高校数学I 根号の四則計算—平方因子と同類の根号を見分けて式を整理する｜武蔵野個別指導塾

平方因子を取り出して同じ根号の項をそろえ、積と和の規則を区別しながら分母と文字の符号も調べます。

よくあるのは、高1の自習で √2 + √8 を見て、足し算を根号の中に入れたくなる場面です。積の計算で見た規則が頭に残っていると、和にも同じ操作を使いたくなります。しかし、積と和には別の扱いが必要です。平方因子を取り出し、同じ根号が何個あるか数えると、式の形が変わっても落ち着いて整理できます。

積と和のどちらが主役か

根号の四則計算には、まず積や商をまとめてから平方因子を取り出す型があります。たとえば √3・√12 のような積では、根号の中どうしを掛けてから整理できます。商も同様ですが、割る数が0でないことが別に必要です。

次に、和や差をそれぞれ整理し、同じ根号の項をまとめる型があります。√2 + √8 なら、√8 を 2√2 に直してから係数を足します。最初に根号の中の数を足すのではありません。同じ根号かどうかは、平方因子を取り出した後で判定します。

さらに、かっこを含む式では分配法則を使って各項の積を作ります。根号が混ざっていても、普通の式の計算と同じように各項に掛けます。この記事の範囲では分母を有理化せず、必要な割り算は根号内の商を使って整理します。

平方因子を取り出して仲間を見つける

a が0以上のとき、√a は2乗すると a になる0以上の数です。0以上の a、b について、√a・√b = √(ab) が成り立ちます。左辺も0以上で、2乗すると ab になるからです。b が正のときは √a / √b = √(a/b) も成り立ちます。分母 √b が正であり、商も0以上で、その2乗が a/b になるからです。

この条件を式に文字が入っているときも省かないことが重要です。たとえば √x / √y を √(x/y) に直す前には、実数の範囲で x が0以上、y が正であることを確かめます。y = 0 では、根号は書けても分母が0になり、割り算は定義されません。x が負なら、そもそも実数の範囲では √x を使えません。

図1のように、根号の中に平方数の因子を見つけると、根号の外に出せます。√18 = √(9・2) = 3√2 です。9 は3の2乗なので √9 = 3 です。数字を外に出すとは、根号を消すことではなく、積の規則に従って平方数の部分を別の因子にすることです。

図1では √8 も 2√2 に直せます。したがって √18 と √8 は、ともに √2 を含む項です。3√2 + 2√2 は、3個の √2 と2個の √2 を合わせて 5√2 です。一方、√2 と √3 は異なる数なので、係数だけを足して √5 にする操作はできません。

文字を平方してから根号を取るときは、√(a²) = |a| です。√(a²) は0以上という定義に合わせる必要があるからです。a が0以上なら |a| = a、a が負なら |a| = -a です。例えば a = -4 なら √(a²) = √16 = 4 で、a の値 -4 とは一致しません。数の平方因子を取り出す計算でも、根号の値の符号を意識する習慣が役立ちます。

商を使えるか、最初に判断する

根号の商では、割る数が0でないことを毎回確認します。たとえば √48 / √3 では、根号の中の48は0以上、3は正です。そのため √(48/3) = √16 = 4 と計算できます。実際に答えを分母 √3 に掛け戻すと 4√3 = √(16・3) = √48 となり、割られる数に戻ります。

これに対し、√0 / √0 は0と0の商です。根号の中がどちらも0以上であっても、分母が0なので計算できません。√(0/0) と書き換えても、根号の中の割り算が定義されないため問題は解消しません。根号が書ける条件と、商が書ける条件を別々に見る必要があります。

分子が0で分母が正なら、商は0です。たとえば √0 / √3 = 0 です。分子と分母のどちらが0なのかを区別すると、同じ0を含む式でも判断を誤りにくくなります。分数を扱う前に、分母に線を引いて0でないか調べる方法もあります。

同類かどうかは整理した後に決める

√24 と √54 は見た目の中身が違いますが、√24 = 2√6、√54 = 3√6 なので、整理すると同じ √6 の項です。たとえば差は 3√6 − 2√6 = √6 です。元の形に戻せば √54 − √24 となり、引く順序も保たれています。

