高校数学I 相関と因果の区別—曲線や集団の違いから数値だけの判断を点検する｜武蔵野個別指導塾

相関係数が0でも二乗の関係が残る例と、集団別の成功割合を使い、観測だけでは原因を決められない理由を考えます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、相関係数だけを根拠に一方が他方の原因だと言い切る場面です。2つの数が一緒に増えることと、片方を変えるともう片方が変わることは、同じ結論ではありません。点の並びと集団の内訳を見直すと、数値が表す範囲と、その先に残る問いが見えてきます。

どこまで言えるかを問う型

1つ目は、散布図と相関係数を照らし合わせる問題です。係数が0に近いとき、直線に沿った傾向は弱いと読めます。しかし、曲線に沿う規則まで消えたとは限りません。点がどんな形に並ぶのかを先に見ます。

2つ目は、同時に変わる2つの量から原因を判定できるか問う問題です。別の量が両方に関係するかもしれませんし、因果の向きが逆かもしれません。観測表だけで区別できない説明を挙げ、追加で何を調べるか述べます。

3つ目は、集団ごとの表と全体の表を比べる問題です。各集団内の傾向と合計後の傾向が逆になる場合があります。人数が異なると全体の割合への寄与も異なるため、割合を単純に平均せず、成功数と人数を合計して比べます。以下の数は説明のために作ったものです。

直線の指標と原因の問い

相関係数rは、2つの変量の共分散を、それぞれの標準偏差の積で割った値です。両方の標準偏差が正のときに定義され、-1以上1以下です。正なら大きい値どうし、小さい値どうしが対応する直線的な傾向、負なら一方が大きいと他方が小さい直線的な傾向を表します。0は共分散が0であることを意味しますが、あらゆる関係がないという意味ではありません。

図1のように、横軸の値を中心から左右に取ると、縦軸が同じ高さの点が左右に対になります。右側で生じた偏差の積と左側の積は打ち消し合います。それでも横軸の値を決めれば縦軸の値が決まる関係は残ります。

図1の横軸はx、縦軸はyです。点はy=x²上にあります。曲線を描くことと直線的な傾向を数えることは、別の作業です。散布図では軸の意味、対象の組、同じ座標に重なる点も確かめます。

一方、因果は「他の条件が適切にそろったとき、原因と考えるものを変えることで結果が変わるか」という問いです。2つが同時に動いても、それだけでは答えが出ません。例えば、暑い日には冷たい飲み物の販売数と水辺の利用者数がともに増えるかもしれません。気温という第三の要因を考えれば、販売数が利用者を直接増やしたと決める必要はありません。これは可能な説明であって、この文だけで気温が原因だと証明したわけでもありません。

第三の要因は必ず存在すると決めるものではなく、候補を挙げて情報を集めるための視点です。逆向きの因果、両方向の影響、偶然の並び、測定や対象の選び方も考えます。観測した人や期間の外にそのまま結論を広げることにも注意が必要です。

基本例題：左右に並ぶ5点

自作データの5組が (-2,4)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4) です。xとyの相関係数を厳密に求め、2つの値に関係があるか述べてください。分散と共分散は、それぞれ5組を対象として5で割ります。

まず平均を計算します。

xの平均 = (-2 - 1 + 0 + 1 + 2)/5 = 0
yの平均 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4)/5 = 2

それぞれの偏差は、xについて -2、-1、0、1、2、yについて 2、-1、-2、-1、2 です。同じ組の偏差を掛けてから足します。

偏差の積の和 = (-2)・2 + (-1)・(-1) + 0・(-2) + 1・(-1) + 2・2
= -4 + 1 + 0 - 1 + 4
= 0
共分散 = 0/5 = 0

分母が0でないことも必要です。偏差の二乗からそれぞれの分散を求めます。

xの分散 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4)/5 = 2
yの分散 = (4 + 1 + 4 + 1 + 4)/5 = 14/5
xの標準偏差 = √2
yの標準偏差 = √(14/5)
r = 0/(√2・√(14/5)) = 0

