高校数学A 重心と中線の比—相似と面積から交点が辺を分ける関係を証明する｜武蔵野個別指導塾

中線の交点が頂点側から2:1に分かれる理由を相似で示し、6つの面積を比べて重心を捉えます。

よくあるのは、高1が三角形の中線を引き、その真ん中を重心にしてしまう場面です。辺の中点につながる線なので、中線自体も二等分されそうに見えます。しかし、中点なのは辺の上の点です。中線の上では、頂点から交点までのほうが長くなります。その理由を図形の相似でたどり、面積にも同じ分け方が現れることを見ていきます。

どの長さと面積を問われるか

重心の問題では、まず中線全体から一部分を求める型があります。頂点と辺の中点のどちらから測っているかによって、全体に掛ける数が変わります。比の順番を点の並びに合わせて書くことが出発点です。

次に、重心から頂点や辺へ線を引いて面積を求める型があります。中点で辺が半分になると、同じ高さを持つ三角形の面積も半分ずつです。さらに重心を通る中線を重ねれば、全体が等しい面積の6つに分かれます。

もう1つは、与えられた交点が本当に重心かを判定する型です。2:1という数が見えるだけでは足りません。その線分が頂点と向かい側の辺の中点を結ぶ中線であり、比の大きい側が頂点側であることを確認します。逆に、三角形の内部の点が2本の中線上にあれば、その点は重心です。

中点を結ぶ線から交点の位置へ

三角形ABCは3頂点が一直線上にないものとします。辺BC、CA、ABの中点をそれぞれD、E、Fとします。頂点と向かい側の辺の中点を結ぶ線分AD、BE、CFが中線です。図1のように3本は1点Gで交わり、この点を重心と呼びます。

図1ではAD上の点の順序はA、G、Dです。成り立つ比はAG:GD = 2:1ですから、AGはADの2/3、GDはADの1/3です。点の順序を変えてGD:GAと書くなら1:2になります。辺の中点を表すBD = DCと、中線を分けるAG:GDを混同しないでください。

この関係と3本が同じ点を通ることを証明します。まずADとBEは三角形の内部で交わります。その交点をGとします。D、EはそれぞれBC、CAの中点なので、中点連結定理からDEはABに平行で、DE = AB/2です。

平行線の錯角と対頂角により、三角形GABと三角形GDEは相似です。対応はGとG、AとD、BとEです。したがって次の関係が得られます。

GA:GD = GB:GE = AB:DE
AB:DE = 2:1
GA:GD = GB:GE = 2:1

ここではGが辺ABとDEの間にあるため、対応する線分は正の長さです。次にADとCFの交点をHとします。同じ議論を辺の中点D、Fに使うと、AH:HD = 2:1です。線分ADを頂点Aから2:1に内分する点は1つなので、HはGと一致します。よって3本の中線はGで交わります。これは特定の形の三角形を測った結果ではなく、任意の非退化な三角形で成り立つ証明です。

面積にも注目します。直線AD上のAGとGDを底辺に取り、Bを頂点とする2つの三角形と、Cを頂点とする2つの三角形をそれぞれ比較します。まずADはBCを二等分するので、三角形ABDとACDは高さが共通で面積が等しいです。さらに、三角形ABGとDBGは底辺AG、GDを直線AD上に取り、Bからの高さを共有するので、面積比は2:1です。同様にACGとDCGの面積比も2:1です。ABDとACDの面積が等しいため、DBGとDCGも等しくなります。

ここからABG、BCG、CAGは面積が等しいとわかります。例えばBCGはDBGとDCGの和で、ABGはDBGの2倍だからです。FはABの中点なので、三角形AFGとBFGはGから直線ABへの高さが共通で面積が等しいです。D、Eについても同様です。よって3本の中線が作る6つの小三角形は、どれも元の三角形の面積の1/6です。

