高校数学A 積が一定の整数解—正負の約数の組を並べて因数分解した方程式を解く｜武蔵野個別指導塾

正負と順序を分け、因数から元の式へ戻って積が一定の整数解を探ります。

よくあるのは、高校生が積の方程式で正の因数の組を並べ、それで整数解を出し切ったと思う場面です。積が正なら、2つとも負の組もあります。また、左の因数と右の因数を入れ替えると、一般には別の解になります。どちらか一方が負なら積は負です。符号と順序を表で管理し、最後に変形前の式へ戻して確かめましょう。

数学Aの「数学と人間の活動」では整数の約数や倍数を扱います。ここでは積が0でない整数となる場合に範囲を絞り、一般の二次方程式は扱いません。

要点（結論から）

• 積が0でないとき、各因数はその積の正または負の約数です。
• 積の符号から因数の符号を決め、順序も調べます。
• 移動した因数から元の文字へ戻し、条件と元の式を確かめます。

どんな形で問われるか

1つ目は、xy = N を満たす整数 x, y の組を求める型です。N が正か負かによって、2つの符号の組合せが変わります。N は0でないため、x も y も0にはなれません。正の約数だけを並べて終えると、負の整数を含む解が抜けます。

2つ目は、xy に x や y の項が加わった式を変形し、(x + a)(y + b) = N とする型です。積の中の数と、求める x, y は別です。例えば x + a が決まったら、a を引いて x に戻します。元の式を展開して確かめれば、加えた定数の間違いも見つけられます。

3つ目は、範囲や大小の条件を加えて組を選ぶ型です。最初に候補を漏れなく作り、元の文字に戻してから条件を判定します。因数の大小がそのまま x と y の大小になるとは限りません。移動する量が違うからです。

因数の組を漏れなく作る

整数 d が0でない整数 N の約数であるとは、N = d・k となる整数 k が存在することです。N が正でも負でも、正の約数と負の約数を考えられます。xy = N なら x は N の約数で、対応する y は N/x です。逆に、N の約数を x として選び、y = N/x と置けば、整数の組が得られます。この往復が、列挙に漏れがない理由です。

図1のように、積が正なら符号は同じ、積が負なら符号は異なります。これは正負の数の掛け算から直接確かめられます。0は積を0にするので、今回の N ≠ 0 という条件では候補に入りません。

正の約数の組を作るときは、小さい方を順に試します。N の絶対値を M として、d が M の約数なら相手は M/d です。d が相手以下のところまで調べれば、残りはそれまでの組の順序を入れ替えたものです。平方数の場合、中央で d と相手が同じになる組は、入れ替えても同じ組です。重複して数えないようにします。

ただし、(x, y) は順序を持つ組です。x = 1, y = 7 と x = 7, y = 1 は別です。問題が「異なる2数の組」を順序なしで求める場合とは扱いが違います。表には左と右の列名を書き、入れ替えた行も必要かを確認します。

(x + a)(y + b) = N では、まず u = x + a、v = y + b と置きます。a, b が整数なら、整数 x, y に対して u, v も整数です。逆に整数 u, v から x = u − a、y = v − b と一意に戻れます。この対応があるため、uv = N の組を全部調べる方法は、元の整数解を落としません。

基本例題：積が正のとき

整数 x, y が xy = 28 を満たします。順序を区別して、整数解 (x, y) をすべて求めてください。

28 の正の約数を小さい方から調べます。1、2、4 は割り切れ、相手はそれぞれ 28、14、7 です。5 以上で相手以下の整数はありません。例えば 5・5 = 25 ですが、5 は 28 を割り切らず、6・6 = 36 は28を超えます。したがって正の因数の組は3組です。

図2のように、各組について順序を入れ替え、両方に負号を付けます。28は平方数ではないので、入れ替えで同じ行になる組はありません。

1・28 = 28
2・14 = 28
4・7 = 28
(-1)・(-28) = 28
(-2)・(-14) = 28
(-4)・(-7) = 28

順序も含めた答えは、(1, 28)、(28, 1)、(2, 14)、(14, 2)、(4, 7)、(7, 4)、(-1, -28)、(-28, -1)、(-2, -14)、(-14, -2)、(-4, -7)、(-7, -4) です。正の約数を左側に置く6通りと、負の約数を左側に置く6通りを調べたので、計12組です。

