高校数学I 一次不等式の整数解—端点と個数から文字の範囲を逆算する｜武蔵野個別指導塾

開いた端点と閉じた端点を区別し、連立不等式の整数解の個数から文字の範囲を逆算する手順を確かめます。

よくあるのは、高1の自習で、動く端点がちょうど整数になった瞬間の個数を落とすという場面です。端点が2と3の間にあるときと、3に重なったときとでは、3を数えるかどうかが不等号によって変わります。数直線を眺めるだけでなく、必要な整数が入る条件と、その隣の整数が入らない条件を式にすると、境目まで説明できます。

整数を数える問題の3つの姿

1つ目は、連立一次不等式を解いた範囲から整数を列挙し、個数を求める問題です。まず実数の範囲を共通部分として求め、その後で整数に絞ります。途中で整数に丸めると、不等号の向きや端点の扱いが見えにくくなります。

2つ目は、一方の端点に文字があり、整数解の個数が指定される問題です。個数を満たす最後の整数を入れ、その次の整数を除く条件から、文字の範囲を逆算します。等号を付ける位置は、元の不等号に従って決めます。

3つ目は、両端が同時に動く問題です。区間の長さが同じでも、整数の上に端点が来るかどうかで個数が変わります。連続する整数を候補として固定し、両端の条件を合わせれば、境界を含めた場合分けができます。

範囲と整数の点を分けて考える

不等式の整数解とは、その不等式を成り立たせる整数です。連立なら、各不等式を同時に成り立たせる整数を指します。たとえば実数の範囲が -2 < x ≤ 3 なら、整数解は -1、0、1、2、3 です。-2 は端点ですが、等号がないので入りません。3 は等号があるので入ります。

図1のように、端点の丸の形は実数の範囲に端点を含むかどうかを表します。整数の点を数えるのは、その範囲を確定した後です。連続した線上のどの実数も解になり得ますが、整数解として数えるのは整数の位置だけです。

図1では左の白い丸が -2 を除き、右の塗った丸が 3 を含むことを示します。中の整数を左から数えると5個です。端点を両方とも含む連続した整数なら、最大の整数から最小の整数を引いて1を足すと個数が出ます。ここでは 3 − (-1) + 1 = 5 です。引き算だけでは点と点の間の間隔の数になるため、1を足します。

逆向きでは、例えば最小の整数解が固定されているとき、個数から最大の整数解を決めます。その整数が入る条件と、その次の整数が入らない条件を両方書きます。次の整数を除く条件がなければ、指定より多い個数も含んでしまいます。逆に必要な整数を入れる条件がなければ、個数が足りない場合を混ぜます。

範囲が空なら整数解は0個です。実数の解があっても、例えば 1 < x < 2 には整数解がありません。左右の端点の大小だけで整数の有無を判断せず、整数の位置まで確かめます。以下では整数解を集合で表すとき、波括弧の中に要素を並べます。

基本例題：共通範囲から数える

問題　連立不等式 2x + 1 > -5、3x − 2 ≤ 10 を満たす整数 x を集合で表し、個数を求めてください。

まずそれぞれを解きます。正の数で割るため、不等号の向きは変わりません。

2x + 1 > -5
2x > -6
x > -3

3x - 2 ≤ 10
3x ≤ 12
x ≤ 4

同時に満たす範囲は -3 < x ≤ 4 です。図2のように -3 は含まず、4 は含みます。整数解は {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} で、7個です。

図2の右端の4を元の式へ戻すと、2・4 + 1 = 9 > -5、3・4 − 2 = 10 ≤ 10 です。左端の -2 も両式を満たします。除いた -3 は最初の式が等号になり、5 は2つ目の式を満たしません。共通範囲内の整数は連続しているので、両端とその外側を確かめれば、列挙の漏れを見つけやすくなります。

個数は 4 − (-2) + 1 = 7 とも計算できます。-3 を最小の整数解として計算すると1個多くなります。反対に、右端の4を除くと1個少なくなります。実数の端点と、実際に入る最初と最後の整数を区別してください。

