武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学I 集合の演算—共通部分と和集合と補集合を領域で確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 数と式・集合と命題深掘り

共通部分や和集合を要素と数直線で調べ、全体集合を変えたときの補集合の違いから集合の演算を読み解きます。

よくあるのは、高1の自習で全体集合を決めずに補集合を答える場面です。「Aに入らない数」と言われても、候補が整数なのか実数なのか、どこまでを候補にするのかで答えは変わります。集合の演算では、記号を機械的に置き換える前に、要素を選ぶ範囲と条件を言葉で確かめます。有限集合と数の範囲を行き来しながら、境界や演算の順序まで追っていきましょう。

要点（結論から）

共通部分は両方、和集合は少なくとも一方に属する要素です。
補集合は決められた全体集合の中で元の集合に属さない要素です。
数の範囲では端点を元の条件に代入し、含むかを判定します。

どの条件を満たす要素を選ぶか

集合の問題には、まず要素を並べて共通部分や和集合を求める型があります。2つの一覧を見比べ、両方に載る要素と、少なくとも一方に載る要素を区別します。同じ要素が両方にあるとき、集合の答えには重ねて書きません。

次に、全体集合とその部分集合が与えられ、補集合を求める型があります。補集合は無条件に「外側全部」を指すのではありません。指定された全体集合の中で、元の集合に入らない要素を集めたものです。全体集合の指定がなければ、候補の範囲によって答えが変わり、補集合を一意に決められません。

さらに、不等式で表された集合を演算する型があります。端点が条件を満たすかを確認し、数直線で重なる部分や合わせた部分を読みます。式に括弧があるときは、括弧の中を先に求め、次の演算へ進みます。空集合が途中に現れても、計算を中止するのではなく、その後の演算の定義に戻ります。

4つの領域で記号を読む

全体集合を U、その部分集合を A、B とします。A と B の共通部分 A ∩ B は、A と B の両方に属する要素全体の集合です。A と B の和集合 A ∪ B は、A または B の少なくとも一方に属する要素全体の集合です。数学の「または」には両方に属する場合も含まれます。

A の補集合を Aᶜ と書くことにします。これは U に属し、A には属さない要素全体の集合です。教科書によっては別の記号を使いますが、何に対する補集合かを決めてから読む点は同じです。A が U の部分集合であることも先に確認します。

図1のように、U の中を「Aだけ」「両方」「Bだけ」「どちらにも入らない」の4つに分けます。共通部分は中央、和集合は両方の円を合わせた領域、A の補集合は A の円の外側で U の中です。円の重なりの有無や大きさは例によって変わります。図は所属の種類を整理する道具であり、面積から要素の個数を推定するものではありません。

各要素について、A に入るか、B に入るかをそれぞれ「はい」「いいえ」で調べる方法も使えます。共通部分には「はい、はい」の行が入り、和集合には「いいえ、いいえ」以外の行が入ります。たとえば A が空集合なら A ∩ B も空集合ですが、A ∪ B は B です。U 自体の補集合は空集合、空集合の補集合は U です。どちらも U の中で条件を調べると確かめられます。

数の範囲では、端点が所属するかを別に調べます。x < 3 の補集合は、全体集合が実数全体なら x ≧ 3 です。3 は元の条件を満たさないため補集合に入ります。一方、全体集合が 3 以下の整数なら補集合は {3} です。同じ条件でも、全体集合が異なると候補が変わります。

領域の考え方は、円を描けないほど集合が複雑な場合にも使えます。ある要素 x を選び、x が A に属するかと B に属するかを順に判定します。例えば A ∩ Bᶜ なら「A に属する」かつ「B に属さない」の2条件を満たすかを調べます。B の外側という言葉だけでは、A の外側まで入れてしまうので注意します。

数直線でも同じです。左側と右側のどちらを塗るかだけでなく、境界点を含むかを独立に判定します。2つの集合が端点で接する場合、その点が両方に入れば共通部分はその1点からなる集合です。片方でも含まなければ共通部分は空集合です。共通部分が空集合であることと、和集合が空集合であることは異なります。後者は両方の集合が空の場合に限られます。