元の条件は積だけです。それぞれの行の積が28であり、並べ替えは積を変えません。逆に、どの解でも x は28の正または負の約数なので、この一覧のいずれかに入ります。適当にいくつか代入して合ったことと、候補を尽くしたことは別の確認です。

標準例題：移した後の数から戻る

整数 x, y について xy + 2x − 3y = 41 を満たす順序つきの組 (x, y) をすべて求めてください。

左辺に -6 を加えると、積の形が作れます。等式の両辺に同じ数を加えるので、解は変わりません。

xy + 2x - 3y = 41
xy + 2x - 3y - 6 = 35
(x - 3)(y + 2) = 35

u = x − 3、v = y + 2 と置きます。u, v は整数で、uv = 35 です。正の因数は 1・35、5・7 の2組です。符号が同じであることと順序を考えると、u に入る数は 1、5、7、35 とその負の数です。各 u に対して v = 35/u、x = u + 3、y = v − 2 とします。

(u, v) = (1, 35)   → (x, y) = (4, 33)
(u, v) = (5, 7)    → (x, y) = (8, 5)
(u, v) = (7, 5)    → (x, y) = (10, 3)
(u, v) = (35, 1)   → (x, y) = (38, -1)
(u, v) = (-1, -35) → (x, y) = (2, -37)
(u, v) = (-5, -7)  → (x, y) = (-2, -9)
(u, v) = (-7, -5)  → (x, y) = (-4, -7)
(u, v) = (-35, -1) → (x, y) = (-32, -3)

例えば (8, 5) は元の左辺が 8・5 + 2・8 − 3・5 = 41 です。(-32, -3) も (-32)・(-3) + 2・(-32) − 3・(-3) = 41 です。他の行も同じように元へ戻せます。u と v の一覧が尽き、戻す操作も一対一ですから、上の8組が答えです。

(x − 3)(y + 2) の定数項は -6 です。元の式にその項はないため、展開を省くと右辺を41のままにする誤りが起こります。積の形を作る前後で、両辺に同じ操作をしたかを見てください。

発展例題：負の積と大小条件

整数 x, y が xy − 4x + 2y = -39 を満たします。さらに x < y とします。順序つきの整数解 (x, y) をすべて求めてください。

まず積を作ります。加える定数は、x の係数 -4 と y の係数 2 の積です。

xy - 4x + 2y = -39
xy - 4x + 2y - 8 = -47
(x + 2)(y - 4) = -47

u = x + 2、v = y − 4 と置けば、uv = -47 です。47 は 1 と47以外に正の約数を持ちません。2、3、4、5、6 で割り切れず、7・7 は47を超えるからです。積が負なので、u と v は異符号です。

(u, v) = (1, -47)  → (x, y) = (-1, -43)
(u, v) = (47, -1)  → (x, y) = (45, 3)
(u, v) = (-1, 47)  → (x, y) = (-3, 51)
(u, v) = (-47, 1)  → (x, y) = (-49, 5)

元の文字で大小を調べると、前の2行は x < y を満たさず、後の2行は満たします。答えは (-3, 51)、(-49, 5) です。u < v だけを調べて済ませることはできません。条件は u − 2 < v + 4 であり、u と v の単純な大小とは異なるからです。

検算では元の式へ戻します。(-3, 51) では (-3)・51 − 4・(-3) + 2・51 = -39 です。(-49, 5) では (-49)・5 − 4・(-49) + 2・5 = -39 です。どちらも指定の大小を満たします。4行の因数の候補をすべて判定したので、ほかに条件に合う解はありません。

誤答から直す：因数を解にしていないか

標準例題で (x − 3, y + 2) = (5, 7) を見つけ、「(x, y) = (5, 7)」と答える誤りを考えます。因数の積は 5・7 = 35 ですが、元の式の左辺に (5, 7) を入れると 5・7 + 2・5 − 3・7 = 24 です。41に戻りません。

原因は、因数の値と元の文字の値を同じものとして扱ったことです。図3のように、x − 3 = 5 から x = 8、y + 2 = 7 から y = 5 と逆向きに操作します。修正後は 8・5 + 2・8 − 3・5 = 41 です。因数の積だけでなく元の式も確認することで、この取り違えを見つけられます。

別の誤りは、正の積だから両方とも正と決めることです。負と負の積も正ですから、基本例題なら (-1, -28) が抜けます。一方、負の積で両方に同じ符号を付けると条件を満たしません。積の符号を最初に見て、その後で順序を扱うと、二種類の判断が混ざりにくくなります。

