高校数学I 正弦定理で二つの三角形—二辺と一つの対角から成立する角の候補を調べる｜武蔵野個別指導塾

二辺と対角から正弦の等しい角を探し、内角和と直角の境界を使って判定する正弦定理の二候補です。

高1の高校生が、二辺とその一辺の対角からもう一つの角を求め、鈍角の候補を内角和で吟味しない場面があります。正弦の値が同じでも、候補の角を与えられた角と一緒に三角形に入れられるとは限りません。残る角が正かどうかまで調べると、三角形が0個、1個、2個のどれになるか決まります。

どこで候補が分かれるか

三角形 ABC で、角 A、辺 BC、辺 CA が与えられたとします。辺 BC は角 A の向かい、辺 CA は角 B の向かいです。この組を正弦定理に入れると、角 B の正弦が求まります。しかし、正弦の値が同じ角には、鋭角とその補角である鈍角がありえます。

問われ方には、成立する三角形の個数を答えるもの、可能な角 B をすべて求めるもの、辺の長さを変えたときに個数が変わる境界を調べるものがあります。いずれも、正弦の式を解いた段階では終わりません。角 A と角 B の和が 180度より小さいか調べて、残りの角 C を作る必要があります。

与えられた2辺が角 A をはさむ場合は、ここで扱う条件とは異なります。ここでは、既知の角と、その向かいの辺を含む2辺を使って考えます。学習範囲は、鋭角と鈍角の三角比、正弦定理、三角形の決定を含みます。

正弦の値から内角へ

三角形 ABC で、角 A、B、C の対辺を順に a、b、c と書きます。各角は 0度より大きく、180度より小さいものです。正弦定理は次の対応を与えます。

a / sin A = b / sin B = c / sin C

A、a、b が与えられるとき、a は正なので、最初の2つの比から次の式が得られます。

sin B = b sin A / a

右辺を k とします。a、b が正で A が三角形の内角なら k も正です。k が 1より大きいと、内角の正弦として取りえないため、三角形はありません。k が 1なら B は 90度です。0より大きく1より小さいとき、正弦が k の鋭角を β とすると、候補は β と 180度 − β の2つです。

図1のように、同じ高さにある半円上の2点は同じ正弦を与えます。半円の中心から右向きの半径を基準として測る角が β と 180度 − β です。ただし、これは角 B の候補の話で、まだ三角形の成立を保証しません。

図1の2点が一致する頂点の高さでは、角は 90度の1つです。半円より高い位置には点がなく、正弦が1を超える角はありません。候補が出たら各候補について C = 180度 − A − B を計算し、C が正の場合だけ残します。C が0度なら3点が一直線になり、三角形にはなりません。

この判定で、鈍角候補が落ちる理由も具体的に見えます。B = 180度 − β なら、C = β − A です。したがって鈍角候補が成立する条件は β > A です。鋭角候補にも A + β < 180度が必要です。A が鋭角でも鈍角でも、この不等式を直接確かめれば判定できます。

逆に、角の候補が条件を満たせば、C が正になり、角の和は180度です。与えられた a を一辺としてその両端に対応する角 B、C を描けば三角形が定まります。さらに正弦定理から対辺 b も指定値に戻るため、候補の数と成立する形の数が対応します。

基本例題：二つとも残る場合

三角形 ABC で A = 30度、a = 4、b = 4√2 とします。成立する三角形の個数と、可能な B、C を度で求めてください。長さの単位は共通とします。

図2のように、共通の辺 AC を固定し、A から30度の方向へ引いた半直線上に B を探します。点 C からの距離が4の位置が2か所あるため、2通りの形が見えます。図で予想した後、角の計算で両方を確かめます。

正弦定理から、対応する辺と角を組にします。

sin B = b sin A / a
      = 4√2・(1/2) / 4
      = √2 / 2

0度より大きく180度より小さい範囲で、B の候補は 45度と135度です。それぞれ残りの角を求めます。

B = 45度のとき
C = 180度 - 30度 - 45度
  = 105度

B = 135度のとき
C = 180度 - 30度 - 135度
  = 15度

どちらも C が正なので、三角形は2個です。答えは (B, C) = (45度, 105度)、(135度, 15度) です。135度を得た時点で捨てる理由はありません。与えられた A が30度なので、鈍角を足しても180度に達しないからです。

