高校数学I 共分散と符号—平均からのずれの積で二変量の動きを数える｜武蔵野個別指導塾

平均より小さい値どうしの積と正負の打消しから読み取る量が共分散です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、2つの値がどちらも平均より小さい組の積を負にする場面です。平均からのずれはどちらも負ですが、負の数どうしの積は正です。共分散では、この積を各組について作り、正と負を合わせてから平均します。1つの点の位置と全体の符号を分けて考えれば、計算の意味が見えてきます。

問われ方を3つに分ける

表から共分散を計算する問題では、同じ対象について測った2つの値を1組として保ちます。各列の平均を求め、それぞれの偏差を掛け、積の合計を組の数で割ります。単に元の数を掛けるのではなく、平均からの差を使うところが出発点です。

散布図や偏差の表から符号を判断する問題では、平均を通る縦線と横線が手掛かりです。同じ側にずれる点は正、反対側にずれる点は負の積を与えます。ただし点の個数だけでは決まりません。積の大きさも含めた合計を調べます。

未知の値を含む問題では、その値が変わると平均も変わります。平均を固定したまま未知の値だけを動かすと、他の組の偏差まで誤ります。式を作ったら、共分散が正、0、負となる境目を分け、値の範囲や整数条件に戻して判断します。

平均を基準にして積を作る

n組のデータを (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) とします。nは正の整数で、各組は同じ対象に対応しています。xの平均をX、yの平均をYとすると、各組の偏差は xₖ − X と yₖ − Y です。共分散をCと書けば、定義は次のとおりです。

C = {(x₁ - X)(y₁ - Y) + … + (xₙ - X)(yₙ - Y)}/n

積は同じ番号どうしで作ります。xの偏差の合計とyの偏差の合計はそれぞれ0ですが、それらを別々に足して掛けても共分散にはなりません。積を先に計算し、組ごとの対応を残したまま足すことが必要です。

図1のように、平均を通る2本の線で面を4つに分けます。右上は両方の偏差が正、左下は両方が負なので、どちらの積も正です。左上と右下は符号が異なるので積は負です。線上にある点は少なくとも一方の偏差が0なので積も0です。線の交点がデータそのものとは限りません。

図1の正負は1組ごとの話です。共分散はそれらの平均なので、正の積と負の積が混ざっていても、合計が正なら正、負なら負、等しければ0です。たとえば正の積が小さく3個、負の積が大きく1個あるとき、負の合計が勝つこともあります。点の個数を比べるだけでは判定できません。

単位も2つの偏差から決まります。xがcm、yが秒なら、偏差の積と共分散の単位はcm・秒です。cmと秒を足した単位でも、どちらか一方の単位でもありません。測る単位を変えれば数値の大きさも変わるため、異なる単位の共分散を数値だけで比べて関係の強さを決めることはできません。

計算の照合には、xyの平均から平均どうしの積を引く方法も使えます。展開すると次のようになります。

C = {(x₁y₁ + … + xₙyₙ) - Y(x₁ + … + xₙ) - X(y₁ + … + yₙ) + nXY}/n
  = {(x₁y₁ + … + xₙyₙ) - nXY - nXY + nXY}/n
  = (xyの平均) - XY

ここでは x₁ + … + xₙ = nX、y₁ + … + yₙ = nY を使いました。xyも同じ組ごとに掛けてから平均します。どちらの方法も同じn組を使うことが条件で、値が記録されていない組を勝手に0に置き換えることはできません。対応が欠けた場合は対象を確認し、使う組を定めて両方の平均から計算し直します。

基本例題：4組の測定から積を追う

4個の部品について長さx cmと、別の測定に要した時間y秒を記録したところ、順に (1, 2), (2, 5), (3, 4), (4, 5) でした。4組の共分散を正確な分数または整数で求め、単位も答えてください。数値は練習用に作ったものです。

まず各列の合計を4で割ります。

X = (1 + 2 + 3 + 4)/4
  = 10/4
  = 5/2
Y = (2 + 5 + 4 + 5)/4
  = 16/4
  = 4

各組の偏差と積を表にします。各行の2つの値は同じ部品のものです。

図2のように、左下の点 (1, 2) は2つの偏差が負なので正の積を作ります。(3, 4) は横の平均線上にあり、積は0です。点の横方向の単位はcm、縦方向の単位は秒です。

図2の4点を表の4行と対応させ、積を合計してから4で割ります。

積の合計 = 3 - 1/2 + 0 + 3/2
         = 4
C = 4/4
  = 1

答えは1 cm・秒です。左下と右上の正の積の合計は 3 + 3/2 = 9/2、左上の負の積は -1/2 なので、差し引きしても正が残ります。正の積があるだけで結論するのではなく、負の積も含めて合計した点が根拠です。