候補が0になるかどうかも、どの文字についての条件かに注意します。積が0でないため u と v は0になりませんが、移動後の x や y は0になることがあります。元の文字が0でもよいとき、因数が0でないという理由だけで除いてはいけません。

練習問題

いずれも x, y は0を含む整数です。答えは順序つきの組 (x, y) で、条件を満たすものをすべて示してください。

1. xy = -22 を解いてください。
2. xy = 49 を解いてください。
3. xy + x + 2y = 19 を解いてください。
4. xy − 2x − y = 19 を解いてください。
5. xy + 3x − 2y = -29 を満たし、x ≥ 0 かつ y < 0 である組を求めてください。

練習問題の解答と考え方

1. 22 の正の因数の組は 1・22 と 2・11 です。積が負なので一方に負号を付け、順序を入れ替えます。

(x, y) = (1, -22), (22, -1), (2, -11), (11, -2)
(x, y) = (-1, 22), (-22, 1), (-2, 11), (-11, 2)

各組は絶対値の積が22で符号が異なるので、元の積は -22 です。x は22の正負の約数のいずれかであり、対応する y は一意です。

2. 49 = 1・49 = 7・7 です。正負をそろえ、順序を区別します。

(x, y) = (1, 49), (49, 1), (7, 7)
(x, y) = (-1, -49), (-49, -1), (-7, -7)

7と7の行は順序を交換しても同じです。各積が49に戻ることと、正の約数が1、7、49に尽きることを確認します。

3. 次のように両辺に2を加えます。

xy + x + 2y = 19
xy + x + 2y + 2 = 21
(x + 2)(y + 1) = 21

因数の組は (1, 21)、(3, 7)、(7, 3)、(21, 1) と、各組の両方に負号を付けたものです。左の因数から2、右の因数から1を引くと、答えは (-1, 20)、(1, 6)、(5, 2)、(19, 0)、(-3, -22)、(-5, -8)、(-9, -4)、(-23, -2) です。例えば (19, 0) も許され、元の式は 19・0 + 19 + 2・0 = 19 です。他の行も積21に戻り、等式変形を逆にたどれば元の値は19です。

4. 両辺に2を加えます。

xy - 2x - y = 19
xy - 2x - y + 2 = 21
(x - 1)(y - 2) = 21

左の因数に1、右の因数に2を加えて戻すと、答えは (2, 23)、(4, 9)、(8, 5)、(22, 3)、(0, -19)、(-2, -5)、(-6, -1)、(-20, 1) です。例えば (0, -19) では 0・(-19) − 2・0 − (-19) = 19 です。正負の約数を順序つきで使い切っており、各組を変形後の積に戻すと21です。

5. 両辺から6を引きます。

xy + 3x - 2y = -29
xy + 3x - 2y - 6 = -35
(x - 2)(y + 3) = -35

u = x − 2、v = y + 3 とすれば uv = -35 です。x ≥ 0 より u ≥ -2、y < 0 より v < 3 です。負の積の組を調べると、正の u に対応する負の v はすべて条件に合います。負の u では u = -1 だけが u ≥ -2 を満たしますが、そのとき v = 35 なので v < 3 を満たしません。

(u, v) = (1, -35), (5, -7), (7, -5), (35, -1)
(x, y) = (3, -38), (7, -10), (9, -8), (37, -4)

この4組が答えです。x はいずれも0以上、y は負です。例えば (3, -38) は 3・(-38) + 3・3 − 2・(-38) = -29 となります。他の組も因数の積が -35 で、定数を戻すと元の左辺は -29 です。範囲を満たさない因数も判定したので、候補の取りこぼしはありません。

要点

• 積が0でないとき、各因数はその積の正または負の約数です。
• 積の符号から因数の符号を決め、順序も調べます。
• 移動した因数から元の文字へ戻し、条件と元の式を確かめます。

つまずきを見分けるには

正の組だけを書いた人には、「負の2数を掛けると何になるか」を一例で説明してもらいます。正負は合っていても組が足りない場合は、左の数を固定すると右が一意に決まることと、入れ替えで別の順序になることを表で確かめます。

個別指導では、因数分解の式を展開して元の左辺との差を説明できるか、因数の値から x, y を戻せるかを順に見ます。最後に元の式と大小条件へ代入する理由を本人の言葉で確認します。因数の組を尽くした根拠があれば、答えの一覧にも自信を持てます。