高校数学I 展開の置き換え—共通する式を一文字にして計算の見通しを立てる｜武蔵野個別指導塾

長い括弧に新しい文字を対応させ、短い式で展開してから元の文字へ戻す手順を追います。

高1の自習でよくあるのは、長い括弧を何度も展開するうちに項を落とすという場面です。同じまとまりが繰り返される式なら、そのまとまりをいったん一文字で表すと、積の構造が見えます。ただし、文字を置いた時点で計算が終わるわけではありません。元の文字に戻し、残った括弧まで展開して初めて、指定された形の答えになります。

どのまとまりに目を向けるか

出方の1つは、同じ一次式に異なる数を加えた2つの括弧の積です。共通部分を A とすると、(A + p)(A + q) の形になり、A² + (p + q)A + pq と計算できます。これは分配法則から得られる式で、p と q の符号も含めて和と積を作ります。

もう1つは、共通部分を含む2つの括弧で、その前の係数が異なる形です。(2A + p)(A + q) なら、2A² と定数の積だけでなく、交差する2つの積の和も必要です。置き換えた後も、各項をそれぞれ掛けます。

さらに、括弧の中の並びが異なったり、符号が逆だったりする問題があります。見かけだけで同じ文字を置かず、加法の交換や負号を使って、本当に同じ式に直せるか確かめます。ここでは二次までの共通部分を用いた展開を扱い、積に戻す因数分解は扱いません。

置き換えは式の名前を付ける操作

整式の展開は、積の形を分配法則で和の形に直すことです。例えば A と B が整式なら、(A + B)² = A² + 2AB + B² です。これは (A + B)(A + B) の4つの積を足し、AB と BA をまとめた結果です。A が1文字でも複数の項からなる式でも、同じ分配法則が使えます。

置換とは、式の一部分に新しい文字を対応させることです。たとえば A = x + 2 と定めれば、A は x + 2 全体を表します。A² は x² + 2 ではなく、(x + 2)² です。置換の定義を書き、戻すときは文字を括弧ごと入れ替えると、二乗や係数がどこに掛かるか見失いません。

図1のように、元の式から共通部分を選び、短い式で計算してから元に戻します。途中の A は計算のための名前なので、答えを x の整式で求められた場合、A を残してはいけません。

図1の矢印は、元の式と置換後の式が同じ値を表すことを示します。置換は値を変える操作ではなく、同じ式の書き方を変える操作です。戻した後は分配法則で括弧を外し、同類項をまとめます。

置き方は自由ですが、同じ文字を別の式に重ねて使わないことが必要です。共通部分の一部だけを選ぶと、かえって式が長くなる場合もあります。たとえば x + 2y が両方に現れるなら全体を選び、x だけを選んで残りを何度も運ぶ手間を避けます。一方、x + 2y と x − 2y は一般には等しくないので、同じ A とは置けません。y = 0 では一致しても、文字が任意のときに同じ式とは限らないからです。

置く前と戻した後の点検

置換の候補が複数あるときは、置いた後に残る式の形を比べます。共通部分が2回以上現れても、一方がその2倍や符号を反転した形なら、係数や負号を添えて同じ文字で表せます。大切なのは、置換後の各括弧を元に戻したとき、最初の括弧と項ごとに一致することです。見た目が似ているだけで置くと、この段階で差が現れます。

たとえば B = 3x − y としたとき、6x − 2y + 1 は 2B + 1 です。2B を戻せば 2(3x − y) = 6x − 2y と確かめられます。他方、6x − y + 1 は一般に 2B + 1 ではありません。2B なら y の係数も2倍になるためです。x = 0、y = 1 を入れると、元の括弧は0ですが、誤った置換の結果は -1 となり、一致しません。

置換後の式の次数も見通しの助けになります。一次式を含む2つの括弧の積なら、置換した文字について最高2次です。共通部分自体が一次式なら、元に戻した後も x と y を合わせた次数は2を超えません。これは答えの点検になりますが、次数が合うだけでは係数の正しさまでは保証できません。交差項と定数項は別に追います。

二乗を戻すときは、先に括弧を消そうとせず、同じ括弧の積として書く方法もあります。その2つの括弧の各項を組にし、積を並べてから同類項を合わせます。置換で外側の計算を整理し、戻した後に内側の計算を整理するという順番を守ると、どの段階の計算か区別できます。

