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高校数学A 連続する整数の倍数性—余りによる分類で積が割り切れる理由を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 整数の性質を掘り下げる

連続する3整数の積が6で割り切れる根拠を余りで示し、24の倍数になる条件や、6で割った商の偶奇まで考えます。

よくあるのは、連続する3個の整数の積について、高校生が「6で割り切れます」と書いたところで筆が止まる場面です。実際にいくつか掛け算して余りが0になっても、まだ調べていない整数は残ります。負の整数や0を含めてもよいのか、なぜ2と3の両方が積に入るのかを言葉と式でつなぎましょう。

どこに割り切れる数が隠れているか

問いの形は主に3つあります。連続する2個の積が偶数であることを示す問い、3個の積が6の倍数であることを示す問い、積に別の条件を加えてさらに大きい数で割れることを示す問いです。最初に連続しているのが整数なのか、奇数だけなのかを読み、積を文字で表します。例えば最初の整数を n とすれば、連続する3個は n、n + 1、n + 2 です。

ここで n は正整数に限りません。特に指定がなければ、負の整数と0も含む整数とします。負の数でも、正の整数で割った余りを0以上、割る数未満に取れます。積が0になる場合も、0 = 6・0 と書けるので6の倍数です。

もう一つの読みどころは結論の向きです。「積が6で割り切れる」ことを示すには、積が6に整数を掛けた形になることが必要です。一方、特定の数が6で割り切れることだけから、その数が連続する3個の積と限ることはできません。与えられた条件から結論に向かって、必要な因数を一つずつ確保します。

余りの列で因数を探す

整数 A が正整数 d で割り切れるとは、ある整数 q を使って A = dq と書けることです。たとえば A が偶数なら A = 2q です。積の中のどれか1つが d の倍数なら、残りの因数も整数なので積全体が d の倍数になります。割り切れる因数がどの位置にあるか、先に調べるのが第一歩です。

図1のように、整数を3で割った余りは0、1、2のいずれかです。最初の数の余りが0なら最初、1なら3番目、2なら2番目が3の倍数です。たとえば n = 3q + 2 なら n + 1 = 3(q + 1) となります。余りを出尽くしているので、負の n も見落としません。

図1では色を変えた位置が3の倍数です。3で割った余りが2の次に0へ戻ることを、n + 1 = 3(q + 1) の式で確認できます。3個とも3の倍数という意味ではなく、各行で1個が3の倍数です。

2については、n = 2q または n = 2q + 1 です。前者では n、後者では n + 1 = 2(q + 1) が偶数です。したがって連続する2個には必ず偶数があり、3個の中にも偶数があります。偶数と3の倍数が同じ位置にあっても、異なる位置にあっても、積全体は2の倍数かつ3の倍数です。

ここで「2の倍数かつ3の倍数」から「6の倍数」へ進む根拠が必要です。積を A とすると、A = 2q で q は整数です。A も3の倍数なので、q を3で割った余りが1なら 2q の余りは2、余りが2なら 2q の余りは1となり、どちらも不適です。よって q は3の倍数で、q = 3t と書けます。したがって A = 2・3t = 6t です。この理由は2と3に共通する正の約数が1しかない、つまり互いに素であることに対応します。

このまとめ方は何にでも使えるわけではありません。例えば8は4の倍数であり2の倍数ですが、8は4・2 = 8の倍数なので、この数だけを見ると問題が見えません。12に変えると4の倍数かつ2の倍数でも8の倍数ではありません。4と2には共通因子2があるため、同じ2を二度数えてしまうからです。割る数どうしが互いに素かを確かめてからまとめます。

文部科学省の学習範囲では、数学Aの「数学と人間の活動」で整数の約数や倍数を扱います。ここでは連続する2個と3個の積に絞り、個数を一般化する公式には進みません。

基本例題：3個の積を6で割る

問題。n を0を含む任意の整数とします。n(n + 1)(n + 2) が6の倍数であることを証明し、n = -5 の場合に積と商を整数で求めてください。

まず2で割った余りを考えます。n が偶数なら n が2の倍数です。n が奇数なら n + 1 が2の倍数です。どちらの場合も3個の積は2の倍数です。

次に3で割った余りで分類します。図2のように、最初の数の余りによって3の倍数の場所が変わります。q を整数として各場合を式にします。

図2の各行は次の式に対応します。

n = 3q     のとき n = 3q
n = 3q + 1 のとき n + 2 = 3(q + 1)
n = 3q + 2 のとき n + 1 = 3(q + 1)

