高校数学I 展開の交差項—二つの積を表に並べて符号と係数を確かめる｜武蔵野個別指導塾

二項式の積を四つの組に分け、交差項の係数と括弧全体に掛かる負号を表と式で確かめます。

高1の自習で、括弧の外の負号を最初の項にしか掛けず、途中までは合っているのに答えがずれる場面がよくあります。積の中の負号と、積全体を引く負号は別の働きをします。二つの括弧の各項を表に並べ、どの積がどこから生まれたかを追うと、符号の切り替えと項の数を同時に点検できます。

どの積を作る問題か

出方の一つは、二つの二項式を掛けて整理する問題です。最初の括弧から1項、次の括弧から1項を選び、その組ごとに積を作ります。真ん中の項は、異なる二つの選び方から生じるため、最後に係数を足します。

もう一つは、二乗や和と差の積を使い、文字を含む係数を整理する問題です。公式を覚えていても、その文字の前に負号があるときに、公式中の文字へ何を代入したかを見失うことがあります。項を符号ごと取り出してから適用します。

さらに、展開結果の係数から未知の数を決める問題もあります。必要な係数だけを見る方法は速い一方、外側の負号を掛け忘れると条件そのものを読み違えます。ここでは二次の積までを扱い、三次の乗法公式は使いません。

分配法則から交差項へ

分配法則は a(b + c) = ab + ac です。和に数や式を掛けるとき、和の各項にその数や式を掛けます。引き算も負の項を足すことと見れば同じ法則で扱えます。文字は実数を表し、式全体にも同じ法則を使えます。

二項式同士では、まず左の括弧の各項を右の括弧全体に掛けます。次に、それぞれを右の2項へ分配します。

(a + b)(c + d)
= a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd

図1のように行と列を選ぶと、4つの組がそれぞれ1回ずつ現れます。対角線上の2つだけでなく、残る2つの積も必要です。ad と bc が交差する位置の積で、同類項なら足し合わせます。文字部分が異なるなら、無理に一つの項にはしません。

同じ二項式を2回掛ける場合は c = a、d = b と置けます。すると4つの積は a²、ab、ba、b² です。ab = ba なので交差する2項は合わせて 2ab となります。

(a + b)²
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

b の代わりに -b を使えば、(a − b)² = a² − 2ab + b² です。また、(a + b)(a − b) では交差する -ab と ab が打ち消し合い、a² − b² になります。これらは別々の暗号ではなく、4つの積をまとめた結果です。たとえば b = 0 でも交差項は0となり、同じ式が成り立ちます。

項を数えるときは、足し算と引き算の記号を手がかりにします。ただし括弧の内部では、その括弧のまとまりを一度保ちます。積に負の数を掛ける場合は、積を作る操作と全体に負号を配る操作を分けて記録すると、片方だけ符号を変える事故を防げます。

基本例題：4つの積を表に置く

例題1　(2x − 3)(x + 4) を展開し、x の降べきの順の整式で答えてください。

左の項は 2x と -3、右の項は x と 4 です。それぞれ符号を含めて選びます。図2のように2行2列に積を置けば、4つの組を一つずつ確認できます。

表から式を作り、同類項をまとめます。

(2x - 3)(x + 4)
= 2x・x + 2x・4 + (-3)・x + (-3)・4
= 2x² + 8x - 3x - 12
= 2x² + 5x - 12

1行目は分配法則、2行目はそれぞれの積、3行目は 8x − 3x = 5x によります。交差する積は 8x と -3x です。係数を掛け合わせた後で初めて足すので、8 − 3 の結果が x の係数になります。

確かめとして x = 1 を元の積に戻すと、(-1)・5 = -5 です。答えも 2 + 5 − 12 = -5 となります。さらに表の x²、x、定数の係数が順に 2、8 − 3、-12 なので、各係数も一致します。1つの値で一致することだけでは恒等式の証明にならず、分配法則の各行が根拠です。

