高校数学A 平方数になる最小の倍数—指数の偶奇から掛ける数と割る数の条件を決める｜武蔵野個別指導塾

素因数の指数をそろえて最小の掛け数を求め、割る場合や三乗との違いにも踏み込む平方数の考え方です。

よくあるのは、高校生が素因数分解を終え、奇数の指数に丸を付けたところで手を止める場面です。丸を付けた指数そのものを掛けるのか、その指数の付いた素数を掛けるのかで迷います。平方数を作るには、同じ素数を2個ずつ組にできるかを調べます。何を何個補うのかが見えれば、最小という条件も説明できます。

要点（結論から）

• 平方数の素因数の指数は全て偶数で、逆も成り立ちます。
• 最小の掛け数には、奇数指数の素数を1個ずつ使います。
• 割る数の指数は元の指数以下で、元の指数と同じ偶奇です。

問いの形を先に読む

出方の1つは、正整数 N に正整数 k を掛けて Nk を平方数にする問題です。最小の k を求めるときは、平方数になることに加え、それより小さい正整数では実現しないことも示します。N 自体が平方数なら、何も補わないことに対応する k = 1 が答えです。0 を掛ければ 0 も平方数ですが、k は正整数なので候補に入りません。

もう1つは、N の正の約数 d で割り、N/d を平方数にする問題です。こちらでは不足分を増やすのでなく、N に含まれる素因数を取り除きます。割る数が約数という条件のおかげで、商は正整数です。全ての d を求めるのか、最小を求めるのかも読み分けます。

さらに、平方数を三乗の形と比べる問いでは、指数を2個ずつ組にする条件から3個ずつの条件へ切り替えます。同じ「余り」を使っても、調べる数が2か3かで補う個数が変わります。ここでは正整数の素因数分解を用い、平方の余りや不定方程式には踏み込みません。

素因数を2個ずつ組にする

正整数の平方数とは、整数 m を使って m² と表せる数です。正の平方数では m を正整数としてよいので、その素因数分解を2回掛けた形を考えます。素因数分解の一意性により、素数ごとの指数は元の指数の2倍になり、全て偶数です。反対に、正整数の素因数の指数が全て偶数なら、それぞれを半分にした積を2乗して元の数に戻せます。1 も 1² なので平方数です。

例えば 2³・7² では、2 が3個、7 が2個あります。図1のように、2 は1個が組から余り、7 は余りません。2 をもう1個掛ければ、2 の指数は4、7 の指数は2です。どの素数を補うかは、奇数の指数が付いている素数自身を見れば決まります。

図1の例で 3 を掛けても、2 の指数は3のままです。さらに 3 の指数が1になり、新たな不ぞろいまで生まれます。指数に現れた数字をそのまま掛けるのでなく、素数ごとの個数を数えることが出発点です。

一般に N のある素数 p の指数を a、k の指数を b とすると、Nk の指数は a + b です。a が偶数なら b = 0、a が奇数なら b = 1 が、それぞれ条件を満たす最小の非負整数です。N にない素数の指数も0なので、新たに掛ける必要はありません。各素数についてこの最小値を選んだ積を k₀ とすると、条件を満たすどの k も k₀ の倍数です。したがって k₀ が数としても最小です。指数を一つずつ最小にしただけでなく、倍数関係まで押さえるのが証明の要点です。

割る場合は、d の p の指数を c とすると 0 ≤ c ≤ a で、商の指数は a − c です。商が平方数になるには a − c が偶数、つまり c と a の偶奇が同じであることが必要十分です。c はその偶奇を保ちながら a 以下の範囲で選べます。掛ける場合も割る場合も指数の偶奇を見ますが、割る場合には上限がある点が違います。

基本例題：不足を掛けて最小にする

正整数 N = 392 に正整数 k を掛けます。Nk が平方数になる最小の k を整数で求め、その平方数も整数で答えてください。

まず、N を素因数分解します。

392 = 2・196
    = 2²・98
    = 2³・49
    = 2³・7²

2 の指数3は奇数、7 の指数2は偶数です。2 を1個補い、7 は補いません。図2のように、補う前後の指数を並べて確認します。

k = 2
392・2 = 2⁴・7²
        = (2²・7)²
        = 28²
        = 784

図2で 2 の指数が3から4になり、7 の指数は2のままです。条件を満たす k では、2 の指数が奇数でなければならないので、少なくとも 2 を因数に持ちます。よって k は2の正の倍数であり、2 より小さい正整数ではできません。答えは k = 2、平方数は 784 です。784 を 28・28 と計算して元の積に戻すと、392・2 と一致します。

