高校数学A 約数の総和—素因数ごとの選択を展開して約数を一度ずつ足し合わせる｜武蔵野個別指導塾

素因数ごとの累乗を足してから掛ける理由をたどり、条件付きの約数の総和や、総和から指数を求める手順を確かめます。

よくあるのは、高校生が約数の個数を求めた直後に、その式をそのまま約数の総和にも使う場面です。選び方が何通りあるかと、選んでできた数を全部足すといくつになるかは、違う問いです。たとえば本の束を何束作れるかと、各束に付けた番号の合計は同じではありません。素因数の指数を選ぶという共通の出発点から、足す数そのものを式に残して進みます。

要点（結論から）

• 正の約数は素因数ごとの指数を0から上限まで選んで作ります。
• 総和は選べる累乗の有限和を素因数ごとに掛けます。
• 条件付きの総和では、条件に合う指数だけを選びます。

問われているのは個数か、数の合計か

正整数の正の約数を並べて、その全部を足した値を約数の総和と呼びます。約数には1と元の数も入ります。負の約数を含める問題とは区別し、このページでは正の約数を扱います。元の数が1の場合、正の約数は1だけなので、その総和も1です。

出方の一つは、素因数分解された正整数から総和を求める問いです。もう一つは、偶数の約数など、条件を満たすものだけを足す問いです。さらに、指数を文字で表した数について総和から指数を決める問いもあります。どの型でも、まず対象の約数を明確にします。個数を求める積に指数の候補の数を入れるのに対し、総和を求める積には候補となる素数の累乗そのものを足して入れます。

数学Aの「数学と人間の活動」では、整数の約数や倍数などを扱います。ここでは総和の式を有限個の項の掛け算として作り、等比数列の和の公式は使いません。整数を素因数分解する操作は準備として用います。

一つの約数を一つの選択に対応させる

異なる素数 p、q と0以上の整数 a、b を使い、正整数 N = p の a 乗と q の b 乗の積とします。指数が0なら、その素数の部分は1です。正の約数 d は、p の指数を0からaまで、q の指数を0からbまで選ぶことで作れます。素因数分解の一意性により、異なる指数の組が同じ約数を作ることはなく、どの正の約数もこの形に入ります。

図1のように、各欄から1項ずつ選んで掛けます。展開では、そのような選択がすべて1回ずつ現れます。したがって次の積を展開した各項は、Nの正の約数と1対1に対応します。

(1 + p + p² + … + p の a 乗)
  ・(1 + q + q² + … + q の b 乗)

図1のように、たとえば左からp、右からq²を選ぶと pq² が1項として現れます。和の中の1は選択を省く印ではなく、指数0に対応する値です。pを使わない約数やqを使わない約数、さらに1も、この項によって数え落とさずに済みます。

この積の値が約数の総和です。候補が3種類以上の異なる素数でも同様に、それぞれの有限和を掛けます。素因数が1種類の場合は、その素数に対応する有限和だけです。個数の式と比べると、同じ選択を数える点は共通ですが、総和では各選択の積の値を足します。たとえば選択肢が1、p、p²なら、個数に使うのは3、総和に使うのは1 + p + p²です。

条件付きでも、選べる指数を先に制限すれば同じ考え方が使えます。ただし条件が複数の指数を同時に結び付ける場合、各欄を独立に制限できるとは限りません。条件に合う組を別々に列挙するか、全体から条件に合わない分を引いて確認します。図の対応が成立するかを先に調べることが、式の形を決める手掛かりです。

約数がすべて現れる理由を、逆方向からも見ます。Nの正の約数を一つ取ると、その素因数はNに含まれる素数に限られ、それぞれの指数はNの指数を超えません。したがって、その約数に対応する項を各括弧から選べます。逆に各括弧から選んだ積は、どの指数もNの指数以下なのでNを割り切ります。この両方向があるため、展開した項を足す操作が、求めたい約数を足す操作と一致します。

