高校物理 定常波の生成—逆向きに進む二つの波から節と腹の位置を導く｜武蔵野個別指導塾

逆向きの正弦波を足し、節の位置と時刻で変わる波形を分けて追う定常波の生成。

よくあるのは、高校生が弦の振幅の包絡線を、そのままある一瞬の波形として描く場面です。左右に並ぶ山がいつでも同じ側へ張り出して見える図は、各点が到達する最大の高さを示しているかもしれません。しかし、隣り合う腹では変位の符号が反対になることがあります。まず、同じ時刻に弦の各点がどこにあるかを尋ねているのか、時間を通じて各点がどこまで動くかを尋ねているのかを区別しましょう。

重ね合わせで何を求めるか

定常波の問題には、逆向きに進む2つの波の式から合成波を作る型、動かない節や最も大きく振動する腹を位置の条件として求める型、指定時刻の形を描く型があります。どの型でも、位置と時刻を一度に変えず、片方を固定してもう片方の変化を見ることが出発点です。

ここでは同じ媒質を同じ速さで逆向きに進む、振幅と振動数が等しい正弦波を扱います。変位の正方向を弦の上向き、位置 x の正方向を右向き、時刻を t とします。振動数 f、周期 T、波長 λ、速さ v は正とし、v = fλ、T = 1/f です。弦の長さや端の条件が与えられない限り、節や腹を端で切り取って個数を決めることはしません。

目標は、合成した式を位置だけの因子と時刻だけの因子に分け、その両方の意味を説明することです。節の位置は時刻によらず変位がゼロになる場所です。腹は振幅が最大となる場所で、常に変位が最大という意味ではありません。腹も周期中に平衡位置を通過します。

二つの進行波から動かない位置へ

振幅 A を正とし、初期位相を次の式で指定します。角度はラジアンで、1周が 2π です。k = (2π)/(λ)、ω = (2π)/(T) = 2πf とおくと、右向きの波と左向きの波を次のように表せます。

右向き: y₁ = A sin(kx − ωt)

左向き: y₂ = A sin(kx + ωt)

右向きの式では kx − ωt を一定に保つ位置が時間とともに右へ進みます。左向きでは kx + ωt を一定に保つ位置が左へ進みます。両波とも t = 0 の形が A sin(kx) であるという位相の指定が、以下の節の原点を決めています。

重ね合わせの原理により、同じ x、同じ t での変位を符号ごと足します。加法定理 sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) と sin(α − β) = sin(α)cos(β) − cos(α)sin(β) を使うと、cos(kx)sin(ωt) の項が打ち消し合い、

y = y₁ + y₂ = 2A sin(kx)cos(ωt)

を得ます。ここで位置因子 sin(kx) は場所による符号と大きさを、時間因子 cos(ωt) は共通の時間変化を表します。これは波の山が右や左へ移り続ける式とは異なり、ゼロの位置が固定された振動です。

図1のように、振幅を正の量として表すと 2A｜sin(kx)｜です。上下の包絡線は各点の変位の上限と下限であって、同時刻の弦の形とは限りません。図の曲線は範囲を示す模式図で、隣接する腹における同時刻の向きはそこから決まりません。

図1の節は sin(kx) = 0 から kx = nπ、すなわち x = nλ/2 です。n は整数で、対象の範囲に入るものを選びます。腹は ｜sin(kx)｜ = 1 から x = λ/4 + nλ/2 です。節から隣の腹までは λ/4、隣り合う節どうしと腹どうしはそれぞれ λ/2 離れます。一般の節と腹の条件は、2つの波の初期位相が変われば位置ごと移るため、式を作り直して求めます。

sin(kx) の符号は隣り合う節の間で交互に変わります。したがって cos(ωt) がゼロでない同一時刻には、隣の区間の変位は逆向きです。一方、節を挟まず同じ区間内にある点は同じ向きに変位します。cos(ωt) = 0 の瞬間には全点が平衡位置を通るので、その瞬間の変位がゼロというだけで節と判定してはいけません。

基本例題：弦上の節と一瞬の形

十分長い弦上で、x を m、t を s、変位 y₁、y₂ を cm とします。右向きと左向きの波がそれぞれ y₁ = 2 sin(πx − 2πt)、y₂ = 2 sin(πx + 2πt) で与えられます。0 ≦ x ≦ 2 m にある節と腹、および t = 1/6 s の合成波の式を求めてください。位置は分数または整数、変位の係数は整数で表します。sin(π/2) = 1、cos(π/3) = 1/2 とします。

係数の比較から k = π rad/m、ω = 2π rad/s です。したがって λ = 2 m、T = 1 s であり、両波の速さは 2 m/s です。与えた式が初期位相を定めるので、原点を勝手に腹にはしません。

