高校数学I 内接円と外接円—同じ三角形の面積を介して二つの半径を求め分ける｜武蔵野個別指導塾

半周長と三辺の積を同じ面積に結び付け、内接円と外接円の半径を計算します。辺への距離と頂点への距離も区別します。

よくあるのは、高1の高校生が内接円と外接円の中心を同じ場所に置いてしまう場面です。三角形の中に小さな円を描き、その中心から頂点へ線を引くと、外側の円まで同じ距離に見えるかもしれません。しかし、辺までの距離が等しい点と頂点までの距離が等しい点は、求める条件が異なります。同じ三角形の面積を使えば、それぞれの半径を混同せずに求められます。

何が与えられ、何を返すのか

たとえば3辺の長さと面積が与えられ、2つの半径を求める問題があります。辺の和を見るのか、辺の積を見るのかを選ぶことが最初の分かれ目です。内接円は3辺に接し、外接円は3頂点を通ります。その違いを式の中でも追います。

別の問いでは、辺とその間の角から面積を出してから半径に進みます。面積が先に書かれていなくても、三角比で作れる場合があります。また、半径と辺の情報から面積を逆算し、残りの半径を探す問題もあります。どちらも面積が2つの式の橋渡しです。

ここで扱うのは退化していない三角形です。3辺は正で、どの2辺の和も残りの1辺より大きいとします。したがって面積と両方の半径は正です。数学Iの図形の計量の範囲で、三角比と正弦定理を用います。

辺までの距離と頂点までの距離

2種類の円の半径を面積と結び付けるため、三角形 ABC の面積を S とおきます。辺の長さには a = BC、b = CA、c = AB という記号を使います。内接円の中心を I、半径を r、外接円の中心を O、半径を R とします。半周長 s は (a + b + c)/2 です。図1のように、I から各辺へ下ろした垂線の長さは r で、O から各頂点までの長さは R です。

図1では2つの中心を別々に描いています。内心 I は角の二等分線の交点であり、外心 O は辺の垂直二等分線の交点です。正三角形では一致しますが、一般には一致するとは限りません。外心は鈍角三角形では三角形の外にあり、図の内側に必ずあると決めないことも必要です。

I と各頂点を結ぶと三角形 ABC は3つの三角形に分かります。それぞれの底辺を a、b、c と見れば、高さはいずれも r です。面積の和を取ると次の式になります。

S = ar/2 + br/2 + cr/2
  = (a + b + c)r/2
  = rs

この式で周長 a + b + c をそのまま s としないようにします。辺に接する点への線が垂直なので、その長さを高さにできることが根拠です。逆に S と s がわかれば、正の数 s で割って r = S/s です。

次に、頂点までの距離から外接円の式を作ります。正弦定理より a/sin A = 2R です。角 A は三角形の内角なので sin A は正であり、sin A = a/(2R) と変形できます。2辺 b、c とその間の角 A を用いた面積公式へ代入します。

S = bc sin A/2
  = bc・a/(2R)/2
  = abc/(4R)

したがって R = abc/(4S) です。分母の 4 は正弦定理の直径 2R と面積公式の 1/2 から生じます。内接円の式は辺の和に、外接円の式は辺の積に結び付きます。面積を2回別々に求め直す必要はなく、同じ S を渡せます。

基本例題：直角三角形で2つを比べる

三角形 ABC は A が直角で、AB = 12 cm、AC = 9 cm、BC = 15 cm です。内接円の半径 r と外接円の半径 R を、それぞれ cm を単位として求めてください。答えは整数または分数で表します。

図2のように、直角をはさむ2辺を底辺と高さに使います。外接円では斜辺の中点が3頂点から等距離になることも、答えを確かめる手掛かりです。

まず面積と半周長を計算します。

S = 9・12/2
  = 54 cm²
s = (9 + 12 + 15)/2
  = 18 cm
r = S/s
  = 54/18
  = 3 cm

次に同じ面積を外接円の式に入れます。

R = 9・12・15/(4・54)
  = 1620/216
  = 15/2 cm

答えは r = 3 cm、R = 15/2 cm です。図2の斜辺の中点から両端までの距離は 15/2 cm です。直角三角形では斜辺を直径とする円が直角の頂点も通るため、外接円の半径と一致します。

