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高校数学I 内接円の半径—三つの小三角形の面積の和から半周長との関係を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 図形と計量を掘り下げる

3辺を底辺とする小三角形の面積を足し、周長との取り違えを直します。面積の和が導くのは内接円の半径です。

よくあるのは、高1の高校生が三角形の面積を周長で割り、内接円の半径としてしまう場面です。円が3辺に接することは使っていても、面積を作るときの「底辺かける高さを2で割る」が抜けると、答えは本来の半分になります。中心から3辺への距離を図に描き、面積の足し算から半周長が現れる道筋をたどります。

どの量が与えられるか

内接円の半径を求める問題では、三角形の3辺と面積が与えられる場合があります。また、2辺とその間の角から面積と残りの辺を先に計算する場合もあります。逆に、半径と3辺の関係から面積や未知の辺を求めることもあります。

どの場合も、まず三角形が成立しているか、面積が正かを確かめます。3辺が与えられたら、どの2辺の和も残りの1辺より大きいことが必要です。等しい場合は3点が一直線に並び、面積が0になるため、ここで扱う内接円はできません。半径を求める式に入る前に、図形の条件を点検します。

求める量の単位にも注目します。面積を長さで割ると長さになりますが、単位が合うことだけでは係数の2の有無は決まりません。式の由来に戻って係数まで確かめることが必要です。

3辺に下ろす垂線と面積

三角形ABCの辺BC、CA、ABの長さを順にa、b、c、面積をSとします。3辺のすべてに接する円を内接円、その中心をI、半径をrとします。三角形は面積が正で、中心Iはその内部にあります。円の接点へ引いた半径は接線に垂直ですから、Iから各辺に下ろした垂線の長さはどれもrです。

図1のように、Iと3頂点を結ぶと、元の三角形は重なりのない3つの小三角形に分かれます。各小三角形の底辺を元の三角形の辺にとると、高さはいずれもrです。

図1の3つの面積は、それぞれ ar/2、br/2、cr/2 です。したがって、面積の和は次のようになります。

S = ar/2 + br/2 + cr/2
  = (a + b + c)r/2

ここで、周長の半分を半周長と呼び、s = (a + b + c)/2 とおきます。すると、次の関係が得られます。

S = rs
r = S/s

sは正なので、最後の割り算ができます。周長をPと書くなら s = P/2 ですから、同じ関係は r = 2S/P とも書けます。面積を周長で割る S/P は r/2 です。半周長を使う式と周長を使う式を、両方とも面積の和から確かめておきます。

内接円の中心は三角形の内角の二等分線の交点でもありますが、面積の式の導出に必要なのは、中心から各辺への垂直距離が共通のrであることです。中心から頂点までの線分は一般にはrではありません。頂点へ向かう線を高さとして使わないよう、垂直の印を確認します。

半径を先に与えられたときは、S = rsを逆向きに読むこともできます。ただし、半周長の数値を作るには3辺の情報が必要です。面積と半径から s = S/r と求めた場合も、それだけで三角形の形が決まるとは限りません。求めた半周長が他の辺の条件と両立するか、問題ごとに確かめます。

例えば未知の辺を半周長の式から計算して正の値になっても、他の2辺の和以上なら三角形は成立しません。0以下の値が出た場合も長さとして採用できません。計算を続ける前に、未知辺が残りの2辺の差より大きく、和より小さいかを確認すると、式の候補と実際の図形を区別できます。

面積を求める前に、垂線の足が辺のどこにあるかにも目を向けます。三角形の頂点から対辺へ下ろす高さの足は、鈍角三角形では辺の延長上にくることがあります。一方、内心から各辺への垂線は接点に向かい、その長さは共通のrです。2種類の高さを混同せず、それぞれの底辺に対して垂直かを確認します。

基本例題：直角三角形の内接円

辺の長さが 9 cm、12 cm、15 cm の三角形があります。内接円の半径を分数または整数で求めてください。

図2のように、9² + 12² = 15² ですから、この三角形は9 cmと12 cmを直角にはさむ直角三角形です。9 + 12 > 15 で、辺は正なので三角形も成立します。

図2では直角をはさむ2辺を底辺と高さに使えます。まず面積と半周長を別々に求めます。

S = 9・12/2
  = 54 cm²
s = (9 + 12 + 15)/2
  = 36/2
  = 18 cm
r = S/s
  = 54/18
  = 3 cm

答えは 3 cm です。元の図形に戻して、3つの小三角形の面積を加えると (9・3 + 12・3 + 15・3)/2 = 54 cm² です。直角をはさむ2辺から求めた面積と一致します。周長36 cmで54 cm²を割った 3/2 cm を答えにした場合は、この和が27 cm²にしかならず、元の面積へ戻りません。

標準例題：角から面積と周長をそろえる

三角形ABCで AB = 8 cm、AC = 6 cm、角A = 120度です。内接円の半径を根号を含む形で求めてください。

2辺とその間の角が与えられ、角Aは0度より大きく180度より小さいので、面積は正です。残りの辺BCをaとすると、余弦定理と cos 120度 = -1/2 より、次のように求まります。

a² = 8² + 6² - 2・8・6・cos 120度
   = 64 + 36 - 96・(-1/2)
   = 148
a = 2√37 cm

辺の長さは正なので正の平方根を選びます。面積は sin 120度 = √3/2 を使い、半周長とともに求めます。

S = 8・6・sin 120度/2
  = 12√3 cm²
s = (8 + 6 + 2√37)/2
  = 7 + √37 cm
r = S/s
  = 12√3/(7 + √37) cm

