高校数学A 外角の二等分線と外分—延長する向きを決めて線分の差を式にする｜武蔵野個別指導塾

外分点までの距離を辺の差と比から求め、等辺で交わらない理由を平行な直線に結び付けます。

よくあるのは、高1が三角形の辺を延長した図を見て、辺全体と延長部分を足すか引くか迷う場面です。外角の二等分線の比は覚えていても、どの点が真ん中にあるかを見落とすと、式の意味が変わります。まず点を順に並べ、同じ長さを2通りに表してみましょう。

要点（結論から）

• 外角の二等分線が辺の直線と交わるとき、BD : DC = AB : AC です。
• 長い辺に対応する端点からの距離が長くなり、交点は短い辺に隣接する端点の外側です。
• 外分では長い距離と短い距離の差が元の辺です。

どんな問いで延長線を見るか

1つ目は、2辺と残りの辺の長さが与えられ、外角の二等分線と辺の延長との交点までの長さを求める問いです。比を書くだけでなく、交点がどちら側にあるかを決めます。長さは正ですから、大小関係は位置を選ぶ手がかりになります。

2つ目は、外分点までの長さから辺の比や未知の辺を逆に求める問いです。図に数を置く際、遠い端点からの距離と近い端点からの距離を区別します。比の順序を交換するなら、両側を同時に交換します。

3つ目は、等しい辺を持つ場合の交点の有無や、内角と外角の二等分線がなす角を説明する問いです。計算の分母が0になることは、図形で何が起きているかを調べる合図です。答えを無理に数で表す前に、平行かどうかを確かめます。

外分点の位置と定理の根拠

三角形 ABC は3点が一直線上にないものとします。頂点 A の外角は、例えば辺 BA を A の先へ延長してできる角です。その二等分線を含む直線と直線 BC が交わる点を D とします。A のもう一方の外角の二等分線も同じ直線上にあります。

図1のように D が C の外側にあるとき、点の順は B、C、D で、BD = BC + CD です。D が B の外側なら順は D、B、C で、CD = BC + BD です。どちらでも D は線分 BC の外にあり、D は BC を外分します。外分の比 BD : DC は、端点 B、C の順で距離を並べたものです。

外角の二等分線の定理は、交点 D が存在するとき、BD : DC = AB : AC と述べます。図1では BD が長いので AB も AC より長くなります。逆に AB が AC より短ければ D は B の側です。外角の二等分線に対してBとCは同じ側にあるため、この二等分線は線分BCの内部を通りません。

定理の根拠を垂線と相似から導きます。B と C から直線 AD に下ろした垂線の足をそれぞれ H、K とします。B と C は AD の同じ側にあり、直角三角形 ABH と ACK では A の鋭角、またはその補角に対応する鋭角が等しいので、BH/CK = AB/AC です。また D、B、C が一直線上にあり、直角三角形 DBH と DCK の D の角は等しいか対頂角です。よって相似から BH/CK = BD/DC です。したがって BD/DC = AB/AC です。垂線の足が A や D に重なる場合も同じ関係が成り立ちます。BH と CK は正なので割ることができます。

交点の存在も調べましょう。AB > AC なら、BC の C 側に BD : DC = AB : AC を満たす点 D が1つあります。実際、CD = BC・AC/(AB − AC) とすれば正で、BD = BC + CD から指定の比になります。上の垂線と相似を逆にたどると AD は外角の二等分線です。AB < AC のときは B 側に同様の点が1つあり、BD = BC・AB/(AC − AB) です。比が等しい点の位置はこの式で一意に決まります。

AB = AC なら、三角形 ABC は二等辺三角形です。頂角 A の内角の二等分線は底辺 BC に垂直です。一方、内角と隣り合う外角の和は180°なので、それぞれの二等分線がなす角は90°です。したがって外角の二等分線は BC に平行で、直線 BC とは交わりません。比が 1 : 1 となる外分点も、異なる B、C に対して存在しません。

外分の比から二等分線を逆に確認する際も、点が線分の外にあることが必要です。例えば C 側の D を選んだとき、B と C は直線 AD の同じ側です。D からの距離の比が AB : AC なら、D を頂点とする直角三角形の相似から B、C の AD までの距離の比も AB : AC になります。A を頂点とする三角形の面積を考えると、AB、AC を底辺とした高さが等しくなるので、AD は外角を二等分します。このように位置を先に決めることで、内角の二等分線との取り違えを避けられます。