元の面積へ戻すと、3・18 = 54、9・12・15/(4・(15/2)) = 54 です。3² + 12² と 15² を比較するのではなく、与えられた2辺について 9² + 12² = 15² と確かめます。いずれの半径も正で、単位は面積を長さで割ることで cm になります。

標準例題：角から面積を作る

三角形 DEF で DE = 10 cm、DF = 14 cm、角 D = 60度です。内接円と外接円の半径を、それぞれ根号を含む正確な値で求めてください。

2辺の間の角が与えられているので、まず余弦定理で残りの辺を求めます。cos 60度 = 1/2 より、次のようになります。

EF² = 10² + 14² - 2・10・14・(1/2)
    = 100 + 196 - 140
    = 156
EF = 2√39 cm

長さは正なので正の平方根を選びます。2√39 は 4 より大きく 24 より小さいため、3辺は三角不等式を満たします。面積は sin 60度 = √3/2 から求まります。

S = 10・14・(√3/2)/2
  = 35√3 cm²
s = (10 + 14 + 2√39)/2
  = 12 + √39 cm
r = 35√3/(12 + √39) cm

分母を有理化する場合は、差の積が 144 − 39 = 105 であることを使います。

r = 35√3(12 - √39)/105
  = √3(12 - √39)/3 cm
R = 10・14・2√39/(4・35√3)
  = 2√13 cm

答えはいずれの r の形でも同じで、R = 2√13 cm です。r は 12 > √39 なので正です。戻してみると r s = 35√3 です。また EF² = 156 を余弦定理へ戻すと cos D = (100 + 196 − 156)/(2・10・14) = 1/2 となり、60度と合います。外接円の式へ戻しても面積は 35√3 cm² です。

発展例題：半径から面積を取り出す

三角形の3辺が 13 cm、14 cm、15 cm で、内接円の半径が 4 cm です。面積と外接円の半径を求めてください。面積は cm²、半径は cm を単位とし、整数または分数で表します。

まず3辺は正で、13 + 14 > 15 なので三角形が成立します。最長辺以外の2通りの和も残る辺を上回ります。半周長を求め、内接円の式から面積を逆算します。

s = (13 + 14 + 15)/2
  = 21 cm
S = rs
  = 4・21
  = 84 cm²
R = 13・14・15/(4・84)
  = 2730/336
  = 65/8 cm

面積 84 cm²、外接円の半径 65/8 cm です。与えられた内接円の半径が辺と矛盾しないかも確かめます。13 cm と 14 cm の間の角を T とすると、向かいの辺は 15 cm です。

cos T = (13² + 14² - 15²)/(2・13・14)
      = 140/364
      = 5/13
sin T = √(1 - (5/13)²)
      = 12/13
S = 13・14・(12/13)/2
  = 84 cm²

内角の正弦は正なので正の平方根を使いました。この面積を 21 で割ると、条件の 4 cm が戻ります。外接円の式でも 13・14・15/(4・(65/8)) = 84 となります。与えられた数を無条件に代入するだけでなく、三角形の形から同じ面積が出るかを確かめると、食い違う条件を見逃しにくくなります。

誤った半径を図に戻す

基本例題で「周長は 36 cm だから r = 54/36 = 3/2 cm」とした答案を考えます。計算自体は正しいものの、式 S = rs の s は周長ではなく半周長です。図3のように3つの小三角形の面積を足すと、それぞれに 1/2 が付きます。

図3の3つの底辺は元の3辺で、高さはどれも内接円の半径です。したがって 54 = (36・r)/2 となり、r = 3 cm と直します。誤答の 3/2 cm を戻すと (36・(3/2))/2 = 27 cm² であり、与えられた面積 54 cm² に届きません。

もう一つの誤りは、内心から頂点までの距離を外接円の半径と見なすことです。内心が保証するのは辺への垂直距離の一致です。外心は3頂点からの距離の一致で決めます。2つの条件を図に書き込めば、同じ文字を両方の中心に置いてよいかを判断できます。

面積の式で辺と角の対応を間違える場合もあります。S = bc sin A/2 の A は b と c の間の角です。別の角の正弦を使うときは、その角をはさむ2辺へ組を替えます。式の文字を先に覚えるより、頂点と向かい側の辺の対応を図に記すことが修正の出発点です。