置換文字を選ぶ際には、元の文字と紛らわしくない記号を使います。最後に問題文の指定した文字だけが残っているかを見ることも、戻し忘れの発見につながります。

基本例題：共通部分に数を足した積

次を展開し、x と y の整式で答えてください。

(x + 2y + 3)(x + 2y − 1)

共通部分を A = x + 2y と置きます。図2のように、2つの括弧はそれぞれ A + 3 と A − 1 になります。

分配法則で4つの積を作り、A の項をまとめます。

(A + 3)(A - 1)
= A² - A + 3A - 3
= A² + 2A - 3

最初の行から次の行では、それぞれの項を掛けています。次に -A + 3A = 2A とまとめました。A に元の式を括弧付きで戻し、二乗も展開します。

A² + 2A - 3
= (x + 2y)² + 2(x + 2y) - 3
= x² + 4xy + 4y² + 2x + 4y - 3

二乗の交差項は x・2y が2つあるので 4xy です。また、2 は括弧の x と 2y の両方に掛かります。図2の A² + 2A − 3 は途中の形であり、答えの最後の行ではありません。

確かめとして x = 1、y = 1 を元の式に入れると、6・2 = 12 です。答えに戻しても 1 + 4 + 4 + 2 + 4 − 3 = 12 です。1組の代入は証明にはなりませんが、項の落ちや符号の誤りを見つける手掛かりになります。恒等的な正しさは、上の各行が分配法則によってつながることで保証されます。

標準例題：係数の異なる括弧

次を展開し、x と y の整式で答えてください。

(2x − 2y + 5)(x − y − 2)

2x − 2y は x − y の2倍です。A = x − y と置けば、最初の括弧は 2A + 5、次は A − 2 です。最初を A + 5 と置くと共通部分の2倍を失います。

(2A + 5)(A - 2)
= 2A² - 4A + 5A - 10
= 2A² + A - 10

交差する積は -4A と 5A です。和が A となることを確かめてから、元の文字へ戻します。

2A² + A - 10
= 2(x - y)² + (x - y) - 10
= 2(x² - 2xy + y²) + x - y - 10
= 2x² - 4xy + 2y² + x - y - 10

(x − y)² の交差項は負です。さらに外側の2は二乗の展開で生じた3項すべてに掛かるため、-2xy は -4xy になります。x = 3、y = 1 なら元の積は 9・0 = 0 で、答えも 18 − 12 + 2 + 3 − 1 − 10 = 0 です。

両方の長い括弧を直接掛けても正解に到達できます。しかし各項の対応を記録せずに暗算すると、-2 と -2y の積のような符号を落としやすくなります。置換を使った後でも、4つの積を明示することが省略の防止になります。

発展例題：符号をそろえて共通部分を作る

次を展開し、x と y の整式で答えてください。

(2x + y − 4)(3 − 2x − y)

後の括弧は、前の括弧と同じ並びに見えません。A = 2x + y と置くと、-2x − y = -(2x + y) なので、後の括弧は 3 − A です。3 + A とすることは符号が違うためできません。

(2x + y - 4)(3 - 2x - y)
= (A - 4)(3 - A)
= 3A - A² - 12 + 4A
= -A² + 7A - 12

-A と -4 の積は正の 4A です。次に A を括弧付きで戻します。

-A² + 7A - 12
= -(2x + y)² + 7(2x + y) - 12
= -(4x² + 4xy + y²) + 14x + 7y - 12
= -4x² - 4xy - y² + 14x + 7y - 12

二乗の前の負号は、二乗を展開した後の3項すべてに掛かります。x = 1、y = 2 のとき、元の式は 0・(-1) = 0 です。答えも -4 − 8 − 4 + 14 + 14 − 12 = 0 となります。

符号をそろえる別の方法として、3 − 2x − y を -(2x + y − 3) とすることもできます。この場合、積の外側の負号を最後まで保持する必要があります。どちらの方法でも、置く前と後の式を見比べ、負号が括弧全体に掛かっているか点検します。