元の辺の条件にも戻します。どちらの B も sin B = √2 / 2 ですから、正弦定理で b = 4・(√2 / 2) / (1/2) = 4√2 となります。A と a も指定どおりで、2つの候補はそれぞれ元の条件を満たします。

標準例題：鈍角を内角和で除く

三角形 ABC で A = 75度、a = 2√6 + 2√2、b = 4√2 とします。成立する三角形の個数と、可能な B、C を度で求めてください。なお sin 75度 = (√6 + √2) / 4 を用いてよいものとします。

sin B = b sin A / a
      = 4√2・(√6 + √2) / {4(2√6 + 2√2)}
      = √2 / 2

B の候補は 45度、135度です。候補を1つずつ内角和へ戻します。

B = 45度のとき
C = 180度 - 75度 - 45度
  = 60度

B = 135度のとき
C = 180度 - 75度 - 135度
  = -30度

後者は C が負なので三角形を作れません。成立する三角形は1個で、B = 45度、C = 60度です。正弦の式には135度も合いますが、三角形の内角としては使えないことが除外の理由です。

採用した角で b を復元すると、次のとおりです。

b = a sin B / sin A
  = (2√6 + 2√2)・(√2 / 2) / {(√6 + √2) / 4}
  = 4√2

指定された辺に戻り、3角も正で和が180度です。正弦が同じという確認と、三角形が成立するという確認は別々に行います。

発展例題：辺を動かして境界を調べる

A = 30度、b = 8 の三角形 ABC を考えます。正の長さ a を変えるとき、成立する三角形の個数を a の範囲ごとに求めてください。境界の値も含めて答えます。

正弦定理から、まず角 B の候補が存在する条件を調べます。

sin B = 8・(1/2) / a
      = 4 / a

0 < a < 4 では 4 / a > 1 なので候補はなく、0個です。a = 4 では sin B = 1、B = 90度です。このとき C = 60度で、1個です。直角の境界を不等号のどちらかに紛れ込ませず、独立に確認します。

次に a > 4 とします。sin B = 4 / a を満たす鋭角を β とすると、B は β または 180度 − β です。鋭角候補では A + β < 30度 + 90度 < 180度 なので、常に C が正です。

鈍角候補では、残る角は次のようになります。

C = 180度 - 30度 - (180度 - β)
  = β - 30度

したがって、鈍角候補が成立するのは β > 30度のときです。β は鋭角なので、その正弦は角が大きくなると大きくなります。sin 30度 = 1/2 と比べます。

β > 30度
4 / a > 1 / 2
a < 8

a > 4 と合わせると、4 < a < 8 では2個です。a = 8 では β = 30度、鈍角候補の B = 150度 は C = 0度を与えるため除外します。鋭角候補は B = 30度、C = 120度で成立し、1個です。a > 8 では β < 30度となり、鈍角候補の C は負なので、やはり1個です。

答えをまとめると、0 < a < 4 で0個、a = 4 で1個、4 < a < 8 で2個、a ≥ 8 で1個です。境界 a = 4 では B = 90度、C = 60度を戻すと、b = 4・1 / (1/2) = 8 です。a = 8 の採用候補も b = 8・(1/2) / (1/2) = 8 と元の長さに戻ります。境界に等号を付ける前に、退化した図と直角の図をそれぞれ確かめます。

誤答を角の和へ戻す

A = 60度、a = 6、b = 6 のとき、sin B = √3 / 2 から B = 60度または120度とし、三角形は2個と答えたとします。正弦の候補までは合っていますが、120度をそのまま採用した点が誤りです。

図3の左のように、B = 120度とすると A と B の和がちょうど180度です。残る角 C は0度になり、辺は一直線に重なります。角が0度の図は面積を持つ三角形ではありません。

図3の右側のように、B = 60度なら C = 60度で、3角が正です。この場合は正弦定理で b = 6・sin 60度 / sin 60度 = 6 と戻り、条件を満たします。答えは1個です。