同じ位置の変位を足し、

y = 4 sin(πx)cos(2πt) cm

を得ます。節は x = n m、腹は x = 1/2 + n m です。区間に残る節は x = 0、1、2 m、腹は x = 1/2、3/2 m です。範囲の両端も含むため、節として数えます。

t = 1/6 s では cos(2πt) = cos(π/3) = 1/2 ですから、

y = 2 sin(πx) cm

です。図2のように、x = 1/2 m で上に 2 cm、x = 3/2 m で下に 2 cm となります。振幅の最大値は各腹で 4 cm ですが、指定時刻の変位はその半分です。

図2の曲線を元の式に戻して確かめます。x = 1/2 m では2波がそれぞれ 2 sin(π/6) = 1 cm、2 sin(5π/6) = 1 cm です。和は 2 cm となり、求めた波形と一致します。x = 1 m でも2波は互いに逆符号で和がゼロです。

別解として、各波の周期が 1 s であることから、t = 0 の合成波の各点の変位に cos(π/3) を掛けても同じ形を得ます。ただしこの操作は、先に時間因子が共通であると導いた後に使います。進行波を個別に時間変化させず、一方の波の形をそのまま2倍するだけでは、一般の時刻の和にはなりません。

標準例題：腹での時刻と進行波の速さ

別の媒質で、変位が y = 6 sin(2πx)cos(4πt) mm と表されます。x は m、t は s です。これは同振幅の2つの逆向きの正弦波の和とします。各進行波の振幅、波長、振動数、速さを求め、x = 1/4 m で t = 1/12 s の変位を求めてください。答えは整数または分数で表し、cos(π/3) = 1/2 を用います。

位置因子から k = 2π rad/m なので λ = 1 m、時間因子から ω = 4π rad/s なので f = 2 Hz です。各進行波の速さは v = fλ = 2 m/s、各振幅は合成波の腹の振幅 6 mm の半分の 3 mm です。

x = 1/4 m では sin(2πx) = 1、t = 1/12 s では cos(4πt) = 1/2 です。よって変位は 3 mm です。この点は腹ですが、その時刻の変位は最大値 6 mm ではありません。各進行波に分けて戻すと、それぞれの変位は 3 sin(π/6) = 3/2 mm と 3 sin(5π/6) = 3/2 mm であり、合計 3 mm です。

速さの別解は、進行波の位相 2πx − 4πt を一定とし、時間が 1 s 増えると位置が 2 m 増えると読む方法です。この速さは個々の進行波に対するものです。定常波の節が 2 m/s で進むという意味ではありません。

発展例題：位相がずれた波を足す

同じ単位系で、2波が y₁ = 1 sin(πx − πt)、y₂ = 1 sin(πx + πt + π/2) cm と与えられます。0 ≦ x ≦ 4 m での節と腹を分数または整数で求めてください。2波は等振幅であり、右向きと左向きの初期位相が異なります。

加法定理を使いやすくするため、2つの角の平均を πx + π/4、半差を πt + π/4 とします。sin(p − q) + sin(p + q) = 2 sin(p)cos(q) より、

y = 2 sin(πx + π/4)cos(πt + π/4) cm

です。位置因子がゼロのとき、πx + π/4 = nπ なので、節は x = n − 1/4 m です。範囲に入るのは 3/4、7/4、11/4、15/4 m です。腹は πx + π/4 = π/2 + nπ から x = n + 1/4 m となり、1/4、5/4、9/4、13/4 m です。

元の2波に節 x = 3/4 m を戻すと、角は 3π/4 − πt と 5π/4 + πt で、和は 2π です。正弦の値は常に互いに逆符号です。腹 x = 1/4 m では両角の和が π なので、2波の変位は常に等しく、振幅 2 cm の振動になります。初期位相の差は節の間隔を変えませんが、節の位置を移します。

2波の振幅が等しくない場合は、進行波の振幅の差が残り、一般にどの時刻も変位がゼロの節はできません。この場合に上の節の公式をそのまま使うのは失敗です。実際の式を足し、位置と時刻の両方を確認する必要があります。

包絡線を波形と誤認したとき

基本例題で「上側の包絡線 y = 4｜sin(πx)｜を t = 0 の波形として描く」という答えを考えます。図3のように、右側の腹も上向きに描くと誤りです。正しい t = 0 の波形は y = 4 sin(πx) で、右側の腹は下向きです。

原因は、各位置での振幅という正の量と、その時刻の符号付き変位を混同したことです。図3の上側の線は到達可能な高さを示しますが、その高さに隣接する腹が同時に達するとは限りません。修正するときはまず時刻因子を計算し、次に各節の間の位置因子の符号を調べます。最後に腹と節の座標を式へ戻し、曲線を滑らかにつなぎます。

もう1つの誤答は、t = T/4 に全点の変位がゼロだから、全点を節と呼ぶことです。この時刻には cos(ωt) = 0 ですが、他の時刻には腹が動きます。節であるためには、任意の時刻に位置因子によってゼロになる必要があります。測定で一瞬の画像しか得られない場合も、時間をずらした画像と照合して判断します。