外分点が遠くなる場合にも注意します。2辺の長さの差が小さくなると、CD = BC・AC/(AB − AC) の分母が小さくなります。等しくなった瞬間に、遠い位置に点が残るわけではなく、直線が平行となって交点がなくなります。式が使える条件と、等辺の場合の図形の説明を分けることが大切です。

基本例題：C 側へ延ばす

三角形 ABC で AB = 5、AC = 3、BC = 4 とします。A の外角の二等分線と直線 BC の交点を D とします。D の位置と CD、BD を求め、それぞれ整数で答えてください。

図2のように AB > AC なので、D は C の外側にあります。CD を x と置くと x > 0 で、BD は 4 + x です。外角の二等分線の定理から、対応する順序を保って次のように計算します。

BD : DC = AB : AC
(4 + x) : x = 5 : 3
3(4 + x) = 5x
12 + 3x = 5x
12 = 2x
x = 6
BD = 4 + 6 = 10

答えは C の外側で、CD = 6、BD = 10 です。図2の点の順に戻すと 10 − 6 = 4 で、与えられた BC に一致します。また 10 : 6 = 5 : 3 です。3辺は 3 + 4 > 5 など三角形の成立条件も満たします。

標準例題：反対側の延長を選ぶ

三角形 PQR で PQ = 4、PR = 7、QR = 6 です。P の外角の二等分線と直線 QR の交点を S とします。S の位置と QS、RS を既約分数または整数で求めてください。

PQ < PR なので S は Q の外側です。QS = x とすると RS = x + 6、x > 0 です。比の左側は Q から S、R から S の順に取ります。

QS : RS = PQ : PR
x : (x + 6) = 4 : 7
7x = 4(x + 6)
7x = 4x + 24
3x = 24
x = 8
RS = 8 + 6 = 14

答えは Q の外側で QS = 8、RS = 14 です。14 − 8 = 6、8 : 14 = 4 : 7 となり、元の辺の長さと比に戻ります。4 + 6 > 7 なので、指定の三角形も存在します。もし S を R 側に置くと QS > RS となり、4 : 7 に反します。式を立てる前にこの矛盾を発見できます。

発展例題：外分点から辺を求める

三角形 ABC で BC = 8、AC = 6 とします。A の外角の二等分線が BC の C 側の延長と D で交わり、CD = 12 です。AB の長さを既約分数または整数で求め、内角と外角の二等分線がなす角も求めてください。

B、C、D の順なので BD = 8 + 12 = 20 です。定理の比に代入し、AB = y とします。

BD : DC = AB : AC
20 : 12 = y : 6
12y = 20・6
12y = 120
y = 10

AB = 10 です。6 + 8 > 10、8 + 10 > 6、10 + 6 > 8 ですから、非退化な三角形が存在します。元の比も 20 : 12 = 10 : 6 で、BD − CD = 8 です。A の内角を 2θ とすると、隣の外角は 180° − 2θ です。各二等分線の間の角は θ + (180° − 2θ)/2 = 90° です。外角の取り方を反対にしても二等分線は同じ直線なので、直線どうしは垂直です。

この問いで CD を変えれば、計算された AB が常に三角形を作るとは限りません。求めた値が正でも、3辺のうち最大のものが残り2辺の和より小さいかを別に確かめます。等号なら3点が一直線上に並び、ここで扱う三角形にはなりません。

差を和に変えてしまったら

図3のように B、C、D の順に並び、BC = 4、CD = 6 なら BD = 10 です。ここで「BD + CD = BC」とする誤答は、共通部分 CD を2度足しています。BD は BC と CD を合わせた長さですから、正しくは BD − CD = BC です。

修正するときは、図3のように最も長い線分 BD を指し、その中に BC と CD が隙間なく並ぶことを確認します。次に BD = BC + CD と書いてから、求める量に合わせて移項します。図が左右反転していても、点の順序が同じなら関係は変わりません。

別の誤りは、BD : DC = AC : AB と片側だけ逆にすることです。BD が DC より長い配置では、右側も前の項が長い AB : AC でなければなりません。また AB = AC のときに式を割って数を出そうとするのも誤りです。分母が0なら計算を止め、二等辺三角形で直線が平行になることに戻ります。