よって積は3の倍数でもあります。2と3は互いに素なので、先ほど示した理由により積は6の倍数です。3で割った余りの3通りは重ならず、どの整数もいずれかに入るため、これで全整数について証明が終わります。

指定された具体値も戻します。

n = -5
n + 1 = -4
n + 2 = -3
n(n + 1)(n + 2) = (-5)(-4)(-3)
= -60
-60 = 6・(-10)

積は -60、6で割った商は -10 です。積が負でも商が整数なら倍数です。具体値の確認は証明の代わりではなく、負の数を含めて式を読み違えていないかを見る作業です。

標準例題：さらに2をもう1個確保する

問題。n を0を含む任意の整数とします。n が偶数であるとき、n(n + 1)(n + 2) は必ず24の倍数になることを証明してください。

n が偶数なので、ある整数 k を用いて n = 2k と書けます。両端の n と n + 2 はどちらも偶数ですが、それだけでは4の因数を確保するにとどまります。24 = 8・3 を目指すには、もう1個の2が必要です。

両端を2で割ると、k と k + 1 という連続する2個の整数になります。この2個のうち一方は偶数なので、k(k + 1) は2の倍数です。ある整数 t に対して、順に次のように書けます。

n = 2k
n + 2 = 2(k + 1)
k(k + 1) = 2t
n(n + 1)(n + 2) = 2k(n + 1)・2(k + 1)
= 4k(k + 1)(n + 1)
= 8t(n + 1)

これで積は8の倍数です。また、連続する3個には3の倍数が含まれます。8と3は互いに素です。実際、積を8uと置き、uを3で割った余りが1または2なら、8uは3の倍数にならないので、uは3の倍数です。u = 3v と置けば、積は 24v です。v は整数であり、結論が得られます。

条件の「n が偶数」を消すと同じ結論にはなりません。例えば n = 1 では積は 1・2・3 = 6 で、24の倍数ではありません。3個のうち偶数が1個だけの場合もあるので、両端が偶数という条件を使う位置を明示する必要があります。

発展例題：積を割った商の偶奇を決める

問題。n を0を含む任意の整数とし、P = n(n + 1)(n + 2) とします。P を6で割った商が偶数になるのはどのような n のときか、n を4で割った余りを使ってすべて答え、理由を示してください。

基本例題により P は6の倍数なので、P/6 は整数です。この商が偶数であることと、P が12の倍数であることは同じです。実際、P/6 = 2h なら P = 12h、P = 12h なら P/6 = 2h です。ここで h は整数です。

P はいつでも3の倍数ですから、12 = 4・3 を確保するには4の倍数になる場合を調べれば十分です。4と3は互いに素です。n の余りを0、1、2、3に分け、4の因数がどこにあるかを確認します。

n = 4k     のとき n は4の倍数
n = 4k + 1 のとき n + 1 = 4k + 2
n = 4k + 2 のとき n + 2 = 4(k + 1)
n = 4k + 3 のとき n + 1 = 4(k + 1)

余りが0、2、3なら、積中に4の倍数があり、P は4の倍数です。したがって3の倍数でもある P は12の倍数となり、商は偶数です。

余りが1の場合には、両端 n と n + 2 が奇数で、真ん中は2の倍数ですが4の倍数ではありません。奇数どうしの積は奇数なので、真ん中に含まれる2が1個しかなく、P は4の倍数になりません。ゆえに P は12の倍数ではなく、整数 P/6 は偶数ではありません。整数は偶数か奇数なので、この場合の商は奇数です。

答えは、n を4で割った余りが0、2、3の場合です。余り1を除く理由まで示すことで、「この条件なら偶数」という片方向だけでなく、該当する場合を漏れなく決められます。具体例として n = -1 では P = 0、商も0で偶数です。負数や0でも分類は崩れません。

誤答の因数をたどって直す

誤答は「連続する3個の積は偶数だから、また3で割れるから、6で割れる。よって連続する3個の積はいつでも12でも割れる」です。前半にも3で割れる根拠が不足し、後半では必要な2の数を取り違えています。

図3のように、3個のうち3の倍数があることは余り0、1、2で説明します。それとは別に12の因数は 2・2・3 です。2と6で割り切れることから、それぞれに含まれる2を別々に数えることはできません。

図3の具体例 5・6・7 = 210 は、2でも6でも割り切れますが、12で割ると余りが6です。2と6は互いに素ではないので、2・6の倍数とは限りません。修正するには、4で割り切れることを別に示し、その後で互いに素な4と3をまとめます。