誤答から戻し方を修正する

基本例題で A = x + 2y とした後、A² + 2A − 3 を x² + 4y² + 2x + 4y − 3 とする誤答を考えます。図3のように、二乗した2つの項はありますが、異なる項どうしの積が抜けています。

誤りの理由は、和の二乗を各項の二乗の和と見なしたことです。(x + 2y)(x + 2y) では、x・2y と 2y・x も生じます。修正すると 2xy + 2xy = 4xy を加え、x² + 4xy + 4y² + 2x + 4y − 3 です。図3の交差項は、この2つの積をまとめたものです。

別の失敗は、A² + 2A − 3 の A だけを戻し、(x + 2y)² + 2x + 2y − 3 とすることです。2A は 2(x + 2y) なので、正しくは 2x + 4y です。置換後の係数を新しい括弧の外に残し、全項に配ります。反対に、途中式が短くても最後に A が残っていれば、指定された文字の整式にはなっていません。

代入による点検にも限界があります。たとえば y = 0 を使うと、抜けた 4xy は0になるので、上の誤答を見分けられません。両方の文字に0でない数を入れる方法と、分配した各積を追う方法を併用します。代入が一致しなければ誤りを探し、一致してもそれだけで恒等式の証明としないことが重要です。

練習：5つの式を展開する

いずれも展開して、指定された文字の整式で答えてください。共通部分を置いてから元に戻し、同類項をまとめます。

1. (x + y + 4)(x + y + 2) を x と y で表してください。
2. (x − 3y − 1)(x − 3y + 5) を x と y で表してください。
3. (3x + 6y − 2)(x + 2y + 1) を x と y で表してください。
4. (x + 3y + 2)(5 − x − 3y) を x と y で表してください。
5. (2x − y + 1)² − 2(2x − y + 1) を x と y で表してください。

練習の答えと道筋

1. A = x + y と置きます。分配法則で (A + 4)(A + 2) = A² + 6A + 8 です。戻すと (x + y)² + 6(x + y) + 8 なので、答えは x² + 2xy + y² + 6x + 6y + 8 です。x = 1、y = 2 では元の積が 7・5 = 35、答えも 35 です。

2. A = x − 3y と置きます。(A − 1)(A + 5) = A² + 4A − 5 です。A² = x² − 6xy + 9y² と 4A = 4x − 12y を用い、答えは x² − 6xy + 9y² + 4x − 12y − 5 です。x = 2、y = 1 で元の積は (-2)・4 = -8、答えも -8 です。

3. A = x + 2y と置きます。最初の括弧の文字部分は 3A なので、(3A − 2)(A + 1) = 3A² + A − 2 です。戻して 3(x + 2y)² + (x + 2y) − 2 とし、答えは 3x² + 12xy + 12y² + x + 2y − 2 です。x = 1、y = 1 では元の積が 7・4 = 28、答えも 28 です。

4. A = x + 3y と置くと、(A + 2)(5 − A) = -A² + 3A + 10 です。負号を二乗の各項に配ると、答えは -x² − 6xy − 9y² + 3x + 9y + 10 です。x = 1、y = 1 では元の積は 6・1 = 6、答えも 6 です。

5. A = 2x − y と置けば、与式は (A + 1)² − 2(A + 1) です。展開して A² + 2A + 1 − 2A − 2 = A² − 1 となります。答えは 4x² − 4xy + y² − 1 です。x = 2、y = 1 では元の式が 4² − 2・4 = 8、答えも 8 です。途中で一次の項が消えることも、置換後にまとめると見えます。

手元に残す要点

• 繰り返す式を1つ選び、何を A と置くか書きます。
• 係数と負号を保って積を展開し、交差する積を合わせます。
• A を元の式に括弧付きで戻し、二乗と係数を処理します。
• 同類項をまとめ、代入と積の対応で点検します。

つまずきを見分けるには

置換後に間違う場合は、まず元の各括弧を A の式に直した行を見ます。そこが合っていれば、次は交差する2つの積、最後に A² を戻した際の交差項を順に調べます。個別指導では、どの行で同じ値を表さなくなったかを本人の言葉で説明し、係数や負号をどの項に掛けたかを一緒に確かめます。置いた文字の意味を最後まで保てば、長い式も一段ずつ扱えます。