標準例題：積全体を引く

例題2　(3x + 2)(x − 5) − (x − 4)(2x + 1) を展開し、x の降べきの順の整式で答えてください。

二つの積をいっぺんに暗算するより、まず各積の項を書き、その後に第2の積全体に負号を配ります。第2の積の中にある負の項は、外の負号によって正に変わります。

(3x + 2)(x - 5) - (x - 4)(2x + 1)
= (3x² - 15x + 2x - 10) - (2x² + x - 8x - 4)
= 3x² - 15x + 2x - 10 - 2x² - x + 8x + 4
= x² - 6x - 6

最初の行では、それぞれの積に分配法則を使いました。次の行では、第2の括弧の4項すべてに -1 を掛けています。最後に x² の係数は 3 − 2 = 1、x の係数は -15 + 2 − 1 + 8 = -6、定数は -10 + 4 = -6 とまとめます。

x = 2 を元の式に戻すと、8・(-3) − (-2)・5 = -14 です。答えに代入しても 4 − 12 − 6 = -14 となります。値による照合と係数の照合を組み合わせ、符号を変える範囲を見直します。

この問題で第2の積の先頭だけを引く方法は使えません。引いている対象は一つの項ではなく積全体だからです。括弧を外す前に各項の符号を決め、外す段階で全項を反転するという2段階を、途中式に残すと追跡できます。

発展例題：交差項から係数を決める

例題3　実数 a について、(2x + a)(x − 3) − (x + 1)² を展開したとき、x の係数が 4 となるような a の値を求めてください。答えは整数で表してください。

最初の積の交差項は -6x と ax です。二乗の交差項は 2x ですが、二乗全体を引くので、整理後には -2x として加わります。まず全体を展開して、係数の条件を式にします。

(2x + a)(x - 3) - (x + 1)²
= 2x² - 6x + ax - 3a - (x² + 2x + 1)
= 2x² - 6x + ax - 3a - x² - 2x - 1
= x² + (a - 8)x - 3a - 1

x の係数が 4 なので a − 8 = 4 です。両辺に8を足して a = 12 を得ます。a は実数で、途中で a による除算をしていないため、0の場合を含めて同じ計算が適用できます。係数が0になる場合も、係数として0を数えます。

元の条件へ戻します。a = 12 のとき、最初の積の x の係数は -6 + 12 = 6、引く二乗の x の係数は 2 です。したがって差の x の係数は 6 − 2 = 4 となり、指定された条件を満たします。展開結果全体は x² + 4x − 37 で、定数も -3・12 − 1 = -37 と一致します。

このように係数だけを求める問題でも、交差項がどの積から来たかを示せば、不要な計算を省くときの根拠が残ります。反対に、(x + 1)² の交差項を x としてしまうと、同じ積が2回現れることが抜け落ちます。二乗の表には右上と左下の両方があると確認してください。

誤答を直す：外側の負号の届く範囲

次の変形を考えます。

-(x - 2)(x + 3)
= -(x² + x - 6)
= -x² + x - 6

最初の等号は正しいものの、最後の等号は誤りです。外の負号を x² にしか掛けていません。図3のように、括弧に入った3項それぞれへ -1 を掛けます。

-(x² + x - 6)
= (-1)・x² + (-1)・x + (-1)・(-6)
= -x² - x + 6

x = 0 を元の式に入れると -((-2)・3) = 6 です。誤答の値は -6 なので一致せず、修正後は 6 になります。ただし、たまたま一致する値もあるため、代入で誤りが見つからなくても分配の各項を確認します。積の内部で負号を使ったことと、外側の負号を配ることは別々の操作です。

項が消える場合にも注意します。交差項が互いに逆の数なら和は0ですが、最初から書かずに消すと、符号の確認が難しくなります。少なくとも慣れるまでは両方を書いてから0にすることで、消去の理由が見える形になります。

表を使わずに進めるときの点検

表は積を見落とさないための道具ですが、毎回描く必要はありません。左の最初の項を右の2項に掛け、次に左の2番目の項を右の2項に掛ける順序を一定にすれば、式のままでも4つの積を列挙できます。その際、符号を項の一部として持ち歩くことが重要です。引き算を見たら、その直後の項は負の項だと読み取ります。