基本例題: 要素を一つずつ仕分ける

例題1　U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}、A = {1, 2, 4, 7}、B = {2, 3, 4, 6} とします。A ∩ B、A ∪ B、Aᶜ を、それぞれ要素を並べた集合で求めてください。

A と B はどちらも U の部分集合です。図2のように、まず U の各要素を所属に応じて4つの領域に置きます。1 と 7 は A に入り B に入りません。2 と 4 は両方に入り、3 と 6 は B に入って A に入りません。5 と 8 はどちらにも入りません。

両方にある要素を選ぶので、

A ∩ B = {2, 4}

少なくとも一方にある要素を選ぶので、

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

U の要素から A の要素を除くので、

Aᶜ = {3, 5, 6, 8}

となります。2 と 4 は和集合に1回ずつ書きます。補集合には B にあるかどうかに関係なく、A に入らない 5 と 8 も含めます。元の U の8要素を一つずつ見直すと、A と Aᶜ は重ならず、合わせると U に戻ります。

ここで U を {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} に変え、A は変えないとします。9 は新しい U に入り A には入らないため、Aᶜ は {3, 5, 6, 8, 9} です。A だけを見て補集合を決められない理由が、この1要素の違いに表れます。逆に、U にない数を補集合へ入れることもできません。

標準例題: 不等式の端を含めて重ねる

例題2　全体集合を実数全体とし、A = {x | -2 < x ≦ 4}、B = {x | 1 ≦ x < 6} とします。A ∩ B、A ∪ B、Aᶜ を、不等式を用いた集合表示で求めてください。

まず両方の条件を同時に満たす範囲を探します。左側では 1 ≦ x が、右側では x ≦ 4 が共通部分の境界を決めます。1 は A にも B にも入り、4 も両方に入ります。よって、

A ∩ B = {x | 1 ≦ x ≦ 4}

です。境界が重なりの中に入るかを、元の2条件に代入して確かめました。たとえば 0 は A に入りますが B に入らないため、共通部分には入りません。

和集合ではいずれかの条件を満たせばよく、2つの範囲は 1 から 4 の間で重なります。したがって途中に隙間はありません。左端 -2 はどちらにも入らず、右端 6 もどちらにも入りません。よって、

A ∪ B = {x | -2 < x < 6}

です。この例では重なりがあるため、和集合は途中で途切れません。重なりがなくても、境界で接する2つの範囲がその境界を少なくとも一方に含めれば、1つの区間にまとめられます。2つの範囲が離れていれば、間の数を勝手に含めず、それぞれの範囲を和集合でつなぎます。

補集合は実数全体から A を除きます。-2 は A に入らないので含み、4 は A に入るので除きます。したがって、

Aᶜ = {x | x ≦ -2 または x > 4}

です。両端の外側を「かつ」で結ぶと、同時に x ≦ -2 と x > 4 を満たす数がなくなります。外側のどちらかにあればよいので「または」です。-3、0、5 を元の条件に戻すと、順に補集合に入る、入らない、入ると確かめられます。

発展例題: 括弧と補集合の順番

例題3　U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} とします。A は U の偶数全体、B は U の3の倍数全体、C = {2, 3, 5, 7, 11} です。(A ∪ B) ∩ Cᶜ を要素を並べた集合で求めてください。

全体集合が有限なので、条件を満たす候補を U の中で列挙します。偶数と3の倍数はそれぞれ、

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

B = {3, 6, 9, 12}

です。両方に入る 6 と 12 を重ねずに合わせると、

A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

となります。次に U から C を除くと、

Cᶜ = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

です。最後に2つの集合の共通部分を取るので、

(A ∪ B) ∩ Cᶜ = {4, 6, 8, 9, 10, 12}

です。答えの各要素は偶数または3の倍数で、C には入りません。除いた 2 と 3 は A ∪ B に入りますが C にも入るので、求める集合には入りません。1 は C の外ですが A と B のどちらにも入らないため、これも除きます。