計算の途中で括弧の和が同じ値になることはあります。それでも異なる素数の欄を勝手にまとめてはいけません。まずそれぞれの欄がどの指数を表すかを保ち、最後に通常の整数の掛け算をします。条件が付いた問題では、条件を満たす約数が存在しない場合もあります。その場合は選択できる組がなく、対象の数の総和を0と考えます。条件に合う数を無理に作って足さないようにします。

基本例題：選択した値を全部足す

正整数 28 の正の約数の総和を整数で求めてください。

まず素因数分解します。各指数は0を含む範囲から選びます。

28 = 2²・7
2の部分は 1、2、4
7の部分は 1、7

図2のように、行と列の組に対応する積を並べると、正の約数がそれぞれ1回現れます。行の和を先に足しても、各欄の和を掛けても同じです。

(1 + 2 + 4)(1 + 7)
= 7・8
= 56

答えは56です。元の問いへ戻すと、表の各数は28を割り切り、並べた値の和は1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56です。2の部分が3通り、7の部分が2通りなので約数は6個ですが、6は総和ではありません。個数を求めた結果を総和の代わりにしないことが、最初の分かれ目です。

この数なら約数を直接列挙できます。数が大きい場合は列挙が長くなるため、素因数の指数の選択を式のまま保持します。ただし、和の項を省いてよいわけではありません。各指数について0から上限まで連続しているかを確認してから、括弧の中を計算します。

標準例題：条件に合わない分を外す

正整数 175 の正の約数のうち、5の倍数であるものの総和を整数で求めてください。

175 = 5²・7 です。5の倍数であるには、約数の5の指数が1以上でなければなりません。7の指数は0または1です。したがって選択できる値は次の通りです。

5の部分は 5、25
7の部分は 1、7
総和 = (5 + 25)(1 + 7)
     = 30・8
     = 240

答えは240です。実際に該当する約数は5、25、35、175で、その和は240です。各数は175を割り切り、いずれも5の倍数です。逆に5の指数が0の約数は条件に合わないので、括弧に1を入れません。

別の方法として全体から5の倍数でない分を引けます。全体の総和は (1 + 5 + 25)(1 + 7) = 31・8 = 248 です。5の指数が0の約数は1と7なので、その和8を引くと248 − 8 = 240です。2通りの考え方が一致します。条件を満たす指数が連続しない場合も、対象の項を直接選ぶか、補集合を引くかを比べるとよいでしょう。

発展例題：総和から指数を決める

nを0以上の整数とします。正整数 3ⁿ・11 の正の約数の総和が 480 であるとき、nを整数で求めてください。

3と11は異なる素数です。3の指数は0からnまで、11の指数は0または1です。有限和を S = 1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ と置くと、条件は次のように書けます。

S(1 + 11) = 480
12S = 480
S = 40

項を順に足して比較します。

n = 0 のとき S = 1
n = 1 のとき S = 1 + 3 = 4
n = 2 のとき S = 1 + 3 + 9 = 13
n = 3 のとき S = 1 + 3 + 9 + 27 = 40

n = 3が候補です。nを1増やすたびに正の項が加わるため、Sは必ず増えます。nが3より大きければSは40より大きく、3より小さい場合は上の一覧で40に届きません。よって他の候補はありません。

元の条件に戻すと、3³・11 = 297 で、正の約数の総和は (1 + 3 + 9 + 27)(1 + 11) = 40・12 = 480 です。したがって答えはn = 3です。数例を試して一致したことだけでは他の指数を除けません。増加する理由まで示すことで、解を尽くせます。

誤答を指数の選択まで戻して直す

28の総和を求める際に、2の指数が0、1、2の3通り、7の指数が0、1の2通りだから「3・2 = 6」と答える誤りを考えます。この計算は選択の組の個数を求めています。図3のように、各選択の値を足す問題なら、3という個数を1 + 2 + 4という値の和に置き換えます。

図3の左の式は6個という個数を表し、右の式は56という総和を表します。どちらも指数の範囲は同じですが、掛ける前に何をまとめたかが違います。答えの単位を「個」と書くべき問いか、整数の合計を求める問いかを問題文に戻って確認しましょう。

