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高校数学I 箱ひげ図の読み取り—図から判断できることと復元できない値を分ける｜武蔵野個別指導塾
同じ五数要約でも平均や人数が異なる例を作り、図が伝える範囲を見極め、読み違えを防ぐ箱ひげ図の読み方です。
よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、箱ひげ図の長い区間ほど人数が多いと読む場面です。横に長い部分は値の開きが大きいことを表しますが、その長さをそのまま人数と見ることはできません。図が残す情報と、描くときに失われる情報を分けると、比較の根拠を言葉で示せます。
要点（結論から）
- 箱の両端は四分位数、内部の線は中央値です。
- 共通の尺度で位置と差を読みます。
- 区間の長さを人数に置き換えません。
問いの形を先に見る
箱ひげ図の問題には、元のデータから図を作る型があります。小さい順に並べ、最小値、第一四分位数、中央値、第三四分位数、最大値の5つを求めてから、同じ尺度の数直線へ移します。数直線の位置が正しくても、四分位数の求め方が違えば図も違います。
もう一つは、2つの図を見て中央値や四分位範囲を比べる型です。箱の中央の線は平均ではなく中央値です。また、図が別々の尺度で描かれていたら見た目の長さだけで比較できません。目盛りの数値に戻して差を求めます。
さらに、図から平均や人数が決まるかを問う型があります。決まらないことを示すには、条件に合う元データを2組作り、同じ図になることと、求めたい値が異なることを両方確かめます。単に「情報が足りない」と書くより、反例によってどの情報が欠けるかが明確になります。
5つの位置が残すもの
データを小さい順に並べたとき、最小値と最大値は両端の値です。中央値は中央の値で、個数が偶数なら中央の2値の平均です。第一四分位数をQ₁、第三四分位数をQ₃と書き、四分位範囲はQ₃ − Q₁です。
四分位数は、個数が偶数なら上下に同数ずつ分け、それぞれの中央値を取ります。奇数なら全体の中央値を取り除き、残りを上下に同数ずつ分けます。ここではこの方式を使います。中央値や四分位数が元のデータに現れない場合もあります。
図1のように、箱の左端をQ₁、右端をQ₃、箱の中の線を中央値に合わせます。左右のひげはそれぞれ最小値と最大値まで伸ばします。ここでは外れ値を別の点で描かず、両端までひげを伸ばす方式に統一します。
図1の箱の幅が四分位範囲です。左右のひげも含む全体の幅は最大値から最小値を引いた範囲です。箱の内部には個々の値の位置が描かれていません。区間の幅は値の広がりであり、そこに入る人数を長さで表す面積図ではありません。
順序に基づく4つの部分は、おおむね同じ個数のデータに対応します。ただし、中央値や四分位数がデータ間の平均になる場合があり、同じ値が境界に重なる場合もあります。「境界を含む区間に入る人数が必ず全体の4分の1」とは限りません。図の境界に重なる値の個数も、図だけからは確定しません。
比較では、箱の幅が同じでも中央値の位置が同じとは限りません。また、箱が短い集団でも、ひげの端が遠ければ全体の範囲は大きくなります。読み取る量を先に決め、対応する2点の差を計算することが必要です。目盛りが省略されていたり、尺度が明示されていなかったりする図では、見た目の長さから数値の差を断定しません。
基本例題：測定値を図に移す
8個の自作の長さの測定値は、小さい順に2、4、5、7、8、10、11、15 cmです。上下4個ずつに分けて各群の中央値を四分位数とします。五数要約と四分位範囲を整数または分数で求め、最小値と最大値までひげを伸ばす箱ひげ図を描いてください。
全体の中央は4番目と5番目なので、中央値は次のとおりです。
(7 + 8)/2 = 15/2下の群は2、4、5、7で、中央の2値は4と5です。上の群は8、10、11、15で、中央の2値は10と11です。
Q₁ = (4 + 5)/2 = 9/2
Q₃ = (10 + 11)/2 = 21/2
四分位範囲 = 21/2 - 9/2 = 6五数要約は順に2、9/2、15/2、21/2、15 cm、四分位範囲は6 cmです。図2のように数直線で位置を取ります。箱の左端は4と5の中間、中央線は7と8の中間、右端は10と11の中間です。