両方の分散が正なので係数は定義できます。図2のように、5点は左右対称の曲線上にあります。元の各組に戻すと、どの点でもyはxの二乗です。したがってr=0でも関係はあり、直線的な傾向を打ち消す並びだと説明できます。

図2の5点は二乗の関係に沿います。5点以外の値を実際に測定したという意味ではありません。xの値が一定だった場合には標準偏差が0になり、共分散が0でもrを0と置くことはできません。

標準例題：集団の違いを残して比べる

ある作業の方法Aと方法Bについて、条件が異なる2集団の成功数を次のように作りました。各集団と全体で、成功割合を分数で求め、大小を比べてください。表はそれぞれの方法を使った人数と成功数であり、同じ人が両方を使ったとは限りません。

軽い条件ではAが18/20 = 9/10、Bが8/10です。9/10 > 8/10なのでAの割合が高くなります。重い条件ではAが1/10、Bが4/20 = 2/10で、Bの割合が高くなります。両方で同じ向きだと読んではいけません。

全体は成功数と人数をそれぞれ足します。

Aの全体の成功割合 = (18 + 1)/(20 + 10)
= 19/30
Bの全体の成功割合 = (8 + 4)/(10 + 20)
= 12/30
= 2/5

全体では19/30 > 12/30です。Aは成功しやすい軽い条件に20人、Bは10人です。この人数構成も全体の割合に影響します。元の表へ戻すと、Aの成功数は19人、Bは12人で、どちらも対象は30人です。分母と分子の対応が合っています。

全体の差を方法そのものの効果と断定することはできません。軽い条件ではAが高い一方、重い条件ではBが高く、方法を選んだ人の違いなど表にない要因も残るためです。集団を分ければ自動的に原因が判明するわけでもありません。条件の決め方や、各集団内で他に何が違うかを調べます。

発展例題：各集団で逆、全体では正

別の自作表では、方法PとQの成功数を次のようにしました。各集団と全体の成功割合を分数で求め、結果の向きが変わる理由を説明してください。

条件1ではPが8/10、Qが9/10です。条件2ではPが1/10、Qが18/90 = 2/10です。どちらの集団でもQの割合が高いと確認できます。

Pの全体 = (8 + 1)/(10 + 10) = 9/20
Qの全体 = (9 + 18)/(10 + 90) = 27/100
9/20 = 45/100 > 27/100

全体ではPが高く、各集団内ではQが高いという逆転が生じました。Pの20人の半分は成功割合の高い条件1ですが、Qの100人のうち条件1は10人です。この構成の違いが全体の割合に反映されます。実際に成功数を足すとPは9人、Qは27人です。成功人数の大小と成功割合の大小も別です。

この逆転は計算の誤りではありません。全体の割合は集団ごとの割合を人数で重み付けしたものだからです。例えばPは (8/10)・(10/20) + (1/10)・(10/20) = 9/20 です。Qは (9/10)・(10/100) + (2/10)・(90/100) = 27/100 です。各方法で重みが違うため、各集団の比較と全体の比較が一致するとは限りません。

ただし、この表からQが誰にとっても原因として有効だとも言えません。各集団の中にも対象の違いがありえます。何を比較したいかを決め、対象の選び方と条件の記録を確かめる必要があります。因果を推定する手法の詳細はここでは扱いません。

誤答をほどく

「r=0だから、xとyには何の関係もない」という答えは誤りです。原因は、相関係数が直線に沿う傾向をまとめた数であることを忘れ、曲線まで含むすべての関係の有無に読み替えたことです。図3のように、左右の積が相殺される点の配置を描いて確認します。修正後は「直線的な傾向は0だが、曲線的な関係はありうる」と書きます。

図3は基本例題と同じ5点を示します。左右の点はyの偏差が等しくxの偏差の符号が逆なので、積の和は0です。中央の点のxの偏差も0です。こうして消えるのは積の合計であり、点そのものや二乗の関係ではありません。

別の誤答は「全体の成功割合が高い方法が原因だ」です。全体の分子と分母を足す計算が合っていても、その結論は別に点検します。集団内の割合、人数構成、観測されていない違いを調べ、表だけから言える比較と原因についての仮説を分けます。数値に差がない場合も、観測の範囲で差が見られないことと、どんな条件でも原因にならないことは異なります。

