高校数学I 四分位範囲と範囲—中央と両端の散らばりを別々の尺度で比べる｜武蔵野個別指導塾

同じ中央値を持つ2組の測定値から、範囲と四分位範囲の大小が逆になる場合を比べ、2種類の散らばりを区別する根拠を示します。

よくあるのは、高1が自作の測定表や実験結果を復習し、範囲の大きい集団は必ず箱も長いと思う場面です。最小値と最大値が遠く離れていれば、全体の端から端までは広いといえます。しかし、箱の両端になる四分位数は、端の値そのものとは限りません。中央付近に集まっているかどうかを、別の差で調べる必要があります。

2組の測定値を比べるときは、何を散らばりと呼んでいるかを先に決めます。ここでは同じ単位で測った値の範囲と四分位範囲を計算し、一方の大小から他方の大小が決まるかを考えます。外れ値の判定は扱わず、大きく離れた値が2つの幅にどう影響するかを見ます。

どの幅を尋ねられているか

出方の1つは、2組の値が並んでいて、それぞれの範囲と四分位範囲を比較する問題です。範囲は最大値と最小値、四分位範囲は第三四分位数と第一四分位数の差です。両方の引き算を書けば、結論を取り違えにくくなります。

もう1つは、端の値を変えた後の幅を尋ねる問題です。最大値を変えても、その値が第三四分位数を決める位置に入らなければ、四分位範囲が変わらないことがあります。一方、データ数や並び方によっては端の変更が四分位数にも及びます。何番目の値で決まるかを確認してから答えます。

さらに、未知の値に条件を課す逆向きの問題もあります。計算結果が指定された幅になっても、元の大小関係や整数という条件を満たさなければ答えにはできません。条件を満たす値が存在しない場合も、式と範囲を突き合わせて判断します。

端から端と、中央の半分

データを小さい順に並べます。最大値から最小値を引いたものが範囲です。値がすべて同じなら範囲は0で、範囲が0なら最大値と最小値が等しいので、間にある値もすべて同じです。範囲は端の2値に注目するため、間の値を動かしても両端が変わらなければ変化しません。

四分位数は、データ数が2以上のときに次の方式で求めます。奇数個なら全体の中央値を除き、残りを下側と上側に同数ずつ分けます。偶数個ならそのまま上下同数に分けます。下側の中央値が第一四分位数Q₁、上側の中央値が第三四分位数Q₃です。群の個数が偶数なら、中央2値の平均を取ります。

四分位範囲はQ₃ − Q₁で、IQRとも書きます。箱ひげ図の箱はQ₁からQ₃までなので、共通の尺度で描けば箱の長さが四分位範囲を表します。図1のように、全体の端の差と箱の両端の差は、引く位置が違います。

図1では最小値2、Q₁が4、中央値が6、Q₃が9、最大値が12です。範囲は12 − 2 = 10、四分位範囲は9 − 4 = 5です。どちらも元の測定値と同じ単位で表します。箱の区間は中央付近の散らばりを示しますが、同じ値が重なると、箱の内外の人数を厳密に4等分できるとは限りません。

Q₁とQ₃は同じ値になることもあります。そのとき四分位範囲は0ですが、端に異なる値があれば範囲は正です。逆に、範囲が0なら全値が等しいため四分位範囲も0です。四分位範囲が0という情報から全値が等しいと逆向きに結論することはできません。

箱ひげ図からは各四分位数や端の値を読めても、通常は個々の値や平均を復元できません。したがって、箱の長さが等しい2組について、分布の形まで同じだとはいえません。ここでの箱ひげ図は最小値と最大値までひげを伸ばす方式です。

基本例題：広い範囲と短い箱

同じ方法で測った長さが、A組では2、9、10、10、10、11、18 cm、B組では5、6、8、10、12、14、15 cmでした。各組の範囲と四分位範囲を整数で求め、どちらが大きいかをそれぞれ比べてください。奇数個なので全体の中央値を除き、上下の群の中央値を四分位数とします。

