武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学I 三辺から三角形の面積—余弦から正弦へ進み根号と正の面積を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 図形と計量を掘り下げる

成立条件と余弦から正弦へ進み、鈍角や根号を含む三辺からの面積を求めます。

よくあるのは、高1の高校生が3本の辺の長さから余弦を求め、その値をそのまま面積公式に入れてしまう場面です。余弦は辺の向きを表す手がかりですが、面積に必要なのは底辺に対する高さです。まず3本で三角形ができるか調べ、角の正弦を通して高さへ進めば、計算の意味が見えてきます。鈍角でも面積は負になりません。

三辺が渡されたときの問い

3本の棒の長さを知っているとき、囲まれる三角形の面積を求めるには、どの角から調べればよいでしょうか。また、計算途中の余弦が負なら、面積も負になるのでしょうか。さらに、3本のうち最も長い棒が残りの2本の和以上なら、同じ公式を使ってよいのでしょうか。

いずれも、数字を公式へ入れる前に図形が存在するかを確かめる問いです。ここでは三辺から余弦定理と三角比の関係を使い、高さを経由して面積を求めます。三辺だけから直接面積を表す別の公式は使いません。長さは同じ単位にそろえ、面積にはその単位を2乗した単位を付けます。

余弦から高さへの橋渡し

三角形 ABC で、角 A の向かいの辺 BC を a、CA を b、AB を c とします。a、b、c は正です。三角形が成立するためには、最も長い辺が他の2辺の和より小さいことが必要です。この条件を満たす正の3辺なら三角形を作れます。等しい場合は3点が一直線に並び、面積が正の三角形にはなりません。

図1のように、角 A を挟む辺は b と c で、向かいの辺が a です。余弦定理を角 A について整理すると、次の式です。

a² = b² + c² - 2bc cos A
cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)

分母は b、c が正なので0ではありません。辺の対応を見失ったら、先に図に a、b、c を書き、引き算に使う a が角 A の向かいにあるかを確かめます。a は角を挟む辺ではありません。

図1のように、次に sin² A + cos² A = 1 を使います。三角形の内角は 0°より大きく 180°より小さいので、sin A は正です。したがって、二乗を外す際には正の平方根を選びます。cos A が負となる鈍角でも、この判断は変わりません。

sin² A = 1 - cos² A
sin A = √(1 - cos² A)
S = bc sin A/2

最後の式は、辺 c を底辺とすると高さが b sin A になることから得られます。鈍角では垂線の足が辺の延長上にあっても、高さの長さは正です。余弦が0なら直角で、正弦は1です。一方、計算で余弦の絶対値が1を超えたり、正弦の平方根の中が負になったりしたら、辺の成立条件か計算を点検します。絶対値が1の場合も面積0で、通常の三角形にはなりません。

三角形の成立を先に見る理由は、後の計算で使う角が実際に存在することを保証するためです。長さが正でも、最長辺が長すぎる組は除きます。最長辺が他の2辺の和より小さければ、残る2つの不等式も正の長さから満たされます。

どの角を選んでも面積は同じです。ただし、選んだ角の余弦を出す式と、最後に掛ける2辺は必ずその角に合わせます。大きな数の二乗を減らしたいときは角を選び直してもよいですが、途中で角だけ取り換えると対応が崩れます。

基本：正弦を1段挟む

三角形 ABC の辺が BC = 7 cm、CA = 5 cm、AB = 6 cm です。面積を平方センチメートルで、根号を用いて求めます。

最長辺について 7 < 5 + 6 なので三角形は成立します。角 A に着目すると、向かいの辺は7、挟む辺は5と6です。図2のように高さを求めるため、余弦から正弦へ進みます。

cos A = (5² + 6² - 7²)/(2・5・6)
      = (25 + 36 - 49)/60
      = 1/5
sin² A = 1 - (1/5)²
       = 24/25
sin A = 2√6/5
S = 5・6・(2√6/5)/2
  = 6√6

答えは 6√6 cm² です。正弦の正値を選んだのは、A が三角形の内角だからです。高さは 5 sin A = 2√6 cm で、底辺6 cmに戻すと 6・2√6/2 = 6√6 cm² です。