元の値で照合すると、xの合計は10 cm、yの合計は16秒です。また、同じ行どうしの積の合計は 1・2 + 2・5 + 3・4 + 4・5 = 44 です。

xyの平均 = 44/4
         = 11
C = 11 - (5/2)・4
  = 1

偏差の積を使った答えと一致します。単位を忘れた場合は、表の各偏差にcmと秒を戻し、掛け算をたどると修正できます。

標準例題：同じ列でも組を変える

4枚のカードについて、表のxとyを同じ行で組にします。共分散を正確な分数で求めてください。その後、xを変えず、yを上から 2, 5, 1, 4 と並べた場合の共分散も求め、符号を比較してください。

どちらの場合も xの合計は10、yの合計は12なので、平均は X = 5/2、Y = 3 です。元の組の偏差の積を順に計算します。

(-3/2)・2 = -3
(-1/2)・(-1) = 1/2
(1/2)・1 = 1/2
(3/2)・(-2) = -3
C = (-3 + 1/2 + 1/2 - 3)/4
  = -5/4

並べ替え後のyの偏差は順に -1, 2, -2, 1 です。xとの対応を変えたので積も計算し直します。

(-3/2)・(-1) = 3/2
(-1/2)・2 = -1
(1/2)・(-2) = -1
(3/2)・1 = 3/2
C = (3/2 - 1 - 1 + 3/2)/4
  = 1/4

元の共分散は -5/4、並べ替え後は 1/4 です。元のxyの合計は25、並べ替え後は31なので、それぞれ 25/4 − (5/2)・3 = -5/4、31/4 − (5/2)・3 = 1/4 と戻せます。各列の値と平均は同じでも、組が変われば共分散は変わります。実際の記録では、片方の列を独立に並べ替えて別の対象の値と組み合わせてはいけません。

発展例題：未知の値と0になる境目

3回の観察で、対応する値が (1, 2), (2, 5), (3, t) でした。tは0以上の整数です。共分散をtの式で表し、正、0、負となるtの範囲をそれぞれ求めてください。

xの合計は6なのでX = 2です。yの合計は 7 + t なのでY = (7 + t)/3 です。xの偏差は順に -1, 0, 1 となります。yの平均がtによって変わることを残したまま、積を作ります。

積の合計 = (-1){2 - (7 + t)/3} + 0{5 - (7 + t)/3} + 1{t - (7 + t)/3}
         = -2 + (7 + t)/3 + t - (7 + t)/3
         = t - 2
C = (t - 2)/3

3は正なので、符号は t − 2 の符号で決まります。条件に戻すと、負は t = 0, 1、0は t = 2、正は整数 t が3以上のときです。0を正にも負にも含めないことに注意します。

境目の t = 2 を元の組に入れると、yは 2, 5, 2 で合計9、平均3です。yの偏差は -1, 2, -1 なので、xの偏差との積は 1, 0, -1 です。合計が0であり、確かに共分散も0です。中央の組はyが平均より大きくても、xの偏差が0なので積は0です。

この0は「どの積も0」を意味しません。さらに、共分散が0という数字だけから、2つの値にどんな関係もないとは言えません。たとえば xが -2, -1, 1, 2 の順で、yがそれぞれ4, 1, 1, 4なら、xの平均は0、yの平均は5/2です。積は -3, 3/2, -3/2, 3 で合計0ですが、yはxを二乗した値です。正負の打消しと、各組に関係があるかどうかは別の問いです。

誤答を表でほどく

基本例題の最初の組について「どちらも平均より小さいから積は -3」と答えたとします。平均より小さいという言葉を、積の符号までそのまま持ち込んだことが原因です。実際には xの偏差が -3/2、yの偏差が -2 です。図3の表のように、2つの負の数を掛けるので積は 3 です。

図3の各列を左から埋めれば、値そのものの大小と積の符号を分けられます。まず元の値から平均を引き、偏差を2つ書いてから掛けます。符号だけを先に決める場合も、左下が正になる理由を負の数の積に戻して説明してください。

もう1つの誤りは、正の積を持つ点が多いから共分散は必ず正だとすることです。積が 1, 1, -5 の3組なら、正が2組でも合計は -3、共分散は -1 です。実際のデータでは各積が偏差から生じることも確認しなければなりませんが、この計算は個数だけでは合計の符号を決められない理由を示します。

偏差の合計がそれぞれ0だから、共分散も0とする誤答にも注意します。基本例題では xの偏差の合計もyの偏差の合計も0ですが、対応する積の合計は4です。偏差の和を先に作る操作と、各組の積を足す操作は別です。表の各行に積の欄を置くと取り違えを防げます。

