高校数学I 整式の次数と同類項—文字を一つ選び定数と係数を区別して整理する｜武蔵野個別指導塾

yを係数に含めてxについて整理する例と、最高次の係数が0になる例を使い、次数を決める順序をたどります。

高1の自習で、yを含む式をxについて整理しようとして手が止まる場面があります。yが文字なのに、なぜ係数と呼べるのでしょうか。xの次数を探すときは、まずxを何個掛けた項かに注目します。yを含む部分はxに対する係数としてまとめられますが、式全体の次数を尋ねられたときは数え方が変わります。この違いを、整理と検算を通して追います。

どの文字に注目する問題か

出方の1つ目は、同類項をまとめて整式を簡単にし、次数と各項の係数を答える問題です。項の見た目が長くても、注目する文字の部分が同じなら係数を足せます。逆に文字や指数が異なる項は、そのままでは一緒にできません。

2つ目は、複数の文字を含む式を、指定された1文字について降べきの順に整理する問題です。降べきの順とは、その文字の指数が大きい項から小さい項へ並べることです。例えばxについて整理すると、yはxの係数に含めて扱います。yについて整理するよう求められたら、同じ式でも並び方が変わります。

3つ目は、係数に文字を含むとき、ある値で最高次の項が消える場合を調べる問題です。見かけ上は高い指数の項があっても、その係数が0なら、その項は残りません。最高次の係数が0でないことを確かめたうえで次数を決めます。0になった場合は、次の候補へ進みます。

項、係数、次数の見取り図

数や文字の積で表される式を単項式、単項式の和で表される式を多項式といい、これらをまとめて整式といいます。多項式をつくる各単項式を項といいます。引き算は負の項を足すこととして扱い、符号も項に含めます。たとえば 5x²y − 3xy + 7 の項は 5x²y、-3xy、7 です。

単項式の数の因数をその単項式の係数といいます。-3xy の係数は -3 です。単項式全体の次数は、掛け合わされた文字の指数の和です。5x²y の次数は 2 + 1 = 3 です。0でない定数の次数は0です。整理後の多項式の次数は、0でない項の次数のうち最大のものです。0そのものの次数は定めません。

一方、xに着目するときは、yを含む部分をまとめてxに対する係数と見ます。図1のように、同じ項でも「全体」と「xについて」では数える指数が違います。5x²y は全体では3次、xについては2次で、x²の係数は 5y です。yはxを含まないので、xに関しては定数として扱えます。これはyが必ず数値として与えられているという意味ではありません。

図1では、xについての次数を決める際にyの指数を加えていません。反対に、式全体の次数を求めるときにyを無視してはいけません。問題文が何の次数を聞いているかを最初に囲んでおくと、二つの基準を混ぜずに済みます。

文字の部分が同じ項を同類項といいます。例えば 4x²y と -9x²y は同類項なので、係数を足して -5x²y になります。x²y と xy² は指数の組が違い、同類項ではありません。ただしxについて整理する場面では、どちらもxを1個含む項どうしならxの係数として集められます。元の単項式の同類項と、着目した文字の同じ次数の項を区別しましょう。

xを含まない項は、xについての定数項です。したがって y² − 6 は数だけの定数ではありませんが、xについては定数項です。また、ある次数の項が欠けていれば係数は0です。次数を読み取る前に同じ次数の係数をまとめ、0になる項を取り除くことが必要です。

基本例題：xの指数で棚を作る

次の式をxについて降べきの順に整理し、xについての次数、xの各次数の係数と定数項を答えてください。あわせて、整理後の式全体の次数を整数で答えてください。

3x²y + 4xy − 2x² + 5y − 7xy + 6

まず各項のxの指数に注目します。x²の項は 3x²y と -2x²、xの項は 4xy と -7xy、xを含まない項は 5y と 6 です。符号を付けたまま図2のように分類します。

図2の各組を、分配法則を逆に使ってまとめます。

3x²y + 4xy - 2x² + 5y - 7xy + 6
= 3x²y - 2x² + 4xy - 7xy + 5y + 6
= (3y - 2)x² + (4y - 7y)x + 5y + 6
= (3y - 2)x² - 3yx + 5y + 6

