高校物理 力学 仕事率と速度—同じ荷を運ぶ二つの条件で力と時間の関係を比べる｜武蔵野個別指導塾

荷の定速引上げと加速引上げを比べ、平均の積が平均仕事率と一致する条件まで追う仕事率の考察。

よくあるのは、荷を引き上げる装置の記録を見た高校生が、平均の力と平均の速さを掛ければ、いつでも平均仕事率になると考える場面です。ところが、力が大きい時刻と速さが大きい時刻が重なるかどうかで、同じ2つの平均値からでも仕事は変わります。力と速度を同じ時刻に組にして、運んだ距離と時間に戻してみましょう。

荷が鉛直に動く場合を中心に、荷に作用する引上げ力の仕事率を調べます。モーターの消費電力や装置内部の損失は、別途条件が与えられない限り求めません。荷への出力と装置に入る電力を同じ量とみなすには、損失がないという追加の仮定が必要です。

運び方で変わる問い

定速なら上向きの力は重力とつり合い、同じ高さを短時間で上げるほど仕事率は大きくなります。加速しながら上げると、引上げ力は重力より大きく、重力による位置エネルギーの増加に加えて運動エネルギーも増えます。この2つが、同じ荷を比べるときの基本の型です。

もう1つの型は、時刻ごとに変わる力と速度の記録から平均仕事率を出す問いです。各区間の仕事を足して全時間で割る方法なら、力と速度が同時にどう変わったかを保てます。力と速度の時間平均を別々に取り、最後に掛ける方法ではその組合せが失われます。

力が一定の区間であっても、荷が動く方向と力の向きは確認します。荷の質量を一定とし、空気抵抗などは問題で無視すると指定した場合に省きます。加速中の式は、その区間の加速度が一定という条件の下で使い、始動や停止の瞬間にも同じ式を無条件に延長しません。

力と速度を同じ時刻にそろえる

仕事は、一定の力の進行方向成分に変位を掛けた量です。上向きを正とし、鉛直方向の力の成分を F、短い時間 Δt の変位を Δy とすると、力がその間ほぼ一定であれば仕事は FΔy です。平均の速度は Δy/Δt なので、同じ区間の平均仕事率は FΔy/Δt です。時間幅を短くすると、その時刻の速度 v と力 F に対して瞬間の仕事率 P = Fv となります。単位は N・m/s、すなわち W です。

図1のように上向きの引上げ力と上向きの速度を荷の位置で対応させます。仕事率は荷が力を受ける点の速度を使います。例えば糸が理想的でない装置では、モーター側の速度や力を荷側の値に勝手に置き換えられません。

図1では重力 mg は下向きです。重力の仕事率は -mgv であり、引上げ力の仕事率 Fv とは別の量です。上昇中に引上げ力が正なら Fv は正ですが、荷を下ろす際に上向きの力が働けば速度は負なので Fv は負です。力が荷からエネルギーを受け取る向きの仕事をしていることを、符号が表します。

運動方程式は F − mg = ma です。定速では a = 0 なので F = mg、上向きに加速するなら F = m(g + a) です。停止から一定加速度で上げると v = at、移動距離は h = at²/2 です。この区間の仕事は一定の F に h を掛けた Fh となり、重力に逆らう mgh と運動エネルギーの増加 mv²/2 の和に一致します。ここで v² = 2ah を使えば、ma h = mv²/2 と確認できます。

この式の次元も確かめます。力と速さの積は N・m/s で、仕事 J を時間 s で割った単位です。速度が0の瞬間には、有限の力が荷を支えていても、その瞬間の仕事率は0です。ただし直後に動き始めれば仕事率は増えるため、瞬間値とある時間にわたる平均値は区別します。

力の向きが運動方向と斜めに交わる場合は、速度方向成分を用いて P = Fv cos θ です。θ は力と速度のなす角です。速度が0なら角度を決める必要はなく仕事率は0です。以下の計算は鉛直方向に力と速度が並ぶ場合で、上向きを正とした成分の積を使います。

基本例題：同じ高さへ定速で

質量 2 kg の荷を鉛直上向きに、一定の速さ 3 m/s で 6 m 引き上げます。重力加速度を計算用に 10 m/s² とし、抵抗を無視します。定速区間の引上げ力、所要時間、荷への仕事と仕事率を、単位付きの整数で求めてください。始動と停止の区間は含めません。

図2のように荷には上向きの力と下向きの重力が働きます。加速度は0なので引上げ力は 2・10 = 20 N です。時間は 6/3 = 2 s、仕事は 20・6 = 120 J です。瞬間の仕事率は 20・3 = 60 W で、定速区間では一定です。

図2の距離を速さと時間に戻すと 3・2 = 6 m です。また 60・2 = 120 J なので、時間を使う計算と距離を使う計算が一致します。重力の仕事は -120 J で合計の仕事は0となり、速さが一定という条件とも合います。2 s を全工程の時間と呼ぶには、別に始動と停止の時間を無視する条件が必要です。

