直せます。