基本例題：中線の全体と部分

三角形ABCの辺BCの中点をD、重心をGとします。AD = 15 cmのとき、AGとGDをそれぞれcm単位で求めてください。

図2のように、AからDへ中線をたどり、頂点側のAGに2、中点側のGDに1を対応させます。比の合計は3です。

図2の線分ADは15 cmです。比の1に当たる長さから順に求めると、次のようになります。

AG:GD = 2:1
AD = AG + GD = 15 cm
GD = 15 ÷ 3 = 5 cm
AG = 5 × 2 = 10 cm

答えはAG = 10 cm、GD = 5 cmです。元の条件に戻すと10 + 5 = 15で、全体の長さが一致します。また10:5 = 2:1で、頂点側が2に対応しています。15を2で割ると中線の中点までの長さになり、重心までの長さではありません。

同じ図で、もしGDが与えられた場合は、その値が比の1に当たります。AGはその2倍、ADは3倍です。反対にAGが与えられた場合は、その半分がGDです。何を3等分するのかを先に決めると、比と実際の長さを混ぜずに計算できます。

標準例題：面積を重ねて比べる

三角形PQRの辺QR、RP、PQの中点をそれぞれL、M、Nとし、重心をKとします。三角形PQRの面積が78 cm²のとき、三角形PKQと三角形QLKの面積をそれぞれcm²単位で求めてください。

中線が作る6つの小三角形は等積です。三角形PKQは、中線KNで分けられる三角形PNKとQNKの2つ分です。三角形QLKはそのうちの1つ分です。したがって、まず1つ分を求めます。

小三角形1つの面積 = 78 ÷ 6 = 13 cm²
三角形PKQの面積 = 13 × 2 = 26 cm²
三角形QLKの面積 = 13 cm²

答えは順に26 cm²、13 cm²です。確かめると、PKQと同じく頂点2つと重心を結ぶ三角形QKR、RKPも各26 cm²です。3つを合わせると26 × 3 = 78 cm²で、与えられた全体に戻ります。またQLKとRLKは底辺QL、RLが等しく、高さが共通なので、ともに13 cm²です。QLKとRLKの和26 cm²もQKRの面積と一致します。

等積という結論を使う前に、L、M、Nがそれぞれ辺の中点であることを確認します。例えばLがQRの中点でなければ、QLKとRLKは底辺が等しいとは限りません。線が3本集まったという見た目だけでは、6等分の根拠にならないのです。

発展例題：重心を見つけてから面積を求める

三角形ABCでDはBCの中点です。線分AD上の点XはAX:XD = 2:1を満たします。辺CAの中点をEとし、直線BXとCAの交点をYとします。三角形ABCの面積が90 cm²のとき、YがEと一致することを証明し、三角形AXYの面積をcm²単位で求めてください。

中点Dへ引いたADは中線です。三角形ABCの重心をGとすると、重心の性質からAG:GD = 2:1です。線分ADをこの比に内分する点は1つなので、X = Gです。重心Gは中線BE上にあり、BとGを通る直線はBEです。よって、直線BXとCAの交点YはEと一致します。

EがCAの中点なので、三角形ABEとCBEは底辺AE、CEが等しく、BからCAへの高さが共通です。よってABEの面積は全体の半分です。さらにGはBEをBG:GE = 2:1に分けます。三角形ABGとAGEは底辺BG、GEを直線BE上に取ると、Aからの高さが共通です。そのため面積比も2:1です。

三角形ABEの面積 = 90 ÷ 2 = 45 cm²
三角形AGEの面積 = 45 ÷ (2 + 1) = 15 cm²
三角形AXYの面積 = 15 cm²

元の面積に戻して確かめます。ABEは45 cm²、残るCBEも45 cm²で合計90 cm²です。ABEの中ではAGEが15 cm²、ABGが30 cm²となり、30:15 = 2:1です。したがって求めた面積は、与えられた中点と比の両方に整合します。

この問題で使った逆向きの判定は、ADが中線で、Xが線分ADを頂点側から2:1に内分することに支えられています。Dが中点でない場合や、比がXD:XA = 2:1の場合には、この議論は使えません。比が同じ数字で書かれていても、どの線分をどの順に比べたかで結論は変わります。

真ん中に置いた重心を直す

図3のように、ADの中点をTとして「AT = TDだからTが重心」とする答案を考えます。DがBCの中点であることから言えるのは、ADが中線であるということです。そこからAT = TDやTが重心であることは導けません。