練習：組を保って判断する

次の5問では、書かれた順の値を同じ対象の組とします。共分散は組の数で割り、指定された形で答えてください。単位の記載がない値は単位なしとします。

1. 3本の棒の長さx cmが順に 2, 4, 6、対応する重さy gが 1, 3, 5 です。共分散を正確な分数と単位で求めてください。
2. 3枚の札のxが 1, 3, 5、対応するyが 7, 4, 1 です。共分散を整数で求め、符号を答えてください。
3. 3個の点のxが -2, 0, 2、対応するyが 4, 0, 4 です。共分散を整数で求め、0となる理由を積の合計で説明してください。
4. 4つの品のxが 1, 2, 3, 4、対応するyが 2, 4, 1, 5 です。共分散を正確な分数で求めてください。
5. 3回の記録の組が (2, 3), (4, 7), (6, t) です。tは0以上8以下の整数です。共分散をtの式で表し、共分散が負、0、正となるtをそれぞれ答えてください。

練習の答えと確かめ

1

合計はxが12 cm、yが9 gなので、平均はそれぞれ4 cm、3 gです。対応する偏差を掛けます。

積の合計 = (-2)・(-2) + 0・0 + 2・2
         = 8
C = 8/3

答えは 8/3 cm・g です。元の組の積の合計は 2・1 + 4・3 + 6・5 = 44 です。44/3 − 4・3 = 8/3 と計算しても一致します。3本の長さと重さを同じ順に掛けたことも確認できます。

2

xの合計は9、yの合計は12で、平均はそれぞれ3、4です。

積の合計 = (-2)・3 + 0・0 + 2・(-3)
         = -12
C = -12/3
  = -4

答えは -4 で、符号は負です。元の組の積の合計は 1・7 + 3・4 + 5・1 = 24 です。24/3 − 3・4 = -4 と戻せます。値を入れ替えず、左側ではxが平均より小さくyが大きいことも照合します。

3

xの合計は0、yの合計は8なので、平均は0、8/3です。

積の合計 = (-2)・(4/3) + 0・(-8/3) + 2・(4/3)
         = -8/3 + 0 + 8/3
         = 0
C = 0/3
  = 0

答えは0です。両端の積が反対の数となり、中央の積は0なので打ち消されます。元の組の積の合計も (-2)・4 + 0・0 + 2・4 = 0 で、xyの平均から 0・(8/3) を引いても0です。yは両端で同じ値を取り、点の並びには形が残ります。

4

xの合計は10、yの合計は12なので、平均は 5/2、3です。4行の積を順に計算します。

積の合計 = (-3/2)・(-1) + (-1/2)・1 + (1/2)・(-2) + (3/2)・2
         = 3/2 - 1/2 - 1 + 3
         = 3
C = 3/4

答えは 3/4 です。元の組の積の合計は 1・2 + 2・4 + 3・1 + 4・5 = 33 です。33/4 − (5/2)・3 = 3/4 と一致します。2つ目と3つ目の負の積も足した上で正と判定しています。

5

xの合計は12、平均は4、yの合計は 10 + t、平均は (10 + t)/3 です。xの偏差は -2, 0, 2 です。

積の合計 = (-2){3 - (10 + t)/3} + 0{7 - (10 + t)/3} + 2{t - (10 + t)/3}
         = -6 + 2(10 + t)/3 + 2t - 2(10 + t)/3
         = 2t - 6
C = (2t - 6)/3

したがって負は t = 0, 1, 2、0は t = 3、正は t = 4, 5, 6, 7, 8 です。条件の0から8までの整数をすべて分類しました。境目の t = 3 を元の組に戻すと、yの合計は13、平均は13/3です。積は 8/3, 0, -8/3 で合計0となり、式の答えと合います。

覚えておく4行

同じ対象の2つの値から、それぞれの平均を引きます。
偏差が同符号なら積は正、異符号なら負、0を含めば積は0です。
積の合計を組の数で割り、正負の打消しと単位を確かめます。
共分散が0でも、組の間に関係が残ることがあります。

どこでつまずいたかを見分ける

計算表の最初の行で負の偏差を正に直してしまうなら、平均よりどれだけ小さいかを「値 − 平均」で書けているかを見ます。偏差は合っているのに左下の積が負なら、負の数どうしの掛け算へ戻ります。積まで合っていて最終値が違うときは、負の積を含めた合計と、組の数で割ったかを順に点検します。

個別指導で確認するなら、先に答えだけを聞くのではなく、1組を指して2つの値が同じ対象のものか、平均線のどちら側にあるかを説明してもらいます。さらに正と負の積が混ざる表で、個数ではなく積の合計を比べる理由を尋ねます。最後に0になった例を元の組へ戻せれば、符号の計算とデータの読み取りがつながります。