観測の設計とグラフの読み取り

学校の指導の下で弦の両方向の波を重ねる実験を考えます。弦に沿って位置の目盛りを置き、一定間隔の複数時刻で横から記録します。振幅の小さい点の候補を先に探し、その前後で変位の向きが逆になるか調べます。腹の候補は複数時刻にわたる最大変位を比べて選びます。弦の位置とカメラの向きは固定し、同じ基準線から変位を読みます。

弦の太さ、画像のぼけ、視差、読み取り時刻のずれは節の位置や振幅の推定を狂わせます。節が完全には静止しないとき、読み取り誤差のほか、2波の振幅が等しくない可能性もあります。撮影位置を変えて視差を調べ、測定を繰り返して幅を記録し、異なる原因を区別します。隣り合う複数の節の間隔を測り、平均間隔の2倍を波長の推定値とすると、1区間だけを読む影響を減らせます。

位置を横軸にした瞬間波形では、隣り合う節の間隔を読みます。時刻を横軸にした1点の変位のグラフでは、同じ向きに最大となる時刻の間隔が周期です。腹の位置のグラフでも、上の最大値と下の最小値の間は半周期です。節の位置の変位は常にゼロなので、そのグラフから周期を読み取ろうとしても決まりません。

練習問題

各問の長さは m、時刻は s、変位は mm です。波は同じ媒質を逆向きに進み、範囲の端を含みます。数値は整数または分数で答え、途中では丸めません。必要な値は sin(π/2) = 1、sin(π/6) = 1/2、cos(π/3) = 1/2 です。

1. 2波が y₁ = 3 sin(2πx − πt)、y₂ = 3 sin(2πx + πt) のとき、合成波と 0 ≦ x ≦ 3/2 の節を求めてください。
2. 合成波 y = 8 sin(πx/2)cos(2πt) について、0 ≦ x ≦ 4 の腹と、それぞれの振幅を求めてください。
3. 合成波 y = 10 sin(4πx)cos(πt) について、x = 1/8、t = 1/3 の変位と、各進行波の速さを求めてください。
4. 2波が y₁ = 2 sin(2πx − 2πt)、y₂ = 2 sin(2πx + 2πt + π) のとき、0 ≦ x ≦ 1 の節を求めてください。
5. 合成波 y = 4 sin(πx)cos(πt/2) の x = 1/2 において、t = 0 から t = 4 の間に変位が正の最大値を取る時刻と、その変位を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 和は y = 6 sin(2πx)cos(πt) です。2πx = nπ より、節は 0、1/2、1、3/2 m です。各位置で2つの角は nπ − πt と nπ + πt となり、正弦の和は常にゼロです。
2. ｜sin(πx/2)｜ = 1 より腹は 1、3 m、振幅はいずれも 8 mm です。式に戻すと位置因子がそれぞれ 1、-1 なので、時刻によって符号は逆でも最大の大きさは等しくなります。
3. sin(4π・1/8) = 1、cos(π/3) = 1/2 から変位は 5 mm です。λ = 1/2 m、f = 1/2 Hz なので速さは 1/4 m/s です。各波の振幅を 5 mm として元の2波に分けると、指定点で各々 5/2 mm、和は 5 mm です。速さに周期 2 s を掛けると波長 1/2 m に戻ります。
4. 和は -4 cos(2πx)sin(2πt) です。cos(2πx) = 0 より節は 1/4、3/4 m です。例えば x = 1/4 では2つの角の差が時間によって変わっても、元の正弦の値は互いに逆符号となります。端の x = 0 と 1 は位置因子がゼロでないため節ではありません。
5. x = 1/2 では y = 4 cos(πt/2) です。周期は 4 s なので正の最大値 4 mm を取るのは t = 0、4 s です。両端の時刻を式に戻すと cos(0) = cos(2π) = 1 です。t = 2 s は負の最大変位であり、正の最大値には含めません。

手元に残す要点

等振幅の逆向きの波は、同じ位置と時刻の変位を足します。 位置因子が常にゼロにする点が節、振幅が最大の点が腹です。 包絡線は最大変位の範囲で、指定時刻の波形は時間因子も含めて描きます。 初期位相が変わると節の位置も変わるため、与えられた式から求めます。

式と図のどこで止まったか

節と腹の位置が合わないときは、まず2波の位相をそのまま書き、同じ x と t で足したか確かめます。位置は合うのに波形が違うときは、指定時刻の時間因子と、隣接する区間の位置因子の符号を別々に点検します。個別指導で確認するなら、式の因子に印を付け、節、2つの腹、ある時刻の変位を図に対応させて説明してみてください。

1枚の写真だけでは、瞬間的にゼロとなる点と常にゼロの節を区別できません。時刻の異なる形を比べると、固定された節と向きを変える腹が見えてきます。