試しに k = 7 とすると、積の指数は 2³・7³ です。両方が奇数のままで、平方数にはなりません。平方根を小数で計算して整数に近いか調べる方法では、最小である理由も示しにくくなります。指数なら、成立と最小性を同じ材料で説明できます。

標準例題：割って残す指数を選ぶ

正整数 N = 2⁵・3²・7 とします。N の正の約数 d のうち、N/d が平方数になるものを全て、整数として小さい順に求めてください。

N の素因数以外は約数 d に含められません。d の各指数をそれぞれ a、b、c とおくと、条件は次の範囲です。

d = 2ᵃ・3ᵇ・7ᶜ
0 ≤ a ≤ 5、0 ≤ b ≤ 2、0 ≤ c ≤ 1
N/d = 2⁵⁻ᵃ・3²⁻ᵇ・7¹⁻ᶜ

指数は整数です。商を平方数にするには 5 − a、2 − b、1 − c がいずれも偶数です。範囲内の選択肢をそれぞれ書き出します。

a = 1、3、5
b = 0、2
c = 1

3通り、2通り、1通りの組を作り、数に直します。

2¹・3⁰・7 = 14
2³・3⁰・7 = 56
2⁵・3⁰・7 = 224
2¹・3²・7 = 126
2³・3²・7 = 504
2⁵・3²・7 = 2016

したがって小さい順の答えは 14、56、126、224、504、2016 です。表にした指数の範囲が約数の条件を尽くし、偶奇による絞り込みが平方数の条件と同値なので、他に答えはありません。

元の条件にも戻しましょう。N = 2016 であり、順に割った商は 144、36、16、9、4、1 です。いずれも正整数の平方です。特に d = N の場合、商は 1 であり、素因数が残らないことを理由に除外してはいけません。最小の d だけを尋ねられたなら各指数を最小にして 14 とできますが、全てを求める問題では残りの選択肢も必要です。

発展例題：平方と三乗を同時に作る

正整数 N = 2⁴・5³ とします。正整数 k を掛けた Nk が、正整数の平方にも正整数の三乗にもなるようにします。そのような最小の k と、できた数を整数で求めてください。

正整数の三乗では、素因数の指数は3の倍数です。逆に全ての指数が3の倍数なら、各指数を3で割った数の積の三乗に戻せます。平方と三乗の両方になるには、各指数が2の倍数でも3の倍数でもなければなりません。そのような非負整数は6の倍数です。

2 の指数は4から、5 の指数は3から増えます。各指数以上の最小の6の倍数は、いずれも6です。したがって補う指数は次のようになります。

2 について 6 - 4 = 2
5 について 6 - 3 = 3
k = 2²・5³
  = 4・125
  = 500

元の数へ掛けて、平方と三乗の両方に戻します。

Nk = 2⁶・5⁶
   = (2・5)⁶
   = 1000000
   = 1000²
   = 100³

任意の条件を満たす k では、2 の指数は少なくとも2、5 の指数は少なくとも3です。よって k は 500 の倍数であり、500 が最小です。N に含まれない素数を足しても指数の不足は減らせません。平方にするだけなら指数を偶数にするだけで足りますが、三乗の条件まで同時に満たすには6の倍数で調べます。

間違いを指数に戻して直す

基本例題の N = 392 で、指数3を見て「3を掛ければよい」とする誤答を考えます。実際には次の通りです。

392・3 = 2³・3・7²

図3のように、2 の指数は変わらず、新しく3の指数1も現れます。指数3という数字は補う数ではなく、2 が何個あるかを表しています。奇数の指数を付けた素数2に注目し、その個数を1個増やすのが修正です。

また、2³ に 2³ を掛ければ指数は6になり、確かに平方数になります。しかし k = 8 は必要な1個より多く補っているので最小ではありません。成立する例を1つ作ることと、最小を証明することは別の作業です。正しい k が他の候補の約数になるかまで調べると、最小性の抜けを見つけられます。