練習：表と結論の距離を測る

次の5問はそれぞれ独立した自作問題です。割合と係数は分数または整数で正確に答え、理由も述べてください。

1. 3組 (-3,9)、(0,0)、(3,9) の相関係数を求め、関係の有無を述べてください。共分散と分散はいずれも3で割ります。
2. 気温が高い日ほど日傘の使用数と冷房の使用数が多い記録がありました。日傘が冷房の使用を増やすと断定できるか、第三の要因の候補を挙げて答えてください。
3. 集団甲では方法Cが6人中3人成功、方法Dが4人中1人成功です。集団乙ではCが4人中1人成功、Dが6人中3人成功です。集団ごとと全体の成功割合を求めて比べてください。
4. 4組 (1,2)、(2,2)、(3,2)、(4,2) について、相関係数を求められるか答えてください。理由を標準偏差に触れて述べてください。
5. ある観測で、読書時間の長い人ほど記録点が高かったとします。「読書時間を増やせば必ず記録点が上がる」という結論に対し、観測から言えることと追加で調べたいことを1つずつ述べてください。

解答と考え方

1. xの平均は (-3 + 0 + 3)/3 = 0、yの平均は (9 + 0 + 9)/3 = 6です。偏差の積の和は (-3)・3 + 0・(-6) + 3・3 = 0です。共分散は0/3 = 0です。xの分散は (9 + 0 + 9)/3 = 6、yの分散は (9 + 36 + 9)/3 = 18で、両方正です。したがってr = 0/(√6・√18) = 0です。元の3組に戻すとy=x²が成り立ち、関係はあります。

2. 断定できません。気温が第三の要因の候補です。気温が高いことが両方の使用に関係する可能性があり、日傘の使用数と冷房の使用数の同時変化だけでは直接の原因を区別できません。候補を挙げた段階で、気温の影響自体が証明されたわけでもありません。

3. 甲ではCが3/6 = 1/2、Dが1/4で、Cが高いです。乙ではCが1/4、Dが3/6 = 1/2で、Dが高いです。全体ではCが (3 + 1)/(6 + 4) = 4/10 = 2/5、Dが (1 + 3)/(4 + 6) = 4/10 = 2/5で等しくなります。元の人数に戻すと両方とも10人中4人成功です。各集団の比較が逆向きなので、全体が等しいことから各集団でも等しいとは言えません。

4. yは4組とも2で、yの平均も2です。yの偏差はすべて0、分散は0、標準偏差も0です。相関係数の分母が0になるため定義できません。点が水平に並ぶことを理由にr=0やr=1と決めることはできません。

5. 観測した対象について、読書時間と記録点に正の傾向があったことは言えます。例えば、もともとの関心や学習時間が両方と関係していないか、対象ごとの情報を調べたいところです。記録された対応だけでは、時間を増やした結果を直接観測していないため、必ず上がるとは言えません。逆に、記録点が高いことが読書の動機に関係する可能性も残ります。

手元に残す要点

相関係数は直線的な傾向を表し、0でも曲線の関係は残ります。 係数は両方の標準偏差が正のときに定義されます。 一緒に動く2量から原因を断定せず、第三の要因や向きを考えます。 集団別と全体の割合は、人数と成功数から別々に計算します。

答えが止まった場所を見る

散布図を見ずに係数だけで答えているなら、左右の点の偏差の積を1組ずつ書き、何が打ち消されるかを確かめます。係数を計算する前に、両変量にばらつきがあるかも確認します。値が一定の列を見落とすと、分母0のまま計算を進めてしまいます。

表の問題で全体の割合が合わないときは、各割合をそのまま足したのか、成功数と対象人数を別々に足したのかを見ます。個別指導では、集団ごとの分母を指さしながら、どの人がどの割合に入るか説明してもらうと、計算のつまずきを特定できます。原因を問う記述では、観測した事実と候補にすぎない説明に印を付け、追加で必要な情報を一緒に整理します。数値が示す範囲を守ることが、相関と因果を区別する出発点です。