係数を確認するときには、文字の次数ごとに箱を分けるように考えます。二次の項の係数、一次の項の係数、定数を別々に集計し、同じ箱の中だけで足します。一次の項が消えたなら、その係数が0になった理由を、2つの交差項の和として説明できます。定数が負になるか正になるかも、元の定数同士の符号で点検できます。

値を代入する検算は、元の式と結果の食い違いを見つける手段です。0を選べば定数を点検しやすく、1を選べば係数の和を計算しやすくなります。ただし、異なる式がある値で同じ値を取ることはあります。例えば符号の誤りが別の誤りと相殺されることもあります。そのため、数値が一致しても正しさが確定するわけではありません。分配法則による変形と、次数ごとの係数の照合を根拠にして、代入は追加の確認として使います。

練習問題

各問とも途中の積と符号を記録してください。1から4は展開して指定された文字の降べきの順の整式で、5は整数で答えます。

1. (3x − 2)(x + 5) を x について展開してください。
2. (2y − 3)² を y について展開してください。
3. (4t + 1)(4t − 1) を t について展開してください。
4. (x − 2)(x + 6) − (2x + 3)(x − 1) を x について展開してください。
5. 実数 k について、(x + k)(3x − 2) の x の係数が 7 となる k を求めてください。

練習の答えと考え方

1. 4つの積を作り、交差する項を足します。

(3x - 2)(x + 5)
= 3x² + 15x - 2x - 10
= 3x² + 13x - 10

係数は順に 3、15 − 2、-10 です。x = 1 なら元の積も答えも 6 となります。

2. -3 を符号ごと二乗の公式に入れます。負と負の積が定数の正を作ります。

(2y - 3)²
= 4y² - 6y - 6y + 9
= 4y² - 12y + 9

y = 1 なら元の二乗も答えも 1 です。真ん中の -6y は2つあるため、係数は -12 です。

3. 交差する項は -4t と 4t で、和が0です。

(4t + 1)(4t - 1)
= 16t² - 4t + 4t - 1
= 16t² - 1

係数は 16、0、-1 です。t = 1 を元に戻すと 5・3 = 15 で、答えの値にも一致します。

4. 後ろの積を括弧に入れたまま計算し、全項の符号を変えます。

(x - 2)(x + 6) - (2x + 3)(x - 1)
= (x² + 6x - 2x - 12) - (2x² - 2x + 3x - 3)
= x² + 6x - 2x - 12 - 2x² + 2x - 3x + 3
= -x² + 3x - 9

x²、x、定数の係数は順に 1 − 2、6 − 2 + 2 − 3、-12 + 3 です。x = 1 では元の式も答えも -7 となります。

5. 交差項から条件を立てます。

(x + k)(3x - 2)
= 3x² - 2x + 3kx - 2k
= 3x² + (3k - 2)x - 2k

3k − 2 = 7 より 3k = 9、したがって k = 3 です。元の積に戻すと交差項は -2x と 9x なので、その和は指定どおり 7x です。定数も -6 となり、展開全体は 3x² + 7x − 6 です。

手元に残す要点

• 二項式の積は、各括弧から1項ずつ選んだ4つの積に分けます。
• 交差項は別々に作り、同類項なら係数を足します。
• 積全体を引くとき、展開後の各項に負号を配ります。
• 係数の条件は、符号を整理してから元の積へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

積の数が3つ以下なら、表の空欄を探します。4つあるのに中項だけ違うなら、交差項を掛けた後の加減を確認します。第2の積を引く問題だけで崩れるなら、括弧の外の負号がどの項まで届くかを指で追うと原因を区別できます。

個別指導で確かめるときは、答えだけでなく、選んだ2項とその符号を声に出して説明できるかを見ます。続いて、同じ二乗の交差項がなぜ2つあるか、負号を配った後に係数がどう変わるかをそれぞれ尋ねます。表と式を行き来できれば、初めて見る係数でも積の出どころをたどれます。