割る問題では逆に、奇数指数の素数を全部取り除く方法も成立する場合があります。しかし全ての約数を尋ねられたとき、それだけでは他の選択が漏れます。残す指数を偶数にして、0 も含む範囲で列挙してください。割り切れない数を選んだ場合は、指数が負になり、正の約数という出発条件に戻って見直します。

練習：条件ごとに指数を選ぶ

次の各問は互いに独立です。指定のない文字は正整数とし、答えは整数で表してください。

1. N = 2・11³ のとき、Nk が平方数となる最小の正整数 k と、その平方数を求めてください。
2. N = 3³・5² の正の約数 d で、N/d が平方数となるものを全て小さい順に求めてください。
3. N = 7²・11 のとき、Nk が正整数の三乗となる最小の正整数 k と、その三乗数を求めてください。
4. N = 2²・13² のとき、Nk が平方数となる最小の正整数 k を求めてください。
5. N = 3⁴・7³ のとき、N/d が平方数となる正の約数 d のうち最大のものを求めてください。

練習の答えと解き方

1. 足す指数の最小値

2 と 11 の指数はともに奇数なので、それぞれ1個ずつ補います。

k = 2・11 = 22
Nk = 2²・11⁴
   = (2・11²)²
   = 242²
   = 58564

条件を満たす k は 2 と 11 の両方を因数に持つため、22 の倍数です。元の N は 2662 で、2662・22 = 58564 と戻せます。答えは k = 22、平方数は 58564 です。

2. 割る指数の選択肢

正の約数 d = 3ᵃ・5ᵇ の指数は、a が0以上3以下、b が0以上2以下です。商の指数 3 − a と 2 − b が偶数になる条件を使います。

a = 1、3
b = 0、2
d = 3、27、75、675

N = 675 なので、それぞれの商は 225、25、9、1 です。いずれも平方数で、指数の組は2通りずつの4組を尽くしています。したがって答えは 3、27、75、675 です。

3. 3個の組を作る

三乗の指数は3の倍数です。7 の指数2には1を、11 の指数1には2を加えると、どちらも3になります。

k = 7・11²
  = 847
Nk = 7³・11³
   = (7・11)³
   = 77³
   = 456533

条件を満たす k は 7・11² の倍数なので、847 が最小です。N = 539 であり、539・847 = 456533 と元の積に戻ります。平方数の問題と異なり、指数1に対して2個を補う点に注意します。

4. すでにそろっている場合

2 と 13 の指数はいずれも偶数です。したがって N は最初から平方数です。

N = (2・13)²
  = 26²
  = 676
k = 1

1 は正整数で、これより小さい正整数はありません。676・1 = 676 なので元の条件にも合います。答えは 1 です。新しい素数を掛けると、その素数の指数にも偶奇の条件が必要になります。

5. 最大の約数と商

N 自身は N の正の約数です。これで割ると商は 1 となり、1 = 1² です。

N = 3⁴・7³
  = 81・343
  = 27783
N/N = 1

正の約数は N 以下なので、条件に合う約数の中でも N が最大です。答えは 27783 です。指数で見ると、割る指数を4と3にすれば、商の指数はいずれも0です。掛ける場合の最小と同じ手順をそのまま使わず、求める大小と商の条件を確認します。

要点

• 平方数の素因数の指数は全て偶数で、逆も成り立ちます。
• 最小の掛け数には、奇数指数の素数を1個ずつ使います。
• 割る数の指数は元の指数以下で、元の指数と同じ偶奇です。
• 三乗では指数を3の倍数に、平方と三乗の両方では6の倍数にします。

手が止まったときの確認

自分の説明で「指数を増やす」と「素数を掛ける」を結び付けられるか、まず確かめてください。例えば指数が3から4になる操作を、どの素数を何個掛けたかまで言えれば、補う対象が明確です。個別指導では、成立する候補を作った後に、他の候補がその倍数になる理由を式で説明できるかを確かめます。割る問題では指数の上限と商が1になる場合も問い直します。指数の偶奇を素因数の個数に戻すと、平方数への道筋が見えます。