図2で垂線の足を H とすると、AH = 5 cos A = 1 cm、BH = 5 cm です。CH² = 5² − 1² = 24、BC² = 5² + 24 = 49 となり、与えられた3辺に戻ります。面積が正であることに加えて、元の辺が再現されるかを見れば、辺の取り違えにも気づけます。

標準：鈍角の余弦と正の面積

三角形 PQR で PQ = 4 cm、PR = 7 cm、QR = 9 cm です。面積を平方センチメートルで根号を用いて求めます。

最長辺は9で、9 < 4 + 7 です。角 P の向かいが9、挟む2辺が4と7なので、余弦定理を適用できます。

cos P = (4² + 7² - 9²)/(2・4・7)
      = (16 + 49 - 81)/56
      = -2/7
sin² P = 1 - (-2/7)²
       = 45/49
sin P = 3√5/7
S = 4・7・(3√5/7)/2
  = 6√5

答えは 6√5 cm² です。余弦が負なので P は鈍角ですが、sin P は正です。PR を底辺にすると高さは 4・3√5/7 = 12√5/7 cm で、7・(12√5/7)/2 = 6√5 cm² と戻せます。

さらに、P から Q の底辺方向の位置は P の外側にあり、その距離は 4・2/7 = 8/7 cm です。高さの二乗は 720/49、水平距離の二乗は 64/49 なので PQ² = 784/49 = 16 です。R までの水平距離は 7 + 8/7 = 57/7 cm ですから、QR² = (57² + 720)/49 = 81 となり、9 cm に戻ります。足が外にある場合も、長さとして足し引きを整理すれば検算できます。

発展：文字を含む辺と成立の境界

三角形 XYZ で XY = 5 cm、XZ = 5 cm、YZ = x cm とします。x が正であるとき、三角形が成立する x の範囲と面積を求めます。面積は x を用い、平方センチメートルで表します。

正の辺を前提にすると、最長辺が x の場合は x < 10、最長辺が5の場合は 5 < 5 + x が必要です。後者は x > 0 で満たされます。よって成立範囲は 0 < x < 10 です。端の値を含めると、辺が0になるか一直線になるため除きます。

cos X = (5² + 5² - x²)/(2・5・5)
      = (50 - x²)/50
sin² X = 1 - ((50 - x²)/50)²
       = (2500 - (2500 - 100x² + x⁴))/2500
       = x²(100 - x²)/2500
sin X = x√(100 - x²)/50
S = 5・5・(x√(100 - x²)/50)/2
  = x√(100 - x²)/4

答えは 0 < x < 10、面積は x√(100 − x²)/4 cm² です。平方根の外に出すとき √(x²) = x としたのは、x が正だからです。また範囲内では 100 − x² > 0 で、面積は正です。端点を代入して得る0は、三角形の面積の答えとして採用しません。

別の道でも条件に戻します。二等辺三角形の頂点 X から底辺 YZ に垂線を下ろすと、合同な2つの直角三角形に分かれ、底辺はそれぞれ x/2 です。高さを h とすると、三平方の定理より h² = 25 − x²/4 です。h は正なので h = √(100 − x²)/2 となり、底辺と高さから S = xh/2 = x√(100 − x²)/4 と一致します。例えば x = 6 なら高さは4、左右の半分は3で、斜辺は5に戻ります。

誤答を直す：余弦は高さではない

基本例題の三角形で、cos A = 1/5 から S = 5・6・(1/5)/2 = 3 cm² とする誤答を考えます。計算の形は面積公式に似ていますが、5 cos A は辺 AB の方向への成分であり、AB に垂直な高さではありません。

図3のように、5 cos A = 1 cm は底辺方向の長さ AH です。正しい高さ CH は 5 sin A = 2√6 cm です。三平方の定理で CH² = 25 − 1 = 24 と求めても、同じ高さになります。底辺6 cmに掛ける数を CH に直すと、面積は 6√6 cm² です。

別の誤りとして、鈍角の余弦が負だから正弦も負とすることがあります。三角形の内角の正弦は正であり、面積も正です。また、3辺が 2、3、5 のとき、余弦の式だけを進めると正弦0が出ますが、最長辺が他の2辺の和と等しいため三角形は成立しません。式が数値を返しても、問題が要求する図形の存在までは保証しません。