図2に戻して読むと、箱の幅は21/2 − 9/2 = 6 cm、ひげを含む範囲は15 − 2 = 13 cmです。元の8個に戻しても下群と上群は各4個で、中央値に使った2値は7と8です。箱の線が7や8の位置にあると勘違いしないよう、中間の位置まで確かめます。
標準例題：同じ図から異なる平均
次の2組はそれぞれ9個の整数です。全体の中央値を除き、残る上下4個の中央値を四分位数とします。両組の五数要約と平均を整数または分数で求め、同じ箱ひげ図から平均が決まるか説明してください。
E: 0、2、4、6、7、8、10、12、14
G: 0、2、4、5、7、8、10、12、14
どちらも中央値は5番目の7です。中央値を除いた下群と上群の中央をそれぞれ取ります。
EのQ₁ = (2 + 4)/2 = 3
EのQ₃ = (10 + 12)/2 = 11
GのQ₁ = (2 + 4)/2 = 3
GのQ₃ = (10 + 12)/2 = 11両端も0と14なので、五数要約は両組とも0、3、7、11、14です。同じ尺度とひげの方式なら同じ図になります。一方、元の値を足し合わせると平均は異なります。
Eの合計 = 0 + 2 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 12 + 14 = 63
Eの平均 = 63/9 = 7
Gの合計 = 0 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 14 = 62
Gの平均 = 62/9Gを元の順序に戻しても下群は0、2、4、5、上群は8、10、12、14です。両群の中央の組はEと同じです。よって同じ五数要約でも平均は7と62/9に分かれ、図から平均は一意に決まりません。反例は、同じ図かという条件と異なる平均という結論を別々に確かめて成立します。
発展例題：人数を変えて同じ図を作る
ある8個の整数データは1、3、3、5、5、7、7、9です。偶数個では上下同数に分け、各群の中央値を四分位数とします。最小値から最大値までの箱ひげ図を変えずに、個数が異なるデータを1組作ってください。個数と五数要約は整数で答えます。
まず元の5つの値を求めます。
最小値 = 1
Q₁ = (3 + 3)/2 = 3
中央値 = (5 + 5)/2 = 5
Q₃ = (7 + 7)/2 = 7
最大値 = 9例えば16個のデータを1、1、3、3、3、3、5、5、5、5、7、7、7、7、9、9とします。下の8個の中央は4番目と5番目で、ともに3です。全体の中央の8番目と9番目はともに5、上の8個の中央は全体の12番目と13番目で、ともに7です。最小値と最大値も1と9です。
したがって16個の五数要約も1、3、5、7、9で、8個の場合と同じ図です。作った値を元の条件に戻すと、個数は16で整数、上下は8個ずつに分かれます。同じ図に異なる個数が対応するので、箱ひげ図だけから人数を一意に復元できません。図に別途人数が書かれている場合は、その追加情報を使えます。
長い区間を人数と読んだら
図3のように、8個の値0、1、2、3、4、5、6、14を考えます。上下4個ずつの中央値を使うと、Q₁ = (1 + 2)/2 = 3/2、中央値 = (3 + 4)/2 = 7/2、Q₃ = (5 + 6)/2 = 11/2です。最大値は14です。
誤答は「右のひげが長いので、そこに入る値は箱の左半分より多い」です。図3の右のひげは11/2から14までの長さ17/2ですが、そこにある元の値は6と14の2個です。箱の左半分の3/2から7/2にある値も2と3の2個です。長さが違っても、この例の個数は同じです。
原因は横軸の単位を人数と取り違えることです。横軸は値の大きさを表しており、ひげの長さは端の値までの差です。修正するときは、まず軸の単位と区間の端を読み、人数の結論には元データなどの追加情報が必要かを確認します。
別の誤りは、箱の真ん中の線を平均と読むことです。そこは中央値であり、平均は合計を個数で割って求めます。標準例題のEとGのように中央値が同じでも平均が異なるため、線の位置を平均と置き換えることはできません。