修正の手順は、候補を最初から消すことではありません。候補ごとに C を計算し、正、0、負を区別します。正なら成立候補、0なら一直線、負なら角の和が既に180度を超えています。とくに「鈍角だから不成立」と判定すると、基本例題の135度のように実際に成立する場合を失います。

練習：候補を残す理由まで書く

各問で三角形 ABC の角 A、B、C の対辺を a、b、c とします。角度は度で答え、個数を求める問題では0個の場合も含めて考えてください。必要な長さの単位は共通です。

1. A = 30度、a = 5、b = 5 とします。成立する三角形の個数と B、C を求めてください。
2. A = 45度、a = 3√2、b = 6 とします。成立する三角形の個数と B、C を求めてください。
3. A = 60度、a = 3、b = 4√3 とします。成立する三角形の個数を求めてください。
4. A = 120度、a = 4√3、b = 4 とします。成立する三角形の個数と B、C を求めてください。
5. A = 30度、b = 10 とします。正の a を変えるとき、成立する三角形が2個となる a の範囲を求めてください。

練習の解答と照合

1

sin B = 5・(1/2) / 5
      = 1/2

候補は B = 30度、150度です。前者なら C = 180度 − 30度 − 30度 = 120度、後者なら C = 180度 − 30度 − 150度 = 0度です。後者を除き、1個です。答えは B = 30度、C = 120度です。辺を戻すと b = 5・sin 30度 / sin 30度 = 5 です。

2

sin B = 6・(√2 / 2) / (3√2)
      = 1
B = 90度
C = 180度 - 45度 - 90度
  = 45度

C は正ですから1個です。b = 3√2・1 / (√2 / 2) = 6 と戻ります。正弦が1のとき、補角を取っても90度のままなので、2個とは数えません。

3

sin B = 4√3・(√3 / 2) / 3
      = 2

内角の正弦は1を超えないため候補がなく、0個です。仮に三角形があるとすると、正弦定理を元の条件へ適用して sin B = 2 となり矛盾します。存在しない角に対して C を計算する必要はありません。

4

sin B = 4・(√3 / 2) / (4√3)
      = 1/2

B の候補は30度、150度です。B = 30度なら C = 180度 − 120度 − 30度 = 30度です。B = 150度なら C = 180度 − 120度 − 150度 = -90度となり不成立です。1個で、B = 30度、C = 30度です。復元すると b = 4√3・(1/2) / (√3 / 2) = 4 です。

5

sin B = 10・(1/2) / a
      = 5 / a

a < 5 では正弦が1を超え、a = 5 では B = 90度の1個です。a > 5 のとき、鋭角候補を β とすると、もう一方は 180度 − β です。鋭角候補は必ず成立し、もう一方の残りの角は β − 30度です。これが正である条件を求めます。

β > 30度
5 / a > 1/2
a < 10

よって答えは 5 < a < 10 です。a = 10 では β = 30度、鈍角候補の残りが0度なので含めません。範囲内では2つの候補が同じ正弦 5 / a を持ち、どちらも残りの角が正です。各候補で b = a・(5 / a) / (1/2) = 10 に戻るので、指定された辺も満たします。

手元に残す要点

• 対辺の組をそろえ、sin B = b sin A / a を作ります。
• 正弦が1を超えると候補はなく、1なら直角が1候補です。
• 0より大きく1より小さいときは鋭角とその補角を調べます。
• 候補ごとに C = 180度 − A − B が正かを確かめます。
• 最後に正弦定理で元の辺へ戻し、個数を数えます。

止まった場所を見つける

候補が1つしか出ないときは、半円上で同じ高さの点が左右にあることを図に描いてみます。候補は出るのに個数が合わないときは、各候補の横に C の式を書き、0度と負の値を区別します。辺の復元が合わなければ、角と向かいの辺を結ぶ線を引いて正弦定理の分子と分母を点検します。

個別指導で確かめるときも、まず本人が書いた候補と残りの角の式を見ます。どの候補をなぜ除いたかを説明できれば、別の数値でも境界を見失いにくくなります。正弦の等しさと三角形の成立をつなぐのは、残る内角が正かという判定です。