高校数学A 重複順列と整数—先頭と末尾の制限を先に決めて桁数をそろえる｜武蔵野個別指導塾

0を含む数字で整数を作るとき、先頭と末尾の制限を先に決めます。偶奇や両端の一致条件に応じて数え方を組み立てます。

よくあるのは、試作品の番号を作る高1が、数字を並べた記号列と整数を同じように数える場面です。例えば先頭に0がある3文字の番号は記号列としては使えても、3桁の整数にはなりません。右端に偶数の条件が付くと、今度は末尾に使える数字も限られます。各桁に何を置けるかを先に確かめ、重複使用の意味を保ったまま数えましょう。

どの桁に条件が付くか

数字を使った数え上げには、似ていても答えが変わる型があります。1つ目は、0を含む候補から指定された桁数の整数を作る型です。先頭の0を除く必要があります。2つ目は、偶数や奇数という条件が付く型です。末尾を先に調べると、使える数字が絞れます。3つ目は、特定の数字を少なくとも1回使う型です。使わない場合を全体から引く方法が役立ちます。

どの型でも、まず数字の再使用が許されるかを読みます。許されるなら、ある桁で使った数字を別の桁でも使えます。先頭と末尾の条件が違っても、各桁の候補が互いの選択に影響しなければ、それぞれの候補数を掛けられます。反対に、再使用が禁止なら、先に置いた数字により後の候補が変わるので、同じ式を使えません。

ここで扱う偶数・奇数の判定は末尾の数字に注目するためのものです。割り切れる条件を一般に調べる話には広げません。桁数、使える数字、再使用、先頭と末尾の条件を問題文から拾うことが出発点です。

記号列と整数を分ける

異なるn種類のものから重複を許してr個を順に選ぶとき、その並びはnのr乗通りです。各位置でn通りずつ選べ、前の選択が次の候補を減らさないからです。このような選び方を重複順列といいます。ただし、整数の先頭には別の制限があるため、全ての桁に同じ候補数を当てはめられるとは限りません。

積の法則は、ひと続きの選択が段階ごとに決まり、各段階の選び方の数がそれ以前の選択によらず一定のときに使えます。例えば先頭が3通り、中央が4通り、末尾が2通りなら、1つの選択の組はちょうど1つの整数を表し、逆に条件を満たす整数も1組に戻せます。したがって3・4・2通りです。候補数を掛ける前に、この対応が成立するかを確かめます。

図1のように、3桁の記号列では左端の0も文字として残ります。一方、3桁の整数では左端を0以外にします。中央や末尾には、ほかの条件がなければ0を置けます。0を使えないのは整数全体ではなく、桁数を決める先頭です。

図1の2つの枠は同じ数字の並びを異なる対象として読むことを示しています。例えば記号列「042」は3文字ですが、整数として読めば42であり、3桁ではありません。候補が0以外だけなら先頭0の除外は不要です。桁数が1の場合は先頭と末尾が同じ場所なので、両方の条件を同時に満たす数字を直接数えます。

偶数は一の位が0、2、4、6、8のいずれかの整数で、奇数は一の位が1、3、5、7、9のいずれかの整数です。問題で使える数字がその全てとは限らないので、候補集合との共通部分を取ります。例えば候補が0、1、4、7なら、末尾の偶数候補は0と4の2個です。0が偶数であることも数に反映されます。

基本例題：3桁の偶数

問題：数字0、1、2、3をそれぞれ何回使ってもよいものとします。これらを使ってできる3桁の偶数は何通りですか。整数の通り数を求めてください。

方針は、制限のある先頭と末尾を確認してから、自由な中央を埋めることです。百の位には0を置けませんから、1、2、3の3通りです。一の位には偶数の0または2を置くので2通りです。十の位は0を含む4通りです。同じ数字は何回でも使えるため、百の位に2を選んでも一の位に2を置けます。

図2のように桁ごとの候補を分けると、選択の組からできる整数が一意に決まります。逆に条件に合う整数を各桁に分解すると、その組に戻ります。重なりも取りこぼしもありません。

式は次のようになります。

3・4・2
= 12・2
= 24

答えは24通りです。例えば202は先頭が0でなく末尾が2なので含まれます。2を2回使っていますが、再使用を認めているので問題ありません。032は3桁の整数ではないので含まれません。図2では先頭の候補から0を外した時点で除かれています。