練習：条件を面積につなぐ

次の5問では、長さは cm、面積は cm² とします。根号を含む場合は近似せず、正確な値で答えてください。

1. 直角三角形の直角をはさむ2辺が 5、12 です。内接円と外接円の半径を求めてください。
2. 三角形の3辺が 6、8、10 です。内接円の半径を求め、外接円の半径も求めてください。
3. 正三角形の1辺が 8 です。2つの半径を求めてください。
4. 三角形の2辺が 6、8、その間の角が 120度です。面積と2つの半径を求めてください。
5. 三角形の3辺が 10、10、12 です。高さを利用して面積を求め、2つの半径を求めてください。

練習の解答と道筋

1. 三平方の定理で斜辺を求めます。5² + 12² = 169 = 13² なので斜辺は 13 です。

S = 5・12/2 = 30
s = (5 + 12 + 13)/2 = 15
r = 30/15 = 2
R = 5・12・13/(4・30) = 13/2

答えは r = 2 cm、R = 13/2 cm です。2・15 = 30 と、5・12・13/(4・(13/2)) = 30 が元の面積に戻ります。斜辺の半分も 13/2 です。

2. 6² + 8² = 10² より、最長辺を斜辺とする直角三角形です。

S = 6・8/2 = 24
s = (6 + 8 + 10)/2 = 12
r = 24/12 = 2
R = 6・8・10/(4・24) = 5

答えは r = 2 cm、R = 5 cm です。2・12 = 24 で、直径 2・5 = 10 は斜辺に戻ります。3辺は 6 + 8 > 10 を満たします。

3. 頂点から対辺へ垂線を引くと、底辺は 4 ずつに分かれます。高さを h とすると、h² = 8² − 4² = 48 なので h = 4√3 です。

S = 8・4√3/2 = 16√3
s = (8 + 8 + 8)/2 = 12
r = 16√3/12 = 4√3/3
R = 8・8・8/(4・16√3) = 8√3/3

答えは r = 4√3/3 cm、R = 8√3/3 cm です。r・12 = 16√3 となり、外接円の式も同じ面積に戻ります。正三角形では2つの中心は一致しますが、半径は異なります。

4. cos 120度 = -1/2、sin 120度 = √3/2 を用います。残る辺を x とします。

x² = 6² + 8² - 2・6・8・(-1/2)
   = 148
x = 2√37
S = 6・8・(√3/2)/2 = 12√3
s = (6 + 8 + 2√37)/2 = 7 + √37
r = 12√3/(7 + √37)
R = 6・8・2√37/(4・12√3) = 2√111/3

面積は 12√3 cm²、半径はそれぞれ上の r、R に cm を付けた値です。x² = 148 を余弦定理に戻すと cos 120度 = -1/2 が得られます。r s と 6・8・x/(4R) もともに 12√3 です。

5. 長さ 12 の辺を底辺とし、対頂点から下ろした垂線の足を考えます。二等辺三角形なので底辺は 6 ずつに分かれ、高さは √(10² − 6²) = 8 です。

S = 12・8/2 = 48
s = (10 + 10 + 12)/2 = 16
r = 48/16 = 3
R = 10・10・12/(4・48) = 25/4

答えは面積 48 cm²、r = 3 cm、R = 25/4 cm です。高さについて 6² + 8² = 10² となり、与えられた辺へ戻ります。3・16 = 48、10・10・12/(4・(25/4)) = 48 も成立します。

手元に残す式

辺の和の半分を s とし、内接円には S = rs を使います。 外接円には S = abc/(4R) を使います。 面積と半径は正で、辺と角の対応を先に確かめます。

どこで手が止まったかを見る

半周長を求めた後に答えが半分になったなら、3つの小三角形に分け、それぞれの面積に付く 1/2 を書きます。中心が混ざったなら、辺に垂直な線と頂点へ向かう線を別々に引き、それぞれの等しい長さを印で区別します。式だけを見直すより、何の距離を半径にしたかを図で確認しやすくなります。

個別指導で確認する場合は、まず自分が選んだ底辺と高さを説明し、次に S = rs と S = abc/(4R) のどちらへ何を代入したかをたどります。条件が矛盾しているときは、求めた面積を辺や角に戻して一致しない箇所を探します。面積を共通の目印にすれば、2つの円の違いが式にも図にも残ります。