標準例題：同じ荷を加速して上げる

上の例と同じ質量 2 kg の荷を静止から鉛直上向きに一定加速度 2 m/s² で 6 m 引き上げます。重力加速度は 10 m/s²、抵抗は無視します。到達までの時間を根号で、到達時の速さと引上げ力を根号または整数で、荷への仕事と平均仕事率を根号を用いて求めてください。

距離の式 6 = 2t²/2 から t = √6 s です。負の根は開始後の時間ではないため採りません。到達時の速さは 2√6 m/s、力は 2・(10 + 2) = 24 N です。仕事は 24・6 = 144 J、平均仕事率は 144/√6 = 24√6 W です。終点での瞬間仕事率は 24・2√6 = 48√6 W となり、平均値の2倍です。

荷に加えた 144 J の内訳は、位置エネルギーの増加 2・10・6 = 120 J と運動エネルギーの増加 2・(2√6)²/2 = 24 J です。和は144 Jに戻ります。時間 √6 s と平均速度 √6 m/s の積も 6 m です。定速の例の120 Jと違うのは、到達時に荷が動いているためです。その後に止める仕事や停止時間は、この区間には含めていません。

力が一定のこの例では、平均仕事率は力と平均速度の積にもなります。速度が時間とともに直線的に増え、平均速度が始点と終点の速度の平均になるからです。しかし、力も変わる場合にこの結論をそのまま使うことはできません。

発展例題：速い区間で力を変える

同じ荷を上向きに 4 s 運びます。最初の 2 s は一定速度 1 m/s で引上げ力 10 N、次の 2 s は一定速度 3 m/s で引上げ力 30 N とします。区間の間の速度変更は、比較のため時間と変位を無視できる短い過渡区間として扱い、その仕事は別途集計しない理想化です。各定速区間を成立させるため、引上げ力以外にも上向きまたは下向きの力が作用し得ます。荷への引上げ力の仕事と、記載した4 sに対する平均仕事率を整数で求めてください。

最初の変位は 1・2 = 2 m、次は 3・2 = 6 m です。それぞれの仕事は 10・2 = 20 J、30・6 = 180 J なので、合計は 200 J、平均仕事率は 200/4 = 50 W です。両区間の時間平均の力は (10 + 30)/2 = 20 N、時間平均速度は (1 + 3)/2 = 2 m/s ですが、その積は 40 W です。10 W の差は計算誤差ではなく、力の大きい区間と速度の大きい区間が重なったことによります。

別解では各区間の仕事率を先に出します。10・1 = 10 W と 30・3 = 90 W がそれぞれ 2 s 続くので、時間で重み付けした平均は (10・2 + 90・2)/4 = 50 W です。区間の長さが等しくなければ単純に2つの値の平均を取れません。仕事を足す方法は力と変位が区間ごとにわかるときに、仕事率を時間平均する方法は同時刻の力と速度がわかるときに使えます。

過渡区間を無視しない現実の運動では、その区間の力、変位、時間と仕事も加える必要があります。また、定速なのに2つの引上げ力が異なるのは他の力が変わる設定だからです。重力以外に力がない同一荷の定速上昇で、引上げ力を10 Nから30 Nに変えることはできません。モデルの成立条件が欠けると、平均の計算が合っていても運動全体の説明は成立しません。

記録を合わせる実験とグラフ

学校の指導の下で、小さな荷を低速で上げる装置を観察します。荷が落下しないよう装置を固定し、動く部分へ手を近づけない条件で、一定速度の区間と加速区間を比べます。独立に変えるのは装置の運転条件で、測る量は荷への力、荷の位置、時刻です。質量、移動区間、センサーの取付け方をそろえ、各条件で複数回記録します。開始と停止の部分は区間を分けて扱います。

位置の記録から一定の時間幅ごとの変位を求め、その幅で割れば区間平均速度が得られます。同じ時間幅の力の代表値と組にして仕事率を近似します。力がその幅で大きく変わると代表値の積は正確ではないので、時間幅を細かくして結果が安定するか調べます。全体の平均は各区間の仕事の和を全時間で割ります。

横軸を時刻 t（s）、縦軸を仕事率 P（W）とするグラフでは、軸と曲線に囲まれた符号付き面積が仕事 J に対応します。一定加速度で力が一定なら、停止からの上昇中は P が時刻に比例し、三角形の面積から仕事を求められます。負の仕事率がある場合は軸の下の面積を負として加えます。面積を時間で割った値が平均仕事率です。傾きは仕事そのものではありません。

力のセンサーが位置の記録より遅れると、本来同時の力と速度がずれ、加速開始や終了の近くの積を誤ります。共通の時刻信号で記録をそろえ、既知の同時の変化でずれを調べます。零点のずれは力の値を一方向に偏らせる系統誤差です。記録のばらつきや位置の読み取りの揺れは偶然誤差として反復で評価します。反復しても零点のずれは消えないため、測定前後の無負荷の値も確認します。速度を差分で求めると位置の小さな揺れが増幅され得るので、時間幅を変えた結果も比べます。