7個の中央は4番目です。両組の中央値は10 cmですが、残る上下の群は異なります。図2のように、A組は端が遠い一方、箱の端は10に近くなります。

A組の下側は2、9、10、上側は10、11、18です。それぞれ中央の値を取るとQ₁ = 9 cm、Q₃ = 11 cmです。

A組の範囲 = 18 - 2 = 16 cm
A組の四分位範囲 = 11 - 9 = 2 cm

B組の下側は5、6、8、上側は12、14、15です。Q₁ = 6 cm、Q₃ = 14 cmとなります。

B組の範囲 = 15 - 5 = 10 cm
B組の四分位範囲 = 14 - 6 = 8 cm

範囲は16 > 10なのでA組の方が大きく、四分位範囲は2 < 8なのでB組の方が大きいと答えます。元の値に戻して見ると、A組の最小値2と最大値18の差は16 cmです。また、中央を除いた各群の真ん中は9と11で、その差は2 cmです。B組も同じ位置をたどると6と14、端は5と15で、答えと一致します。

この例から言えるのは、範囲の大小と四分位範囲の大小が逆になる組が存在することです。A組のような例を見ただけで、いつも逆になると考えてはいけません。同じデータを2組にすれば両方の幅が等しくなり、両方とも一方が大きい組も作れます。結論を出すには、与えられた2組それぞれの幅を計算します。

標準例題：端の値を動かす

ある工作で作った棒の長さは、短い順に3、7、8、9、10、12、14、16 cmです。最大の16 cmを整数t cmに取り換え、他の7本は変えません。tは14以上とします。範囲が15 cmとなるtと、そのときの四分位範囲を正確な分数で求めてください。偶数個なので、上下4個ずつの中央値を四分位数とします。

条件t ≥ 14により、取り換えた値は最後に置けます。14と等しい場合も、同じ値を2本として数えます。最小値は3 cm、最大値はt cmなので、範囲の条件は次のようになります。

範囲 = t - 3
15 = t - 3
t = 18

18は14以上の整数なので条件に合います。下側4個は3、7、8、9、上側4個は10、12、14、18です。中央の2個をそれぞれ平均します。

Q₁ = (7 + 8)/2 = 15/2 cm
Q₃ = (12 + 14)/2 = 13 cm
四分位範囲 = 13 - 15/2 = 11/2 cm

求める値はt = 18、四分位範囲は11/2 cmです。整数のデータから半整数の四分位数が生まれることに注意します。

実際に18を戻すと最大値と最小値の差は18 − 3 = 15 cmです。Q₃を決める上側中央2個は12と14のままなので、もとの16を18に変えても四分位範囲は変化しません。整数のデータから半整数の四分位数が生まれる点も、条件を読み直す手がかりです。

発展例題：幅から未知数の可否を調べる

小さい順に並ぶ7個の整数データが、1、4、a、8、b、13、20です。ただし4 ≤ a ≤ 8、8 ≤ b ≤ 13とします。奇数個なので中央値8を除き、上下の群の中央値を四分位数とします。範囲と四分位範囲を整数で求め、四分位範囲が7となる整数の組(a, b)をすべて求めてください。さらに、四分位範囲が10となる組があるか調べてください。

最小値1と最大値20は条件から確定しているので、範囲は20 − 1 = 19です。下側は1、4、a、上側はb、13、20です。並びの条件から、それぞれ中央は4と13になります。

Q₁ = 4
Q₃ = 13
四分位範囲 = 13 - 4 = 9

したがって、四分位範囲が7となる組も10となる組も存在しません。aやbを変えても各群の中央の位置を動かさないからです。たとえば端の条件を満たすa = 4、b = 13を元の列に戻すと、1、4、4、8、13、13、20です。下側の中央は4、上側の中央は13で、同値を別々に数えても幅は9です。

この問題では、未知数を含むからといってすぐにaやbの方程式を作る必要はありません。各群の中央が固定されているかを見れば、求める幅が動くかどうかが先にわかります。もし指定が9なら、条件を満たすaは4、5、6、7、8の5通り、bは8、9、10、11、12、13の6通りで、組は30通りあります。いずれも元の並びを保つことを、上下の端を含めて確認できます。

誤答を位置に戻して直す

「範囲が大きいA組は四分位範囲も大きい」という答えは、基本例題では誤りです。原因は、範囲の両端と箱の両端を同じ位置と考えたことです。図3のように、それぞれ別の2点を引き算の相手として選び直します。

A組の端は2と18なので範囲は16 cmです。ところが箱の端は9と11なので四分位範囲は2 cmです。B組は範囲10 cm、四分位範囲8 cmでした。2つの大小をそれぞれ書けば、範囲が大きいという事実から箱の長さを決める誤りを修正できます。

もう1つの誤りは、奇数個の全体の中央値を上下両方の群に入れることです。基本例題のA組で10を両方に入れると、指定された方式とは違う群になり、答えも変わりえます。まず全体の中央に印を付けて外し、左右の個数が同じかを見てから、各群の中央を探します。