図3のTはADの中点として置いた点です。一方、重心GはAG:GD = 2:1を満たすため、AからDに向かってTを通り過ぎた位置にあります。誤りの原因は、辺BCを二等分するという条件を、別の線分ADに移してしまったことです。

修正するときは、まずDに同じ印を付けてBD = DCと書きます。次にADを3等分したうち、Aから2つ分の位置にGを置きます。根拠を問われたら、中点連結定理でできる平行線と相似の対応まで戻ります。図で長さを目測するのではなく、AG:GDの順番を明記することが必要です。

別の誤りとして、重心から分けた2つの三角形が必ず等積だとするものがあります。同じ高さなら面積比は底辺の比です。底辺がAGとGDなら面積比は2:1であり、等しくありません。底辺がBDとDCなら1:1です。どの直線上のどの2つを底辺に選んだかを示してから、面積を比べます。

練習問題

各三角形は非退化とします。長さはcm、面積はcm²で答え、分数が必要なら既約分数で表してください。

1. 三角形ABCの重心をG、BCの中点をDとします。AD = 21 cmのとき、AGとGDを求めてください。
2. 三角形PQRの重心をK、QRの中点をLとします。PK = 16 cmのとき、KLとPLを求めてください。
3. 三角形DEFの重心をHとします。三角形DEFの面積が114 cm²のとき、三角形DEHの面積を求めてください。
4. 三角形ABCでDはBCの中点、Gは重心です。三角形ABGの面積が20 cm²のとき、三角形BDGと三角形ABCの面積を求めてください。
5. 三角形PQRでLはQRの中点、XはPL上の点です。PX = 8 cm、XL = 8 cmのとき、Xが重心かを判定し、理由を述べてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 頂点側と中点側の比はAG:GD = 2:1です。21 ÷ 3 = 7より、AG = 14 cm、GD = 7 cmです。14 + 7 = 21で中線全体に戻り、14:7 = 2:1です。

2. PK:KL = 2:1なので、KL = 16 ÷ 2 = 8 cmです。PL = 16 + 8 = 24 cmです。24の2/3は16、1/3は8ですから、与えられた頂点側の長さに戻ります。

3. DEHは重心と2頂点を結ぶ三角形で、全体の1/3です。114 ÷ 3 = 38 cm²です。同様の3つの三角形は各38 cm²で、38 × 3 = 114 cm²となり元の面積を満たします。

4. ABGとBDGは底辺AG、GDに対するBからの高さが共通です。AG:GD = 2:1より、BDGの面積は20 ÷ 2 = 10 cm²です。ABGは全体の1/3なので、ABCの面積は20 × 3 = 60 cm²です。中線ADの片側ABDの面積は20 + 10 = 30 cm²で、その2倍は60 cm²です。中点Dによる二等分にも戻ります。

5. Xは重心ではありません。PX:XL = 8:8 = 1:1ですが、重心なら頂点側から2:1でなければならないからです。PL = 8 + 8 = 16 cmであり、重心なら頂点からの距離は16 × 2/3 = 32/3 cmです。これは8 cmと異なるため、与えられた位置を満たしません。

手元に残す要点

中線は頂点と向かい側の辺の中点を結びます。 3本の中線は重心で交わり、頂点側:中点側 = 2:1です。 中線が作る6つの三角形の面積は等しくなります。

説明が止まる場所を見分ける

比の計算で止まる場合は、まず中線全体が比の3に当たるのか、頂点側が2に当たるのかを指で示してみます。面積で止まる場合は、2つの三角形の底辺を同じ直線上に取り、共通の高さを言葉にします。どちらも、数字を計算する前に図のどの部分を比較するかを決める練習です。

個別指導では、辺の中点と中線の中点を区別して印を付けられるか、相似の対応を頂点の順に説明できるかを確かめます。6等分を覚えていても、中点の条件を外した図で同じ結論を使うなら、底辺と高さの関係まで戻ります。重心の位置は、辺の中点から始まる比で決まります。