高校数学I 命題の真偽と反例—対象の範囲を定め一つの反例で偽を示す｜武蔵野個別指導塾

整数と実数で結論が変わる例や、仮定を満たす反例の探し方を通して、命題の真偽と対象の範囲を照らし合わせます。

よくあるのは、高1の自習で、いくつかの数を代入して成功したことから命題を真と判断する場面です。たとえば整数を試す問題でも、偶数ばかり選んでいると、奇数で崩れる規則に気づけません。どこまでの対象を調べるのかを先に定め、成り立たない対象が許されるかを確認しましょう。反例は単なる「気に入らない数」ではなく、仮定を守りながら結論を破る数です。

何を判定する問題か

命題の問題には、主に3つの出方があります。1つ目は「すべての対象で成り立つ」という主張の真偽です。真とするには対象全体に通用する理由が必要で、偽とするには条件を満たす反例が1つあれば足ります。対象が有限個なら、漏れなく調べる方法も使えます。

2つ目は「ある対象が存在する」という主張です。真とするには条件を満たす具体例を1つ示せます。一方、偽とするには、対象の範囲のどれを選んでも条件を満たせない理由が必要です。見つからなかった例を何個並べても、まだ探していない場所が残っていれば偽とは決められません。

3つ目は「pならばq」という形です。pを仮定、qを結論として、その向きを確認します。偽にするには、pが成り立ち、しかもqが成り立たない対象を探します。qが成り立たないだけでは足りません。pも成り立たなければ、その対象は仮定のもとで結論が失敗する例にはならないからです。

対象を決めて言葉を読む

真か偽かが定まる文を命題といいます。「7は奇数である」は真、「7は偶数である」は偽の命題です。一方、「xは偶数である」は、xが何か定まらないままでは真偽を決められません。xの値によって成り立つかどうかが変わる文を、xに関する条件といいます。対象の範囲を決めて「すべてのxについて」などを付ければ、真偽を判定する文になります。

ここでは自然数を1以上の整数とします。0や負の整数を含めるかどうかで判定が変わる問題もあるので、問題の約束を優先します。実数には整数のほかに分数や無理数も含まれます。「整数ならば」という条件を読んだ後に、実数の分数を反例として差し出すことはできません。

図1のように、全称の主張は対象全体を覆う主張で、存在の主張は条件を満たす対象が少なくとも1つあるという主張です。全称の失敗を示すには、範囲内の1つで十分です。存在の失敗を示すときは、1つの失敗だけでは足りません。

図1の「1例」は、対象範囲と条件を満たす例を意味します。全称の真と存在の偽では、対象が無限にあるとき、有限個の代入を続けるだけでは結論に届きません。式の変形や整数の性質など、全対象に共通する根拠を用います。

「pならばq」が偽となる組は、pが真でqが偽の場合です。pが偽の対象は、この形の命題への反例ではありません。たとえば「4の倍数ならば偶数」という主張に3を代入しても、3は4の倍数ではなく、仮定を満たしていません。主張が要求しているのは4の倍数に対する結論です。

基本例題：整数の条件を確かめる

例題1　整数nについて、「n²が偶数ならばnは偶数である」という命題の真偽を判定し、真なら証明してください。

まず仮定と結論を書き分けます。仮定は「n²が偶数」、結論は「nが偶数」です。整数には偶数と奇数があり、奇数なら整数kを用いてn = 2k + 1と表せます。偶数の代入だけを試す代わりに、結論が成り立たない奇数の場合を調べます。

n = 2k + 1
n² = (2k + 1)²
   = 4k² + 4k + 1
   = 2(2k² + 2k) + 1

kは整数なので、2k² + 2kも整数です。したがって、この式はn²が奇数であることを示します。nが奇数ならn²も奇数であり、n²が偶数という仮定には合いません。整数nは偶数か奇数なので、仮定のもとではnは偶数です。よって命題は真です。

図2のように、奇数からは奇数の平方が得られ、仮定の「平方が偶数」に入れません。ここでは奇数を一般の整数kで表したので、数例の確認ではなく、奇数全体を扱えています。0も偶数であり、n = 0では平方も0です。負の奇数も2k + 1に含まれるため、正の整数に限った証明にもなっていません。