分母を有理化する場合は、(7 + √37)(7 − √37) = 12 を使います。

r = 12√3(7 - √37)/12
  = √3(7 - √37) cm

7 > √37 なので、この半径は正です。答えを戻すと rs = √3(7 − √37)(7 + √37) = 12√3 cm² で、2辺と角から求めた面積に一致します。余弦定理で得た辺も (2√37)² = 148 を満たします。辺が正でも、その確認を省かず元の角の式へ戻します。

発展例題：半径から辺を逆に決める

直角三角形の2つの直角をはさむ辺の長さを x cm、24 cm、斜辺の長さを 26 cm とします。内接円の半径を求めた後、半径から面積を復元してください。長さは整数、面積は整数で答えてください。

斜辺が26 cmであることを使い、三平方の定理から正の辺を決めます。

x² + 24² = 26²
x² = 676 - 576
x² = 100
x = 10 cm

10 + 24 > 26 なので三角形の条件も満たします。面積と半周長を経由して半径を求めます。

S = 10・24/2
  = 120 cm²
s = (10 + 24 + 26)/2
  = 30 cm
r = 120/30
  = 4 cm

逆に、半径と半周長から復元した面積は S = 4・30 = 120 cm² です。さらに、10² + 24² = 26² で元の直角と辺の条件にも戻ります。半周長だけから面積を出すことはできず、半径も必要です。このように、求めた値を別の条件へ戻すと、途中の計算の筋を点検できます。

誤答を面積の和に戻して直す

辺が 5 cm、12 cm、13 cm の直角三角形の面積は 30 cm²、周長は 30 cm です。面積を周長で割り、半径を 30/30 = 1 cm としたとします。図3のように、周長を底辺の合計とすること自体は正しいのですが、各三角形の面積には1/2が付きます。

図3の面積の式は 30 = 30r/2 です。よって r = 2 cm です。誤答の1 cmを戻すと、30・1/2 = 15 cm² となり、与えられた面積には届きません。正しい2 cmなら、3つの面積の和は 30・2/2 = 30 cm² です。5² + 12² = 13² から直角三角形であり、5・12/2 = 30 cm² という元の面積にも戻れます。

他にも、面積を出すときに2辺の間ではない角を使う、3辺が三角形を作らないまま半周長を計算する、直角三角形で斜辺を高さにする、といった失敗があります。間の角を図に印し、3辺の和の関係を調べ、高さが底辺に垂直かを見直します。円の半径が正であることも最後に確認します。

練習問題

次の5問はそれぞれ独立した三角形です。長さと面積は指定された形で答えてください。先に5問を解き、後の解答と照らし合わせます。

辺が 6 cm、8 cm、10 cm の三角形の内接円の半径を整数で求めてください。
底辺が 10 cm、残りの2辺がともに 13 cm の二等辺三角形の内接円の半径を分数で求めてください。
2辺が 5 cm、7 cm、その間の角が 60度の三角形の内接円の半径を根号を含む形で求めてください。
3辺が 7 cm、8 cm、9 cm、内接円の半径が √5 cm の三角形の面積を根号を含む形で求めてください。
3辺が 4 cm、5 cm、9 cm の図形について、S = rs を使って正の内接円の半径を求められるか答え、理由を述べてください。

練習問題の解答

1

6² + 8² = 10² なので直角三角形です。6 + 8 > 10 で、三角形は成立します。

S = 6・8/2 = 24 cm²
s = (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm
r = 24/12 = 2 cm

半径を戻すと (6 + 8 + 10)・2/2 = 24 cm² です。与えられた辺でできる面積と一致します。

2

頂点から底辺への垂線は底辺を5 cmずつに分けます。高さをh cmとすると、三平方の定理から次を得ます。

h² = 13² - 5²
   = 144
h = 12
S = 10・12/2
  = 60 cm²
s = (10 + 13 + 13)/2
  = 18 cm
r = 60/18
  = 10/3 cm

13 + 13 > 10 などの辺の条件も満たします。戻すと (10/3)・18 = 60 cm²、また 5² + 12² = 13² で、辺と面積をともに確かめられます。

3

残りの辺をa cmとします。与えられた角は0度と180度の間なので、面積は正です。

a² = 5² + 7² - 2・5・7・cos 60度
   = 25 + 49 - 35
   = 39
a = √39
S = 5・7・sin 60度/2
  = 35√3/4 cm²
s = (5 + 7 + √39)/2
  = (12 + √39)/2 cm
r = (35√3/4)/((12 + √39)/2)
  = 35√3/(2(12 + √39)) cm

√39 は2より大きく12より小さいので、3辺は三角形の条件を満たします。得た半径に半周長を掛けると 35√3/4 cm² に戻り、a² = 39 も元の余弦定理の式と一致します。

4

7 + 8 > 9 であり、他の2組も成立するので三角形を作れます。半周長から面積を求めます。

s = (7 + 8 + 9)/2
  = 12 cm
S = √5・12
  = 12√5 cm²

独立に辺からも確かめます。長さ7と8の間の角をAとすると、余弦定理により cos A = (7² + 8² − 9²)/(2・7・8) = 2/7 です。角Aは三角形の内角なので sin A は正であり、sin A = √(1 − 4/49) = 3√5/7 です。面積は 7・8・(3√5/7)/2 = 12√5 cm² と一致します。