先に「偶数または3の倍数」という条件を満たすか、次に「C に入らない」かを調べても同じ結果になります。ただし、括弧の中が A ∪ B であることを見落として、A ∩ B を先に作ると 4、8、9、10 を失います。式の記号を見た順に無条件で処理するのではなく、括弧と補集合の対象を確認します。

もし C = U なら Cᶜ は空集合です。その場合は (A ∪ B) ∩ Cᶜ も空集合になります。逆に C が空集合なら Cᶜ = U なので、答えは A ∪ B です。極端な場合に定義へ戻ると、補集合を取る範囲がずれていないかを点検できます。

誤答を領域から直す

例題1と同じ U、A、B について、Aᶜ を {3, 6} とする誤答を考えます。この2要素は B に入って A に入らないものですが、A の補集合には B の中にあるという条件はありません。図3のように、A の外側で U の内側にある 5 と 8 も拾う必要があります。

誤答の集合は B ∩ Aᶜ に当たります。求められたのが Aᶜ なのか、それとも B ∩ Aᶜ なのか、記号を読み直してください。A の外側をすべて調べると、正しくは {3, 5, 6, 8} です。図3では B の外側にも Aᶜ に含まれる要素があります。

別の誤りとして、実数全体で A = {x | x < 2} の補集合を {x | x > 2} とすると、2 がどちらにも入らなくなります。2 は x < 2 を満たさないので、補集合に入るはずです。正しくは {x | x ≧ 2} です。境界の数を元の条件に代入し、入らなければ補集合に入れるという確認を徹底します。

また、A ∪ B を「片方にしか入らない要素」と読むと、共通部分を落とします。和集合の「または」は両方に入る場合も含むためです。1つの要素について両方の所属を記録し、条件に合う行を選ぶと、図を使わずにも誤りを見つけられます。

練習問題

各問で指定された全体集合を使い、集合の答えは要素を並べるか、不等式を用いた集合表示で書いてください。

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}、P = {1, 3, 5}、Q = {3, 4, 7} のとき、P ∩ Q と P ∪ Q を要素を並べて求めてください。
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}、P = {0, 2, 4, 6} のとき、Pᶜ を要素を並べて求めてください。
全体集合を実数全体とし、P = {x | -5 ≦ x < 1}、Q = {x | -1 < x ≦ 3} とします。P ∩ Q と P ∪ Q を不等式を用いた集合表示で求めてください。
全体集合を実数全体とし、P = {x | x ≧ -3} とします。Pᶜ を不等式を用いた集合表示で求めてください。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}、P = {1, 2, 3, 4}、Q = {2, 4, 6, 8} とします。Pᶜ ∩ Q を要素を並べて求めてください。

練習問題の解答と考え方

共通部分は P と Q の両方にある 3 を選び、P ∩ Q = {3} です。いずれかにある要素を重複なく集めると、P ∪ Q = {1, 3, 4, 5, 7} です。2 と 6 はどちらにも属さず、和集合に入らないことも確認できます。
U の7要素から P の 0、2、4、6 を除き、Pᶜ = {1, 3, 5} です。P と答えを合わせると U に戻り、両者に共通する要素はありません。0 は U に含まれますが P にも含まれるので、補集合には入りません。
共通部分の左端は -1、右端は 1 です。-1 は Q に入らず、1 は P に入らないので、P ∩ Q = {x | -1 < x < 1} です。2つの範囲は重なり、和集合の左端 -5 と右端 3 はそれぞれ含まれます。したがって P ∪ Q = {x | -5 ≦ x ≦ 3} です。端点を元の条件に戻すと開閉を確かめられます。
-3 は P に入るので補集合から除きます。-3 より小さい実数は P に入らず、答えは Pᶜ = {x | x < -3} です。-4 は答えに入り、-3 と 0 は入らないことを元の不等式でも確かめられます。
まず Pᶜ = {5, 6, 7, 8, 9} です。このうち Q にも入るのは 6 と 8 なので、Pᶜ ∩ Q = {6, 8} です。2 と 4 は Q に入りますが P にも入るため、補集合には入りません。5、7、9 は P の外でも Q に入らず、共通部分から除きます。