証明の途中で何を除いたか

この議論では、奇数を選ぶと平方が必ず奇数になると示しました。それにより、平方が偶数という仮定のもとで奇数を選ぶ可能性がなくなります。整数は偶数と奇数に分かれるので、残るのは偶数です。ここで「平方が偶数である数をいくつか見たら元も偶数だった」と書くのとは、根拠の届く範囲が違います。

また、元の数が偶数なら平方も偶数、という向きだけを証明しても、問われた向きの証明にはなりません。2つの文は仮定と結論の位置が入れ替わっています。正しい結論を知っていても、答案では仮定から出発して、求める結論までの道筋を示しましょう。

標準例題：範囲を変えると真偽も変わる

例題2　次の命題の真偽をそれぞれ判定してください。偽なら反例を1つ、真なら理由を示します。

ア　整数xについて、x > 2ならばx ≥ 3である。 イ　実数xについて、x > 2ならばx ≥ 3である。

アではxが整数です。2より大きい整数に、2と3の間の値はありません。したがってxは3以上で、命題は真です。3を代入して成り立つことは確認できますが、3だけでは他の整数についての理由になりません。整数が1刻みで並ぶ性質を使って、仮定に合う対象全体を扱っています。

イでは2と3の間の実数を選べます。x = 5/2とすると、5/2 > 2なので仮定を満たします。しかし5/2 < 3なので結論を満たしません。よってイは偽で、5/2が反例です。実数の問題で見つけたこの反例をアに転用すると、整数という範囲を外れてしまいます。

境界も見ておきましょう。x = 2は結論を満たしませんが、仮定のx > 2も満たさないので反例ではありません。x = 3は仮定と結論の両方を満たします。反例を探すときは、境界に置くか、境界の間に置くかを考えたうえで、2つの条件を別々に検査します。

発展例題：存在を否定する理由

例題3　実数xについて、「x² − 6x + 10 = 0を満たすxが存在する」という命題の真偽を判定し、理由を示してください。

実数の平方は0以上です。左辺を平方を含む形に直すと、どの実数を選んでも下限があることが見えます。

x² - 6x + 10 = (x - 3)² + 1
(x - 3)² ≥ 0
(x - 3)² + 1 ≥ 1

したがって左辺はどの実数xに対しても1以上で、0にはなりません。条件を満たす実数は存在せず、命題は偽です。x = 3では左辺が1になりますが、この1回の失敗だけでは存在しないことの証明にはなりません。平方が非負という性質を使い、実数全体で失敗する理由を示しています。

式の変形も戻して確かめます。(x − 3)² + 1を展開するとx² − 6x + 9 + 1で、元の左辺に一致します。もし定義域が変われば、使う性質もその範囲で有効かを調べる必要があります。ここでは実数の平方が非負であることが根拠です。

反例を探す順番

不等式の主張では、まず等号を含むかに注目します。境界そのものは一方の条件を満たさないことがあるため、境界の内側や外側も候補です。符号に制限がなければ、正の数に加えて0や負の数も調べます。整数に限るなら、その途中で分数を候補から外します。

式を含む主張では、仮定を先に満たすよう値を選んでから、結論を計算すると効率的です。候補が失敗したら、どちらの条件で失敗したかを分けます。仮定を満たさなかった候補と、仮定も結論も満たした候補は、どちらも反例ではありませんが、次に選ぶ値を考える手がかりは異なります。

存在の問題では方向が逆になります。条件を満たす値を1つ見つければ仕事は終わりますが、見つからない場合には、対象全体に共通する制約を探します。偶奇や平方の非負性はその例です。有限集合なら、列挙した対象に漏れがないことを先に確認してから、各要素を点検できます。

誤答を直す：失敗例が反例とは限らない

「整数nについて、nが6の倍数ならばnは3の倍数である」を偽とし、n = 4を反例にする答案を考えます。4は3の倍数ではないので、結論は確かに偽です。しかし4は6の倍数でもないため、仮定を満たしません。この数は反例として使えません。