1行目から2行目は項の順序を変えました。次に同じxの累乗をくくり、最後に係数の同類項を計算しました。xについての次数は2、x²の係数は 3y − 2、xの係数は -3y、定数項は 5y + 6 です。ここではyを文字のまま扱っているため、3y − 2 は0という式ではありません。

式全体の次数は、整理後の単項式 3x²y、-2x²、-3xy、5y、6 の次数を調べて3です。最大は 3x²y の 2 + 1 です。xについての2と式全体の3は、異なる問いへの答えです。

元に戻して確認すると、(3y − 2)x² は 3x²y − 2x²、-3yx は 4xy − 7xy と同じです。定数項も元の 5y + 6 のままです。仮にy = 2を代入すると元の式は 4x² − 6x + 16、整理後も同じ式です。代入は符号の点検に役立ちますが、1つの値で一致したことだけを式の一般的な等しさの証明にはしません。

ここでy = 2/3 と指定された場合は別です。x²の係数が0になり、xの係数は -2 なので、その値でのxについての次数は1です。文字のままの整理結果と、特定の値を代入した後の次数を混同しないようにします。

標準例題：着目する文字を取り替える

次の式を、まずxについて、次にyについて、それぞれ降べきの順に整理してください。各場合の次数と定数項も答えてください。式全体の次数も整数で求めます。

2x²y − 3xy² + 5x² + 4y² − 6x + 8y

xについては、x²、x、xを含まない項の順に集めます。

2x²y - 3xy² + 5x² + 4y² - 6x + 8y
= 2x²y + 5x² - 3xy² - 6x + 4y² + 8y
= (2y + 5)x² + (-3y² - 6)x + 4y² + 8y

x²の係数は 2y + 5 で、文字式として0ではないので、xについて2次です。xについての定数項は 4y² + 8y です。xの項にある負号は係数の括弧に含めました。

次にyについて整理します。y²、y、yを含まない項の順に並べます。

2x²y - 3xy² + 5x² + 4y² - 6x + 8y
= -3xy² + 4y² + 2x²y + 8y + 5x² - 6x
= (-3x + 4)y² + (2x² + 8)y + 5x² - 6x

y²の係数は -3x + 4 で、文字式として0ではありません。したがってyについても2次、定数項は 5x² − 6x です。どちらも2次ですが、係数と定数項は一致しません。たまたま次数が同じでも、整理結果を取り替えることはできません。

式全体を見ると、2x²y と -3xy² はどちらも3次で、残りの項は2次以下です。異なる文字部分を持つ2つの3次項は同類項ではないため、消し合いません。よって全体の次数は3です。両方の整理式に分配法則を使えば、元の6項に戻ることも確かめられます。

発展例題：最高次が消える値を調べる

実数aに対し、次の式をxについて整理し、xについての次数をaの値で場合分けしてください。次数は整数で答え、0の式になる場合も調べてください。

(a − 2)x³ + (a² − 4)x² + (a + 1)x + 3

まず最高次の係数を調べます。a − 2 が0でないなら、x³の項が残るので3次です。a − 2 = 0 となるのは a = 2 です。この値ではx³だけでなくx²の係数も調べます。

 a = 2 のとき
 a - 2 = 0
 a² - 4 = 2² - 4 = 0
 a + 1 = 3

したがって式は 3x + 3 となり、xの係数は0でないため1次です。答えは、a ≠ 2 なら3次、a = 2 なら1次です。a = 2 の場合に2次と決めてしまうと、x²の項も消えることを見落とします。

定数項が常に3なので、この式全体が0の式になるaはありません。3次の係数が0になることと、式全体が0になることは別の条件です。例えば a = -1 ではxの係数が0ですが、x³の係数は -3 なので次数は3のままです。下の次数の項が消えても、残る最高次の項は変わりません。

係数を並べて整理する方法は、同じ次数の項が複数ある場合にも有効です。最初に見えた一項だけで次数を決めず、同じ次数の係数を合計してから0かどうか調べます。0になった場合も、次の係数を順に点検することで、次数を飛ばして下がる場合を捉えられます。