平均の積でつまずいたら

図3のように、同じ長さの2区間で力と速度を対応させます。左の組は力が大きいときに速度も大きく、右の組は大きい力と小さい速度が組になります。両方とも力の時間平均は 20 N、速度の時間平均は 2 m/s ですが、左の平均仕事率は 50 W、右は (10・3 + 30・1)/2 = 30 W です。

誤答は、どちらも 20・2 = 40 W とすることです。原因は、力と速度の組合せを消してから掛けたことにあります。修正するときは各区間でまず Fv を出し、区間の長さを重みとして平均します。図3は速さと力の数値の対応を比較する模式図であり、荷の運動を成立させる他の力は省いています。

一般には、平均力を F̄、平均速度を v̄ とし、各区間のずれを考えると、平均仕事率と F̄v̄ の差は、同じ時刻の力と速度のずれの積の時間平均です。力が一定、または速度が一定なら差は0です。両方が変わってもずれの積の平均が0なら一致しますが、平均値だけではその判定はできません。

自分で解く5問

重力加速度は必要な問題で 10 m/s² とし、抵抗は無視します。答えは指定された形で、途中で丸めずに求めてください。

1. 質量 3 kg の荷を一定速度 2 m/s で 8 m 上げます。引上げ力、時間、仕事率と仕事を単位付きの整数で求めてください。始動と停止は含めません。
2. 質量 4 kg の荷を静止から上向き加速度 1 m/s² で 2 s 上げます。力、移動距離、終点の瞬間仕事率と平均仕事率を単位付きの整数で求めてください。
3. 上向きに 12 N の力を受ける荷が、下向きに一定速度 0.5 m/s で 4 s 動きます。力の仕事と仕事率を符号付きの整数で求めてください。
4. それぞれ 1 s の2区間で、上向きの力と速度が順に 8 N と 4 m/s、16 N と 2 m/s です。仕事の合計と平均仕事率を単位付きの整数で求め、平均力と平均速度の積と比べてください。区間の境界は発展例題と同様に扱います。
5. 荷に働く引上げ力が一定の 15 N で、荷が静止から一定加速度で上向きに動き、3 s 後に 6 m/s に達します。その3 s の移動距離、仕事、平均仕事率を単位付きの整数で求めてください。他の力はこの運動を可能にするものとします。

答えと戻し方

1. 定速なので力は 3・10 = 30 N、時間は 8/2 = 4 s です。仕事率は 30・2 = 60 W、仕事は 30・8 = 240 J です。2・4 = 8 m、60・4 = 240 J と条件へ戻り、重力の仕事 -240 J と合わせた仕事は0です。
2. 力は 4・(10 + 1) = 44 N、移動距離は 1・2²/2 = 2 m、終点速度は 1・2 = 2 m/s です。終点の仕事率は 44・2 = 88 W、仕事は 44・2 = 88 J、平均仕事率は 88/2 = 44 W です。位置エネルギー増加 80 J と運動エネルギー増加 8 J の和が88 Jに戻ります。
3. 上向きを正にすると速度は -0.5 m/s です。変位は -0.5・4 = -2 m、仕事は 12・(-2) = -24 J、仕事率は 12・(-0.5) = -6 W です。-6・4 = -24 J となり、上向きの力が下降を妨げる向きであることとも一致します。
4. 仕事は 8・4・1 + 16・2・1 = 64 J、平均仕事率は 64/2 = 32 W です。平均力 12 N と平均速度 3 m/s の積は 36 W です。各区間の距離 4 m と 2 m に力を掛け直しても 32 J と 32 J で、合計は64 Jです。
5. 平均速度は (0 + 6)/2 = 3 m/s、距離は 3・3 = 9 m です。仕事は 15・9 = 135 J、平均仕事率は 135/3 = 45 W です。加速度は 6/3 = 2 m/s² で、2・3²/2 = 9 m と距離に戻ります。終点の仕事率は 90 W で、時間に比例する仕事率の平均はその半分の45 Wです。

手元に残すこと

力と速度は同じ時刻の成分で掛けます。 平均仕事率は全仕事を全時間で割ります。 加速上昇では運動エネルギーの変化も数えます。 平均力と平均速度の積は、同時の変化を調べてから使います。

式が止まったら、荷に働く力の矢印、速度の向き、対象とする時間を紙に書いてみてください。力が一定か、速さが一定か、両方変わるかを区間ごとに述べられれば、どの平均が必要か選びやすくなります。個別指導で確認するなら、同じ仕事を距離から出す方法と仕事率の時間平均から出す方法を並べ、符号とエネルギーの行き先まで説明できるか試します。力と速度の対応が、運搬に必要な仕事率を決めます。