数え間違いを防ぐもう一つの見方

整数の個数を差で出す前に、最小と最大の整数が実際に存在するかを点検します。上下の範囲が有限でも、その間に整数がないことはあります。例えば -1 < x < 0 のとき、左端から右端までの長さは1ですが、両端を除くので整数解はありません。無理に最小や最大を決めて差を計算せず、まず点があるかを調べます。

一方、x ≥ 2 のように上に制限がなければ、整数解は2、3、4と続き、有限個にはなりません。整数解がちょうど何個かを問う問題では、どちらの側に制限があるかを先に確認すると、最後の整数を決められるか判断できます。連立の片方だけを使って数えると、もう片方の制限を見落とします。

整数を並べて数える方法と差を使う方法には、それぞれ役割があります。負の整数を含むときは、引く数を括弧に入れます。最小値が負なら、その数を引く操作は正の数を足す操作になります。0も整数なので、負から正まで数えるときは0を飛ばさないようにします。少数なら列挙すると端点の確認がしやすく、多数なら差を使うと数え落としを防げます。どちらの場合も、元の不等式に最初と最後を代入し、その隣が入らない理由を述べれば、答えの範囲を検証できます。

標準例題：最後の整数から文字を決める

問題　連立不等式 x > -2、x ≤ a の整数解がちょうど5個となるような実数 a の範囲を求めてください。

x > -2 を満たす最小の整数は -1 です。そこから5個を順に並べると、-1、0、1、2、3 です。ちょうど5個にするには、5個目の3が入り、次の4が入らないことが必要です。

3を x ≤ a に代入すると、3 ≤ a です。一方、4が入らない条件は 4 ≤ a が成り立たないことなので、a < 4 です。したがって答えは 3 ≤ a < 4 です。

この条件は十分でもあります。3 ≤ a なら -1 から3までの5個はすべて x ≤ a を満たし、a < 4 なら4以上の整数は入りません。-2以下はもともと x > -2 を満たさないので、ほかの整数解もありません。必要な条件を求めた後、その範囲のどの a でも個数が5になることまで確認します。

境界では a = 3 のとき3が等号で入り、5個です。a = 4 のときは4も入り6個になるので、4は除きます。a が3より少し小さければ3が入らず、個数は4以下です。端点の直前、端点そのもの、直後を区別すると、等号の付け間違いに気づけます。

ここで a を整数と決めつける方法は使えません。問題では a は実数なので、例えば a = 3.5 も答えに含まれます。数える対象が整数 x であることと、動く端点 a が整数であることは別の条件です。

発展例題：両端が動くとき

問題　実数 a が 0 ≤ a < 1 を動くとき、a < x < a + 3 を満たす整数 x がちょうど2個となる a の範囲を求めてください。

0 ≤ a < 1 なので、左端より大きい最小の整数は常に1です。左端が0のときも、不等号が厳しいため0は入りません。次に右端について、a に3を加えると次の範囲です。

0 ≤ a < 1
3 ≤ a + 3 < 4

右端が3なら3は入りません。右端が3より大きければ3は入りますが、右端は4未満なので4は入りません。したがって、a = 0 では整数解が {1, 2} で2個、0 < a < 1 では {1, 2, 3} で3個です。求める範囲は a = 0 です。

代入して確認すると、a = 0 の元の条件は 0 < x < 3 で、確かに1と2の2個です。例えば a = 1/2 なら 1/2 < x < 7/2 なので1、2、3が入り、条件を満たしません。a = 1 は最初から指定範囲にないため、境界の候補として答えに加えません。

区間の長さは常に3ですが、それだけでは個数は決まりません。両端が整数のときは両端が除かれ、その間の2個だけが残ります。端点が整数からずれると、一方の端の近くにもう1個が入ります。長さの計算は見通しには役立ちますが、開いた端点の位置を調べる代わりにはなりません。

誤答を直す：等号はどこへ付くか

次の条件を考えます。x は整数で、1 ≤ x < b の解がちょうど3個となる実数 b の範囲を求めます。3個にするには1、2、3を入れて4を入れません。

「3 < b < 4」とする誤答では、b = 4 を落としています。元の式は x < b なので、b = 4 のとき x = 4 は等号となり、条件を満たしません。したがって4を除くには b ≤ 4 で十分です。3を入れるには 3 < b が必要なので、正しくは 3 < b ≤ 4 です。