また、Q₁とQ₃を足す誤りもあります。四分位範囲は2つの位置の間の距離なので、大きい方から小さい方を引きます。測定単位を付け、負の幅になっていないかも確かめます。引いた結果が0なら計算を捨てず、中央付近に同じ値が重なっていないか元の列を見直します。

練習：位置と条件を確かめる5問

各問では、奇数個なら全体の中央値を除いて上下に分け、偶数個なら上下同数に分けます。各群の中央値を四分位数とし、指定がなければ値は整数または正確な分数で答えてください。

1. 5個の記録が1、3、5、7、9です。範囲と四分位範囲を求めてください。
2. 6個の記録が2、4、4、4、4、12です。範囲と四分位範囲を求め、四分位範囲が0なら全値が等しいという主張の正否を答えてください。
3. 同じ単位のP組は0、5、6、7、8、9、20、R組は2、3、4、7、10、11、12です。中央値、範囲、四分位範囲を各組で求め、2種類の幅を比較してください。
4. 小さい順の8個が2、4、6、8、10、12、14、uです。uは14以上の整数です。範囲が18となるuと、そのときの四分位範囲を求めてください。
5. 小さい順の7個が3、5、c、9、d、15、21です。c、dは整数で、5 ≤ c ≤ 9、9 ≤ d ≤ 15です。四分位範囲が8となる組(c, d)は存在するか、理由とともに答えてください。

練習の答えと考え方

1. 中央値5を除くと下側は1、3、上側は7、9です。よってQ₁ = (1 + 3)/2 = 2、Q₃ = (7 + 9)/2 = 8です。

範囲 = 9 - 1 = 8
四分位範囲 = 8 - 2 = 6

元の列で端の差は8、上下2個ずつの中央の平均は2と8です。データにない値を四分位数に取っても、2値の平均として正しく決まっています。

2. 下側は2、4、4、上側は4、4、12なので、Q₁ = 4、Q₃ = 4です。

範囲 = 12 - 2 = 10
四分位範囲 = 4 - 4 = 0

主張は誤りです。元の6個には2と12があり、全値は等しくありません。箱の長さが0でも端の差は残るという反例です。

3. どちらも4番目が7なので中央値は7です。P組の上下の中央値は5と9、R組では3と11です。

P組の範囲 = 20 - 0 = 20
P組の四分位範囲 = 9 - 5 = 4
R組の範囲 = 12 - 2 = 10
R組の四分位範囲 = 11 - 3 = 8

元の列に戻ると、P組の端は0と20、R組の端は2と12です。範囲はP組が大きく、四分位範囲はR組が大きいと確認できます。中央値が同じことは幅が同じことを意味しません。

4. u ≥ 14なので最大値はu、最小値は2です。

u - 2 = 18
u = 20
Q₁ = (4 + 6)/2 = 5
Q₃ = (12 + 14)/2 = 13
四分位範囲 = 13 - 5 = 8

20は整数で14以上です。列の最後に20を戻すと範囲は20 − 2 = 18で、上側4個の中央2値は12と14のままです。

5. 下側3個は3、5、c、上側3個はd、15、21です。条件からQ₁ = 5、Q₃ = 15なので、四分位範囲は15 − 5 = 10です。8となる組は存在しません。

境界のc = 5、d = 15を戻しても、下側は3、5、5、上側は15、15、21です。同じ値をそれぞれ数えると中央は5と15です。条件内でcとdを動かしてもその位置は変わらないため、他の組も幅8にはなりません。

要点

範囲は最大値 − 最小値、四分位範囲はQ₃ − Q₁です。 奇数個では全体の中央値を除き、各群の中央値を取ります。 同じ中央値でも、2つの幅の大小は別々に決まります。 未知値は並びと整数条件を満たすか、元の列へ戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

範囲は合っているのに四分位範囲が違う場合は、上下の群に分けた線と、各群の中央に付けた印を見ます。奇数個の中央を残したのか、偶数個の中央2値を平均しなかったのかで、必要な練習は変わります。計算だけを繰り返す前に、元の列で位置を指して説明できるか確かめてください。

個別指導で扱うなら、まず自分の言葉で「何と何の差か」を述べてもらい、次に図の箱と端を対応させます。未知数の問題では、式を解いた後に値を列へ戻し、並びと指定された答えの形を確認します。2つの尺度を別々に読み取れば、散らばりの比較は根拠のある言葉になります。