別の確かめ方として、末尾を0と2に分けます。末尾が0でも2でも、先頭は3通り、中央は4通りです。各場合が12通りで、末尾が異なれば同じ整数にはならないため、12 + 12 = 24通りです。末尾を先に決めることは、掛け算の順序を工夫することであり、整数を書く順序を変えることではありません。

標準例題：0を少なくとも1回使う

問題：数字0、1、2、3、4をそれぞれ何回使ってもよいものとします。これらを使う4桁の奇数のうち、0を少なくとも1回含むものは何通りですか。整数の通り数を求めてください。

一の位は奇数なので1または3の2通り、千の位は0以外の4通りです。間の2桁には各5通りあります。0を含む場所を直接分けると、両方の中間の桁が0の整数を重複して数えやすくなります。そこで4桁の奇数全体から、0を一度も含まないものを引きます。

全体は次の通りです。

4・5・5・2
= 100・2
= 200

0を一度も含まない場合は、千の位が4通り、中間の各桁も1、2、3、4の4通り、一の位は変わらず2通りです。

4・4・4・2
= 64・2
= 128
200 - 128
= 72

答えは72通りです。引いた128通りは全体に含まれ、0を含まないものに限られます。残ったものは少なくとも1つ0を含むので、2つ0がある場合も含みます。先頭と末尾には0を置けない条件なので、0の位置は中間の2桁に限られます。

直接数えても確かめられます。中間の2桁が、左だけ0、右だけ0、両方0の場合に分けると、それぞれ中間の選び方は4通り、4通り、1通りです。各場合で千の位4通り、一の位2通りを掛けると、32 + 32 + 8 = 72通りです。3つの場合は0の位置によって互いに区別でき、可能な位置の組を尽くしています。

発展例題：先頭と末尾が異なる

問題：数字0、1、2、3、4をそれぞれ何回使ってもよいものとします。これらで作る4桁の偶数で、千の位と一の位が異なるものは何通りですか。整数の通り数を求めてください。

再使用は許されていますが、先頭と末尾には互いに異なるという追加条件があります。したがって先頭の候補数と末尾の候補数を、何も考えず一定として掛けることはできません。末尾が0の場合と、0以外の偶数の場合で先頭の候補数が異なるからです。

末尾が0なら、千の位は1、2、3、4のいずれでも異なり、4通りです。中間の2桁は各5通りです。

4・5・5
= 100

末尾が2または4なら、末尾は2通りです。千の位は0と末尾に選んだ数字を除く3通りです。中間の桁には再使用の制限がないので各5通りです。

2・3・5・5
= 6・25
= 150
100 + 150
= 250

答えは250通りです。末尾が0か、2または4かで場合は重ならず、可能な偶数の末尾を尽くします。例えば2002は先頭と末尾が同じため除き、2004は中間の0を繰り返していても条件に合います。条件が異なるのは先頭と末尾だけなので、中間と同じ数字を使ったものまで除かないようにします。

全体から引く方法でも確認できます。先頭4通り、中間各5通り、末尾3通りで、4桁の偶数全体は300通りです。先頭と末尾が同じになる数字は、0では先頭に置けないため2または4の2通りです。中間は各5通りなので、除く数は2・5・5 = 50通りです。300 − 50 = 250通りとなり、場合分けと一致します。全体から引く場合も、引く対象が全体に含まれることを確かめてから計算します。

標準例題では0を含む位置が複数あり、含まない場合を引くと重複を避けられました。この例題では先頭と末尾の関係が候補数を変えるので、末尾で場合分けするか、一致する場合を引きます。条件を満たす配置と、除く配置を具体的に1つずつ作ると、どちらの方針が扱いやすいか判断できます。

誤答から候補を直す

基本例題で「4・4・2 = 32通り」としたとします。一の位の偶数候補は正しく2個ですが、百の位にも0を含めています。この式は先頭0の並びを含むため、求める3桁の整数より多く数えています。

図3のように、先頭0の並びを取り出してみます。十の位4通り、一の位2通りなので8通りです。032もこの中に入ります。これらを引けば32 − 8 = 24となり、先頭を3通りとして初めから数えた結果と一致します。