自分で試す5問
各問では、偶数個なら上下同数に分け、奇数個なら全体の中央値を除いた上下同数の群の中央値を四分位数とします。図のひげは最小値と最大値まで伸ばします。数値はすべて自作です。
- 6個の読書時間は3、5、7、9、11、13分です。五数要約と四分位範囲を整数で求め、箱の両端と中央値の位置を答えてください。
- 7個の歩数の記録を百歩単位で表すと1、2、4、6、8、10、13です。五数要約と範囲を整数で求めてください。
- 同じ尺度で描いた2組の五数要約が、Pは2、4、7、9、15、Rは1、5、6、10、12です。中央値と四分位範囲の大小をそれぞれ答えてください。
- 9個の整数データ2、4、6、8、10、12、14、16、18と同じ五数要約で、平均が異なる9個の整数データを1組作ってください。両方の平均を整数または分数で答えてください。
- 4個の整数データ2、4、4、6と同じ五数要約を持つ8個の整数データを1組作ってください。各組の個数と五数要約を整数で示してください。
答えと考え方
- 下群は3、5、7、上群は9、11、13です。各群の中央からQ₁ = 5、Q₃ = 11です。全体の中央は(7 + 9)/2 = 8です。
五数要約 = 3、5、8、11、13
四分位範囲 = 11 - 5 = 6箱の両端は5分と11分、中央線は8分です。元の6個に戻しても上下3個ずつで、両端は3分と13分です。
- 中央の6を除くと下群は1、2、4、上群は8、10、13です。したがってQ₁ = 2、Q₃ = 10、中央値は6です。
五数要約 = 1、2、6、10、13
範囲 = 13 - 1 = 12単位は百歩です。中央の6を両群に入れないことと、元の7個の最小・最大が1と13であることを確認します。
- 中央値はPが7、Rが6なのでPの方が大きいです。箱の幅は次のように求めます。
Pの四分位範囲 = 9 - 4 = 5
Rの四分位範囲 = 10 - 5 = 5四分位範囲は等しいです。両組の値を五数要約へ戻すと、それぞれ左端から右端へ小さい順に並んでいます。中央値の大小と箱の幅の大小は別の問いです。
- 例えば2、4、6、7、10、12、14、16、18です。両組とも中央値10を除くと、下群の中央は4と6、上群の中央は14と16です。
Q₁ = (4 + 6)/2 = 5
Q₃ = (14 + 16)/2 = 15
元の合計 = 90
元の平均 = 90/9 = 10
作った組の合計 = 89
作った組の平均 = 89/9最小値2、最大値18も同じなので、五数要約は両方とも2、5、10、15、18です。作った組は9個の整数で順序も保ち、平均は異なります。
- 例えば2、2、4、4、4、4、6、6です。元の4個ではQ₁ = (2 + 4)/2 = 3、中央値 = (4 + 4)/2 = 4、Q₃ = (4 + 6)/2 = 5です。作った8個では下群2、2、4、4と上群4、4、6、6から同じ四分位数が得られます。
Q₁ = (2 + 4)/2 = 3
中央値 = (4 + 4)/2 = 4
Q₃ = (4 + 6)/2 = 5どちらも最小値2、最大値6なので五数要約は2、3、4、5、6です。個数はそれぞれ4個と8個で、元の条件に合います。
要点を持ち帰る
- 箱の両端は四分位数、内部の線は中央値です。
- 共通の尺度で位置と差を読みます。
- 区間の長さを人数に置き換えません。
- 同じ図でも平均や人数が異なる場合があります。
どこで読み違えたかを見つける
図を描く前の計算表で、元の個数、中央の順位、上下の群を書けているかを確かめます。奇数個で中央を除き忘れたのか、偶数個で中央の2値の平均を取り忘れたのかによって、戻る場所が変わります。図が合わないときは、数直線の目盛りと五数要約を1つずつ対応させます。
個別指導では、長い区間を指して何の単位の長さかを説明してもらい、人数と言った場合は元の値を数えて照合します。平均や人数が決まると答えた場合は、同じ5値を保って内部の値や個数を変える作業を試します。図に残った値と消えた情報を区別すると、箱ひげ図の結論の届く範囲が見えてきます。
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