図3のように、3を入れる判定と4を除く判定を別々に書くと、等号の行き先が見えます。b = 3 では3も除かれ、解は1、2の2個です。b = 4 では1、2、3の3個です。b が4より大きいと4も入ります。元の不等号が x ≤ b に変われば、4が入らない条件は b < 4 に変わります。

なお、解がない場合を「計算に失敗した」と扱わないでください。例えば 5 ≤ x < 5 は実数の解もなく、整数解は0個です。また 5 < x < 6 は実数の解はありますが、整数はありません。2種類の0個を区別すると、連立の共通範囲を求める段階と整数を数える段階のどちらで止まったかがわかります。

練習問題

各問題で、指定された形で答えてください。文字は実数、x は整数とします。

1. 2x − 3 ≥ -9、x + 2 < 6 を同時に満たす x を集合で表し、個数を求めてください。
2. 7 < x < 8 の整数解を集合で表し、個数を求めてください。
3. x ≥ 2、x < c の整数解がちょうど4個となる c の範囲を求めてください。
4. x > -4、x ≤ d の整数解がちょうど0個となる d の範囲を求めてください。
5. 1 ≤ t < 2 のとき、t ≤ x ≤ t + 2 の整数解がちょうど3個となる t の範囲を求めてください。

練習の解答と考え方

1. 答えは {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}、7個です。最初の不等式は 2x ≥ -6、すなわち x ≥ -3 です。もう一方は x < 4 なので、共通範囲は -3 ≤ x < 4 です。-3 と3を元の両式へ戻すとどちらも満たし、-4 は最初の式、4 は2つ目の式を満たしません。連続する整数の個数は 3 − (-3) + 1 = 7 です。

2. 答えは空集合、0個です。7と8の間に整数はありません。7と8も厳しい不等号のため入らず、7以下と8以上もそれぞれ元の条件を満たしません。実数の解は存在しますが、指定は整数解です。

3. 答えは 5 < c ≤ 6 です。最小の整数解は2なので、4個なら2、3、4、5が必要です。5 < c で5を入れ、6 < c が成り立たない c ≤ 6 で6を除きます。c = 6 では x < 6 なので6は入りません。c = 5 では5が入らず3個、c > 6 では6も入るので少なくとも5個です。得られた範囲では元の条件に戻して4個になることも確かめられます。

4. 答えは d < -3 です。x > -4 を満たす最小の整数は -3 です。これが x ≤ d を満たさなければ、それより大きい整数も満たしません。よって -3 ≤ d の否定である d < -3 が必要十分です。d = -3 では -3 が入り1個です。d < -4 なら実数の共通範囲も空ですが、-4 ≤ d < -3 には実数の解がある場合もあり、どちらも整数解は0個です。

5. 答えは t = 1 です。t = 1 なら 1 ≤ x ≤ 3 で、整数解は1、2、3の3個です。1 < t < 2 なら 3 < t + 2 < 4 なので、左端以上の最小整数は2、右端以下の最大整数は3です。元の条件を満たすのは2、3の2個となります。t = 2 は指定範囲外です。端点が整数に重なる t = 1 を含むことが、閉じた不等号の効果です。

覚えておくこと

• 連立不等式の共通範囲を求め、その中の整数を数えます。
• 開いた端点は除き、閉じた端点は含みます。
• 個数から逆算するときは、最後の整数を入れ、次の整数を除きます。
• 実数の解があっても整数解が0個の場合があります。
• 動く端点が整数に重なる場合を別に調べます。

どこで止まったかを見分ける

範囲は正しいのに個数が違うなら、最初と最後の整数を書き出して端点の等号を確認します。逆算で範囲が広すぎるなら、次の整数を除く条件が抜けていないかを見ます。範囲が狭すぎるなら、端点が一致したときの代入を試します。

個別指導では、数直線の丸と元の不等号を対応させた後、生徒自身に境界値を代入してもらうと、範囲の計算と整数の選択のどちらで迷ったかを確かめられます。整数解の個数は、端点の内外を確かめて初めて定まります。