図3では全体の32通りを3文字の並びとして数え、そこから先頭0の8通りを除いています。3桁の整数として数えるときは、最初から先頭を3通りにする方が短く済みます。どちらの式も対象を言葉で添えれば、引いたものが何かを追えます。

別の誤りは、再使用可能なのに一度選んだ数字を消すことです。基本例題で百の位を2に決めても、一の位の2は残ります。逆に「先頭と末尾が異なる」と書かれた発展例題では、その2か所の間だけ制約を適用します。問題文にない禁止を増やすと、条件に合う整数を捨ててしまいます。

また、末尾を奇数にする問題で0を候補に入れることや、偶数にする問題で0を外すこともあります。数字の一覧から偶数と奇数を丸で分け、先頭の制限とは別に照合してください。条件が矛盾して使える候補がない場合は、その場合の数は0通りです。候補が空なのに1通りと数えると、存在しない整数が答えに混じります。

練習問題

いずれも指定された数字をそれぞれ何回使ってもよいものとします。答えは整数の通り数で求めてください。

1. 数字0、2、5を使ってできる3桁の整数は何通りですか。
2. 数字1、2、4、6を使ってできる3桁の奇数は何通りですか。
3. 数字0、1、3、6を使ってできる4桁の偶数のうち、0を少なくとも1回含むものは何通りですか。
4. 数字0、2、5、7を使ってできる3桁の整数で、先頭と末尾が同じものは何通りですか。
5. 数字0、1、4、5、8、9を使ってできる4桁の奇数で、先頭と末尾が異なるものは何通りですか。

答えと解き方

1. 答えは18通りです。先頭は2、5の2通り、残る2桁は各3通りです。

2・3・3
= 18

例えば202は再使用が許されるので含まれ、025は3桁ではないので含まれません。各整数から各桁の選択に戻せるので、掛け算に重複はありません。

2. 答えは16通りです。先頭に0が含まれていないため、先頭と中央は各4通りです。末尾は奇数の1だけです。

4・4・1
= 16

末尾の1は先頭や中央でも使えます。例えば111も条件を満たします。末尾が2、4、6のものは偶数なので含めません。

3. 答えは69通りです。4桁の偶数全体から0を含まないものを引きます。先頭は3通り、中間は各4通り、末尾は0または6です。0を含まないとき、中間は各3通り、末尾は6に限られます。

3・4・4・2 = 96
3・3・3・1 = 27
96 - 27 = 69

したがって答えは69通りです。例えば1006は0を2回含み、差を取った後に残ります。先頭0の並びは全体に入れていません。

4. 答えは12通りです。先頭と末尾の共通の数字は0以外の2、5、7から3通り、中央は4通りです。

3・4
= 12

例えば202は含みます。先頭と末尾を別々に選んで掛けると、同じという条件が外れるので注意します。

5. 答えは432通りです。奇数の末尾は1、5、9の3通りです。その各々について先頭は0と末尾の数字を除く4通り、中間は各6通りです。

3・4・6・6
= 12・36
= 432

したがって答えは432通りです。例えば1005は条件に合い、1001は先頭と末尾が同じなので除きます。中間での数字の再使用は自由です。

覚えておくこと

先頭0を除き、必要な桁数の整数にします。
偶奇は使える数字と一の位の条件を照合します。
再使用できるか、桁どうしの条件があるかを確かめます。
場合分けは重なりと漏れを調べ、余分を引く方法も比べます。

式のどこで迷っているか

先頭に0を置けると答えたときは、「その並びを整数として読んだら何桁か」を尋ねます。記号列としては成立することも認めたうえで、求める対象に戻すと違いが見えます。個別に式を確認するときは、最初の因数がどの桁のどの数字を表すか、候補を実際に書いてもらいます。

積の因数を減らした場合には、「その数字を消す条件はどこにあるか」を確かめます。逆に、先頭と末尾の関係を無視して一定の候補数を掛けた場合は、末尾を0にしたときと0以外にしたときで先頭の候補を比較します。余事象を使う式なら、引く側の配置が全体に含まれるか、残る配置が求める条件を満たすかを具体例で確かめます。各桁の候補を言葉に戻せれば、数字の制限は式の中で見失いません。