計算結果を図に戻す順序

比の式から得た値が正であることは、位置を選んだ仮定と一致するための第一歩です。続けて、遠い端点から D までの距離から近い端点から D までの距離を引き、もとの辺の長さに戻るかを調べます。その後、距離の比が頂点 A に接する2辺の比と一致するかを確かめます。差と比は異なる条件なので、どちらか一方の確認では足りません。

問題の条件から辺を逆算した場合は、さらに三角形の成立も必要です。3辺の最大値が他の2辺の和以上なら、比の式だけに合う値が得られても、非退化な三角形の答えとしては採用できません。問題に図が添えられていても、見た目の大きさで成立を判断せず、与えられた値で確かめます。

練習問題

各三角形は非退化とし、長さは指定の形で答えてください。外角の二等分線は、指定した頂点で辺を延長してできる外角の二等分線を含む直線とします。

1. 三角形 ABC で AB = 7、AC = 5、BC = 6 です。A の外角の二等分線と直線 BC の交点を D とします。D の位置と CD、BD を整数で求めてください。
2. 三角形 PQR で PQ = 3、PR = 5、QR = 4 です。P の外角の二等分線と直線 QR の交点を S とします。S の位置と QS、RS を整数で求めてください。
3. 三角形 ABC で BC = 9、AC = 8 です。A の外角の二等分線が BC の C 側の延長と D で交わり、CD = 18 です。AB を整数で求めてください。
4. 三角形 ABC で AB = AC = 5、BC = 6 です。A の外角の二等分線と直線 BC は交わりますか。理由を述べてください。
5. 三角形 ABC の A の内角が 74° です。A の内角の二等分線と、隣の外角の二等分線のなす角を度数で求め、理由を述べてください。

練習の解答と確かめ

1. AB > AC より D は C 側です。CD = x とすると BD = x + 6 で、(x + 6) : x = 7 : 5 です。5(x + 6) = 7x、30 = 2x、x = 15 です。CD = 15、BD = 21 です。21 − 15 = 6、21 : 15 = 7 : 5 で条件に戻ります。5 + 6 > 7 です。

2. PQ < PR より S は Q 側です。QS = x、RS = x + 4 とすると x : (x + 4) = 3 : 5 です。5x = 3x + 12、2x = 12、x = 6 です。QS = 6、RS = 10 です。10 − 6 = 4、6 : 10 = 3 : 5 で条件に合います。3 + 4 > 5 です。

3. BD = 9 + 18 = 27 です。AB = y とすると 27 : 18 = y : 8 なので、18y = 27・8、y = 12 です。AB = 12 です。27 : 18 = 12 : 8、27 − 18 = 9 で元の条件を満たします。8 + 9 > 12 なので三角形も存在します。

4. 交わりません。AB = AC なので A の内角の二等分線は BC に垂直です。外角の二等分線は内角の二等分線に垂直で、BC に平行です。5 + 5 > 6 ですから、三角形は非退化です。仮に交点があれば外分の比は 1 : 1 ですが、外側の点から B、C までの距離は等しくなりません。

5. 内角の半分は 37°、隣の外角は 180° − 74° = 106°、その半分は 53° です。したがって 37° + 53° = 90° です。2・37° = 74°、2・53° = 106° で元の角に戻ります。

要点

• 外角の二等分線が辺の直線と交わるとき、BD : DC = AB : AC です。
• 長い辺に対応する端点からの距離が長くなり、交点は短い辺に隣接する端点の外側です。
• 外分では長い距離と短い距離の差が元の辺です。
• 等辺なら外角の二等分線は残りの辺に平行で、交点はありません。
• 内角と隣の外角の二等分線は垂直です。

答えに至る途中を見分ける

長さが負になった場合は、計算をやり直す前に交点を置いた側と辺の大小を照らします。正の答えでも、辺の差と比の両方に戻らなければ、図と式が対応していない可能性があります。等辺の場合に数値を求め始めたら、まず直線の平行を説明できるか確かめます。

個別指導では、点を順に読み上げて長い線分を短い2本の和に表せるか、比の各項がどの端点からの距離かを本人に説明してもらいます。さらに辺の長さを入れ替えたとき、交点が反対側に移る理由を比の大小から言えるかも見ます。外分の式は、点の位置を言葉で確定してから立てられます。