もう一つの失敗は、1を各括弧から抜くことです。28で (2 + 4)・7 とすると42になり、2の指数0や7の指数0を選んだ約数を落とします。指数0の値は1であり、約数1は必ず対象です。反対に、5の倍数という条件があれば5の欄の1は除きます。1を常に入れるか消すかを暗記せず、各欄の指数が条件を満たすかで判断します。

さらに、約数に負の数まで含めるかを読み違えると対象が変わります。ここでの例はすべて正の約数です。0は正の約数ではなく、元の正整数を0で割ることもできません。書き始める前に対象の範囲を確認し、計算後にも条件に戻って点検します。

練習問題

いずれも指定した正の約数を対象にし、答えは整数で求めてください。

1. 正整数 44 の正の約数の総和を求めてください。
2. 正整数 63 の正の約数のうち、3の倍数であるものの総和を求めてください。
3. 正整数 77 の正の約数のうち、7の倍数ではないものの総和を求めてください。
4. 正整数 52 の正の約数のうち、偶数であるものの総和を求めてください。
5. kを0以上の整数とします。正整数 5ᵏ・13 の正の約数の総和が434のとき、kを求めてください。

練習の解答と解き方

1. 44の約数の総和

44 = 2²・11
総和 = (1 + 2 + 4)(1 + 11)
     = 7・12
     = 84

答えは84です。正の約数は1、2、4、11、22、44であり、和は84です。各値は44を割り切り、指数の組は3通りと2通りの積で尽くされています。1と44を含むことも条件に戻して確認できます。

2. 3の指数に下限を付ける

63 = 3²・7
総和 = (3 + 9)(1 + 7)
     = 12・8
     = 96

答えは96です。該当する約数は3、9、21、63で、いずれも63を割り切り3の倍数です。和も96なので、条件と計算が一致します。3の指数0の項を入れると、3の倍数でない約数も足してしまいます。

3. 使わない素因数を決める

77 = 7・11
7の指数は 0
総和 = 1・(1 + 11)
     = 12

答えは12です。対象は1と11で、どちらも77の約数であり7の倍数ではありません。7を含む7と77は除きます。全体の和96から除いた2数の和84を引いても12です。

4. 偶数の約数を足す

52 = 2²・13
総和 = (2 + 4)(1 + 13)
     = 6・14
     = 84

答えは84です。2、4、26、52が偶数の正の約数で、すべて52を割り切り、和は84です。奇数の約数1と13を全体の総和98から引いても84です。偶数という条件は2の指数が1以上という条件に対応します。

5. 有限和を順に比べる

(1 + 5 + 5² + … + 5ᵏ)(1 + 13) = 434
1 + 5 + 5² + … + 5ᵏ = 31

k = 0、1、2に対する左辺は順に1、6、31です。以後は正の項を加えるので31を超えます。よってk = 2だけが条件を満たします。元の数は5²・13 = 325で、正の約数の総和は (1 + 5 + 25)(1 + 13) = 31・14 = 434です。指数が0以上の整数であることも満たします。

要点を手元に残す

• 正の約数は素因数ごとの指数を0から上限まで選んで作ります。
• 総和は選べる累乗の有限和を素因数ごとに掛けます。
• 条件付きの総和では、条件に合う指数だけを選びます。
• 個数と総和を区別し、答えを約数と元の条件へ戻します。

つまずきの見分け方

括弧に何を書けばよいか迷うときは、まず一つの約数を指して、各素数の指数がいくつか説明してみます。指数0を選べる理由、展開した項が重ならない理由を言葉にできれば、式と約数の対応を点検できます。条件付きなら、除いた項がなぜ条件に合わないかも確かめます。

個別指導で確かめるなら、学習者が作った括弧から一項ずつ選び、その積が元の整数を割り切るかを説明してもらいます。次に、任意の正の約数がどの選択に戻るかを尋ねます。両方向の対応を示せれば、漏れや重複を防ぐ理由が見えてきます。指数の選択が、約数の総和を支えます。