一方、√6 と √15 は、それぞれ平方因子を取り出しても別の根号です。共通の数3を中に含むからといって、2項を足し合わせることはできません。見た目に共通の数字があるかではなく、平方因子を取り出した後に根号の中が一致するかを基準にします。

基本例題：形をそろえてから足す

次の式を、根号の中に1より大きい平方数の因子が残らない形で表してください。

√12 + √27 − √3

それぞれの根号内を平方数と残りの積に分けます。12 = 4・3、27 = 9・3 なので、積の規則を使えます。

√12 + √27 - √3
= √(4・3) + √(9・3) - √3
= 2√3 + 3√3 - √3
= (2 + 3 - 1)√3
= 4√3

図2のように、整理後は √3 が2個、3個、引く1個です。係数のない -√3 は、係数が -1 の項です。最後の根号内の3に平方数の因子は残っていません。

答えを元の式に戻すと、4√3 = 2√3 + 3√3 − √3 = √12 + √27 − √3 です。逆向きにも各変形が成立するので、元の値が保たれています。もし先に 12 + 27 − 3 = 36 として √36 = 6 としたなら、元の和差を根号内に移したことになります。その規則は積と違って成り立たず、元の式との等しさを示せません。

標準例題：分配した後に積を整理する

次の式を、根号の中に1より大きい平方数の因子が残らない形で表してください。

(√5 + √2)(√10 − √5)

かっこの前半の各項を、後半の各項にそれぞれ掛けます。根号の中の数はすべて正なので、積の規則を使えます。

(√5 + √2)(√10 - √5)
= √5・√10 - √5・√5 + √2・√10 - √2・√5
= √50 - 5 + √20 - √10
= 5√2 - 5 + 2√5 - √10

√50 は √(25・2) なので 5√2、√20 は √(4・5) なので 2√5 です。√2、√5、√10 と整数の項は、それぞれ異なる形です。ここから係数だけを足して1つにまとめることはできません。

分配で得た4項は、√5 と √10、√5 と -√5、√2 と √10、√2 と -√5 の組です。とくに引き算を含む2項は負になります。元のかっこへ逆にまとめると、求めた式は √5(√10 − √5) + √2(√10 − √5) に戻ります。展開の途中で項を落としていないか、組を数えることでも確かめられます。

先に √5 + √2 を1つの根号に変える方法は使えません。和に積の規則を当てはめると、各項の積を表せなくなります。かっこがあるときは、どの符号を持つ項どうしを掛けたかを1組ずつ記録すると安全です。

発展例題：商の条件と平方の符号

a を実数とし、a ≠ 0 とします。次の式を a の符号で場合分けし、根号を含まない形で表してください。

√(18a²) / √2 − √(2a²) / √2

分母 √2 は正です。また 18a² と 2a² は0以上なので、実数の範囲で式が定義されます。a ≠ 0 は後で正負の2つに分けるための条件です。

√(18a²) / √2 - √(2a²) / √2
= √(9a²) - √(a²)
= 3|a| - |a|
= 2|a|

最初の行はそれぞれ根号の商を使い、18a² / 2 = 9a²、2a² / 2 = a² としました。√(9a²) = √9・√(a²) = 3|a| です。平方してから正の平方根を取るため、ここを 3a と断定することはできません。

a > 0 なら |a| = a なので答えは 2a、a < 0 なら |a| = -a なので答えは -2a です。たとえば a = -2 を元の式に戻すと √72 / √2 − √8 / √2 = √36 − √4 = 6 − 2 = 4 です。場合分けした答えも -2・(-2) = 4 となります。a = 2 でも元の式と答えは4です。2つの代入は符号の点検であり、一般に成り立つ理由は上の等式と絶対値の定義にあります。

条件が a ≠ 0 でなければ、a = 0 も元の式に代入できます。そのとき値は0で、2|a| と一致します。文字の値を勝手に正と決めるのではなく、元の条件がどの範囲を許すかを見ると、境界の扱いも明確になります。

誤答を見直す：積の規則を和に使わない

√2 + √8 = √10 とする誤答を考えます。図3のように、左辺は √8 = 2√2 と直せるので 3√2 です。2つの式はともに正ですから、等しいなら2乗した値も等しいはずです。しかし (3√2)² = 18、(√10)² = 10 なので一致しません。