図3のように、まず6の倍数かを調べ、次に3の倍数かを調べます。実際、nが6の倍数なら整数kを用いてn = 6kと表せます。ここでn = 3(2k)で、2kは整数です。よってnは3の倍数であり、命題は真です。0や負の6の倍数も整数kに含まれます。

反例を書くときは、対象範囲、仮定、結論の順に3つの欄を作ると点検しやすくなります。仮定を満たすかが曖昧なまま「明らかに反例」と書かず、代入した値と不等号や割り切れることを示します。逆に、適切な反例を1つ出した後に全対象を調べる必要はありません。

有限の範囲を調べるとき

対象が有限個なら、すべてを列挙して判定する方法もあります。たとえば対象を整数の集合 {1, 2, 3} に限定したとき、各数が条件を満たすかを順番に確認すれば、対象全体を調べたことになります。ここで4を加えると対象の範囲が変わり、結論も変わる可能性があります。列挙の前に範囲を明記し、調べた数がその範囲と一致するかを照合しましょう。

一方、整数全体は無限に続きます。どれほど多くの整数を試しても、試していない整数が残ります。成功例を集める作業は予想を立てる助けになりますが、その予想を真と認めるには、一般の整数を文字で表すなどして全体に届く根拠を示します。反例が見つかった場合は、予想を修正する前に仮定と結論の両方へ代入して確かめます。

練習問題

各問の真偽を判定してください。偽の全称命題には反例を1つ、真の存在命題には具体例を1つ示し、それ以外は理由を示します。数は整数または分数で表してください。

1. 整数aについて、aが5の倍数ならばa²も5の倍数である。
2. 整数bについて、b² > 9ならばb > 3である。
3. 実数tについて、t > 4ならばt ≥ 5である。
4. 整数mで、2m + 1 = 12を満たすものが存在する。
5. 自然数rで、r² + r = 30を満たすものが存在する。

練習の答えと考え方

1. 真です。aが5の倍数なら、整数kを用いてa = 5kと書けます。するとa² = 25k² = 5(5k²)です。5k²は整数なので、a²は5の倍数です。たとえばa = -5でも平方は25で、元の条件と結論に合います。ただし証明の根拠は、この1例ではなく整数kについての式です。

2. 偽です。b = -4は整数で、b² = 16 > 9です。一方、-4 > 3は成り立ちません。仮定を満たして結論を満たさないので、-4は反例です。正の整数ばかりを代入すると、負の側の失敗を見落とします。

3. 偽です。t = 9/2は実数で、9/2 > 4を満たします。しかし9/2 < 5です。よって9/2は仮定に合い、結論に合わない反例です。t = 4は仮定を満たさないので、結論が偽でも反例にはできません。

4. 偽です。mが整数なら2m + 1は奇数ですが、12は偶数です。奇数と偶数は一致しないので、そのような整数は存在しません。別の見方では、等式から2m = 11、m = 11/2となります。この値は整数ではなく、問題の対象に戻すと不適です。実数なら等式を満たす数があることと区別します。

5. 真です。r = 5は自然数で、r² + r = 25 + 5 = 30です。求めた数を元の条件へ代入して等式が成り立つことを確認しました。存在の主張なので、この1例があれば真と判定できます。他の値を探し尽くすことは要求されていません。

要点

全称の真は対象全体の根拠で示し、偽は1つの反例で示します。 存在の真は1つの具体例で示し、偽は対象全体に存在しない理由で示します。 pならばqの反例は、対象範囲に属し、pを満たしてqを満たさないものです。

つまずきの見分け方

正の数だけで試して結論を急ぐ場合は、0、負の数、境界、分数を、その問題の対象に入るか確かめてから候補にします。個別指導では、答案の各代入について「仮定は真か」「結論は偽か」を別々に説明してもらい、どちらの確認が欠けたかを見ます。真とする答案では、その理由が例の数を増やしただけなのか、範囲全体に通用するのかを確かめます。対象の範囲と主張の向きを押さえると、1つの反例が何を否定するかが明確になります。