確認の順序は、最長辺と残りの和、角と辺の対応、余弦から正弦への変換、高さと単位です。途中で根号の中が負になった場合は、無理に平方根を求めずに、成立条件と二乗の引き算を戻って調べます。

練習：異なる三辺で試す

いずれも長さの単位は cm です。三角形が成立するかを先に調べ、成立する場合の面積は cm² で、必要なら根号を用いて答えてください。

三辺が 3、4、5 の三角形の面積を求めます。
三辺が 5、5、6 の三角形の面積を求めます。
三辺が 3、7、8 の三角形の面積を求めます。
三辺が 2、4、7 の三角形の面積を求めます。
三辺が 6、8、10√2 の三角形の面積を求めます。

練習の解答と確かめ

1

5 < 3 + 4 なので成立します。長さ3と4の間の角を θ とします。

cos θ = (3² + 4² - 5²)/(2・3・4)
      = 0
sin θ = 1
S = 3・4・1/2
  = 6

答えは 6 cm² です。直角なので高さは3 cmで、底辺4 cmから面積6 cm²に戻ります。また 3² + 4² = 5² で、向かいの辺も元の5 cmです。

2

6 < 5 + 5 なので成立します。等しい2辺の間の角を θ とします。

cos θ = (5² + 5² - 6²)/(2・5・5)
      = 14/50
      = 7/25
sin² θ = 1 - (7/25)²
       = 576/625
sin θ = 24/25
S = 5・5・(24/25)/2
  = 12

答えは 12 cm² です。底辺6 cmの半分は3 cm、高さは4 cmで、3² + 4² = 5² です。元の両側の辺が5 cmと確かめられ、面積も 6・4/2 = 12 cm² です。

3

8 < 3 + 7 なので成立します。長さ3と7の間の角を θ とします。

cos θ = (3² + 7² - 8²)/(2・3・7)
      = -6/42
      = -1/7
sin² θ = 1 - (-1/7)²
       = 48/49
sin θ = 4√3/7
S = 3・7・(4√3/7)/2
  = 6√3

答えは 6√3 cm² です。長さ7の辺を底辺とすると高さは 12√3/7 cmで、面積に戻すと 6√3 cm² です。鈍角側の水平距離は 3/7 cm、反対端までの水平距離は 52/7 cm です。その二乗と高さの二乗の和は (2704 + 432)/49 = 64 で、向かいの辺8 cmを再現します。

4

7 > 2 + 4 なので三角形は成立せず、面積は求められません。2本の辺を一直線に伸ばしても端点の距離は最大6 cmで、7 cmには届かないからです。余弦定理に代入すると (2² + 4² − 7²)/(2・2・4) = -29/16 となり、内角の余弦の範囲からも外れます。

5

両辺が正なので二乗して比べると、200 > 196 です。したがって 10√2 > 14 で、三角形は成立しません。最長辺は10√2であり、他の2辺の和14を超えます。余弦を計算すると (6² + 8² − (10√2)²)/(2・6・8) = -25/24 となり、これも内角の余弦にはなりません。

手元に残す要点

最長辺が残りの2辺の和より小さいか確かめます。
余弦定理では、対象の角の向かいの辺を引きます。
内角の正弦は正なので、正の平方根を選びます。
面積には、その角を挟む2辺と正弦を使います。
面積を高さと元の辺に戻して確かめます。

式が止まった場所を見つける

成立条件を通ったのに平方根の中が負になったら、最初に余弦の分子を見直します。引く辺が選んだ角の向かいにあるか、二乗の後に引いているかを図に印を付けて確かめます。正弦まで出たのに面積が負なら、平方根の符号と内角の範囲を確認します。

個別指導の場では、答案の正誤だけでなく、どの辺を底辺と見たかを図に書いてもらい、高さが底辺に垂直かを一緒に確かめる方法があります。式の中の2辺がその高さに対応する角を挟んでいるかまで追うと、角を途中で入れ替えた箇所も見つけやすくなります。三辺から求めた余弦を、高さにつながる正弦へ渡すことが面積への道筋です。