なぜ積の規則を移せないのでしょうか。和を2乗すると、各項の2乗のほかに2項の積が2個分現れます。√2 + √8 の2乗は 2 + 2√2・√8 + 8 = 18 です。根号の中だけを足すと、その真ん中の項が抜けます。符号が負の差でも同じように積の項が現れるので、単に中身を引くことはできません。

直す順序は、まず各項の平方因子を取り出すことです。√8 = 2√2 と直してから、√2 + 2√2 = 3√2 とします。根号が異なるまま残るときは無理に1つへまとめず、その形を答えとして扱います。計算の最後に、根号を含む和を1つの根号にした箇所がないか見返してください。

もう1つの誤りは √(a²) を常に a とすることです。a = -4 を試すと、左辺は4で右辺は -4 です。根号の定義に戻して |a| と直し、必要なら符号で分けます。負の値を許す条件では、正の値だけの確認では誤りを見つけられません。

練習問題

次の1から5を解いてください。1から4は根号の中に1より大きい平方数の因子を残さず、同類の項をまとめた形で答えます。5は条件ごとに根号を含まない形で答えます。

1. √45 + √80 − √5 を計算してください。
2. √6・√24 + √75 / √3 を計算してください。
3. (√7 − √3)(√7 + 2√3) を展開して整理してください。
4. √(98/9) − √(8/9) を計算してください。
5. 実数 t について √(32t²) / √2 を、t が0以上の場合と負の場合に分けて表してください。

練習問題の答えと道筋

1. 平方因子を先に探す

√45 + √80 - √5
= √(9・5) + √(16・5) - √5
= 3√5 + 4√5 - √5
= 6√5

45 と80の中にある平方因子はそれぞれ9と16です。答えから 6√5 = 3√5 + 4√5 − √5 と戻せば、元の3項を再現できます。-√5 の係数も -1 として数えます。

2. 積と商をそれぞれ処理する

√6・√24 + √75 / √3
= √144 + √25
= 12 + 5
= 17

6、24、75 は0以上で、分母 √3 は正です。元の式の2つの部分はそれぞれ12と5に戻るため、その和は17です。足し算を含む式全体を1つの根号へ入れず、積と商の範囲を見てから計算します。

3. 負の項にも分配する

(√7 - √3)(√7 + 2√3)
= 7 + 2√21 - √21 - 6
= 1 + √21

4つの積のうち、最後は -√3・2√3 = -6 です。答えを 7 + 2√21 − √21 − 6 と戻し、4項に分けて元の各組と照合できます。√21 には1より大きい平方数の因子がありません。

4. 分数も平方因子に分ける

√(98/9) - √(8/9)
= √98 / 3 - √8 / 3
= 7√2 / 3 - 2√2 / 3
= 5√2 / 3

9 は正なので商の規則を使え、√9 = 3 です。答えを (7√2 − 2√2) / 3 と戻すと、2つの元の根号に一致します。分母の3も各項について残すことに注意します。

5. 0を含む場合を分ける

√(32t²) / √2
= √(16t²)
= 4|t|

分母 √2 は正で、32t² も0以上です。t が0以上なら答えは 4t、t が負なら -4t です。t = 0 を代入すると元の式も答えも0です。例えば t = -3 なら元の式は √288 / √2 = √144 = 12、答えも -4・(-3) = 12 です。

手元に残す要点

• 積と商の規則は根号内の符号を確かめ、商では分母が0でないことも確かめます。
• 和と差は各項から平方因子を取り出し、同じ根号の係数をまとめます。
• かっこの積は符号に注意して各項を分配します。
• √(a²) は |a| であり、文字の符号に応じて表します。

どこで止まったかを見分ける

根号内を足した答案なら、積と和の規則が混ざっていないかを見ます。正しい形まで直せた答案でも、係数の -1 や分配した負号を落としていれば、項の組を書き出す練習が役立ちます。文字を含む問題で負の値だけ合わない場合は、平方根が0以上という定義へ戻ります。

個別指導では、途中式を隠さず、どの行で平方因子を見つけたか、どの条件で商を使ったかを説明してもらいます。別の数を代入して値が一致するかも確かめ、誤りの原因に応じて次の1問を選びます。根号を整理する順序が見えれば、複雑な式も項ごとに扱えます。