また、連続する整数のうち1個が6の倍数でなければ積も6の倍数にならない、という考えも誤りです。例えば 7・8・9 ではどの因数も6の倍数ではありませんが、8が2の倍数、9が3の倍数なので積は6の倍数です。必要な因数は別々の整数から集めても構いません。ただし、集めた因数が同じ素因数を重複して要求していないかを点検します。

自分で確かめる5問

各問の文字は0を含む整数です。証明では、指定された割り切れる数の倍数になる理由を示してください。

整数 a に対して a(a + 1) が2の倍数であることを証明し、a = -7 の積と2で割った商を整数で求めてください。
整数 b に対して b(b + 1)(b + 2) が3の倍数であることを、b を3で割った余りで分類して証明してください。
偶数 c に対して c(c + 1)(c + 2) が8の倍数であることを証明し、c = 6 の積と8で割った商を整数で求めてください。
整数 d に対し、d(d + 1) が4の倍数となる d の4で割った余りをすべて求めてください。
整数 e について e(e + 1)(e + 2) を6で割った商が奇数となる e の4で割った余りをすべて求め、e = 9 で積と商を整数で確かめてください。

解答と考え方

a が偶数なら a が2の倍数です。a が奇数なら a + 1 が2の倍数です。どちらの場合も残る因数は整数ですから、積は2の倍数です。指定値を代入すると、次のように元の積に戻せます。

a(a + 1) = (-7)(-6)
= 42
42 = 2・21

積は42、商は21です。負の数から出発しても、2で割った余りによる2通りに入り、証明は同じです。

b = 3q、3q + 1、3q + 2 のいずれかです。q は整数とします。

b = 3q     なら b = 3q
b = 3q + 1 なら b + 2 = 3(q + 1)
b = 3q + 2 なら b + 1 = 3(q + 1)

各場合に因数の1つが3の倍数なので、3個の積も3の倍数です。例えば余り1の場合に b + 1 を選ぶと余りは2であり、3の倍数にはならないことに注意します。

c = 2k と置きます。k は整数で、k と k + 1 のどちらかは偶数です。よって整数 t を用いて次のように書けます。

k(k + 1) = 2t
c(c + 1)(c + 2) = 2k(2k + 1)・2(k + 1)
= 4k(k + 1)(2k + 1)
= 8t(2k + 1)

よって8の倍数です。c = 6 なら積は 6・7・8 = 336 で、336 = 8・42 です。商42を8倍すると元の積336に戻ります。

d を4で割った余りが0なら d が4の倍数、3なら d + 1 が4の倍数です。余りが1なら d は奇数で d + 1 は4で割ると余り2、余りが2なら d は余り2で d + 1 は奇数です。後の2通りでは積に含まれる2は1個なので、4の倍数ではありません。答えは余り0または3です。0を含む負の整数にも、この余りの分類を使えます。
積は6の倍数です。商が偶数となるのは積が12の倍数となる場合であり、3の因数は必ずあるので4の倍数になるかを調べます。e の余りが0、2、3なら3個のいずれかが4の倍数です。余り1なら両端が奇数で中央が4で割ると余り2なので、積は4の倍数ではありません。したがって商が奇数となる答えは余り1です。

e = 9
 e(e + 1)(e + 2) = 9・10・11
= 990
990 = 6・165

指定された e = 9 の余りは1で、商165は奇数です。商を6倍すると990に戻り、元の3個の積とも一致します。1個の例は分類を確認するためのもので、すべての場合の証明は余りの検討が担います。

要点を短く

連続する2個には偶数があり、3個には3の倍数があります。割り切れる因数は異なる位置から集められます。割る数を掛け合わせる前に、互いに素か確かめます。同じ素因数の重複は、必要な個数を別に数えます。余りの全場合を調べ、負の整数と0も条件に戻します。

手が止まる位置を見分ける

2の倍数を見つけられても3の倍数の位置を言えない場合は、最初の数を3で割った余りごとに、どの項へいくつ足すかを書いてみます。3の倍数の存在は言えても6に進めない場合は、積を2qと置き、qが3の倍数である理由を説明します。12まで結論を強めた場合は、2が何個必要か、実際にいくつ確保したかを数え直します。

個別指導で確かめるなら、答えを先に示すより、本人に「n = 3q + 1 のとき、3の倍数はどの項か」と尋ね、その項を3の整数倍に直してもらいます。次に、4と2を掛けてよいかを具体数で判定し、互いに素という条件が必要な理由を言葉にします。積を眺めるだけでは見えない因数も、余りを並べると居場所が定まります。