誤答をたどって直す

次の式をxについて整理するとき、(2y + 3)x² と書いた答案を考えます。

2x²y + 3xy²

図3のように、前者のxの指数は2、後者は1です。yを係数に含めても、xの指数まで変わるわけではありません。2項を同じx²の棚に入れたため、後者を 3x² としてしまい、y²も失っています。

正しくは 2yx² + 3y²x です。図3の矢印の先でも、x²の係数は 2y、xの係数は 3y² と別々です。分配して戻すと元の 2x²y + 3xy² が得られます。例えば x = 2、y = 1 なら元の式は14、誤答は20です。この代入は誤りを示す反例になります。

もう1つの誤りは、xについての定数項を「数字だけ」と考えることです。7xy + y − 4 では、xを含まない y − 4 が定数項です。yが含まれるかどうかではなく、着目したxが含まれるかで判定します。整理後に各項を展開して元へ戻し、次数の分類と符号の両方を点検してください。

練習：まず5問を解く

答えの式は指定された文字について降べきの順に書き、次数は整数で答えてください。係数が0の次数も、問われた場合は0と答えます。

1. 6t² − 3t + 4t² + 8 − 5t を整理し、次数とtの係数を求めてください。
2. 4u²v − 7uv + 3u² + 2v − uv をuについて整理し、u²とuの係数、uについての定数項、式全体の次数を求めてください。
3. 5p²q + 2pq² − 3q² + 7p − 9 をqについて整理し、qについての次数と定数項を求めてください。
4. 実数bに対し、(b + 3)z² + (b − 1)z + 2 のzについての次数を場合分けしてください。
5. 実数cに対し、(c − 5)w² + (2c − 10)w のwについての次数を場合分けし、0の式になる場合も答えてください。

答えと解き方

1. 同じ文字部分を集めます。

6t² - 3t + 4t² + 8 - 5t
= (6 + 4)t² + (-3 - 5)t + 8
= 10t² - 8t + 8

10は0でないので2次、tの係数は -8 です。係数を元の各項に分けると、t²は 6 + 4、tは -3 − 5 となり、定数8も保たれます。

2. uの指数ごとにまとめます。

4u²v - 7uv + 3u² + 2v - uv
= (4v + 3)u² + (-7v - v)u + 2v
= (4v + 3)u² - 8vu + 2v

u²の係数は 4v + 3、uの係数は -8v、uについての定数項は 2v です。全体では 4u²v が3次で、他は2次以下なので3次です。括弧を戻せば元の項が再現されます。

3. qの指数で並べると次のようになります。

5p²q + 2pq² - 3q² + 7p - 9
= (2p - 3)q² + 5p²q + 7p - 9

q²の係数は文字式として0ではないので、qについて2次です。定数項は 7p − 9 です。q²の係数を分配すれば 2pq² − 3q² に戻り、qの項と定数項も元どおりです。

4. b + 3 ≠ 0、すなわち b ≠ -3 なら2次です。b = -3 のとき、z²の係数は0、zの係数は -4 です。式は -4z + 2 となるため1次です。境界の値を元の両方の係数に代入して判定しました。

5. c ≠ 5 ならw²の係数が0でないので2次です。c = 5 では w²とwの係数がともに0で、式は0になります。定数項もないため1次ではなく、0の式の次数は定めません。c = 5 を元の両係数へ戻すと、ともに0であることを確認できます。

手元に残す要点

• まず式全体の次数か、指定した文字についての次数かを見ます。
• 同じ文字部分の項は符号を含めて係数を足します。
• 指定した文字を含まない部分は、その文字についての定数項です。
• 最高次の係数が0なら、その次の次数も順に調べます。
• 整理後に分配して元の項へ戻し、符号と係数を点検します。

手が止まった位置を見つける

項を分ける段階で符号が落ちるなら、各項に前の符号を付けて印を付けます。項は分けられるのに次数を間違えるなら、着目した文字と、それ以外の文字に別の印を付けて指数を読みます。個別指導では、整理式を戻す操作と、最高次の係数が0になる値を代入する操作をそれぞれ口に出して確かめます。係数が消えた後に残る項まで見れば、次数を答える根拠が明確になります。