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高校数学I 直角三角形の辺の長さ—既知の辺と基準角から掛ける比と割る比を選ぶ｜武蔵野個別指導塾
斜辺・対辺・隣辺のどれが既知かを整理し、逆数の誤りから直角三角形の辺の長さへ戻ります。
よくあるのは、高1の高校生が未知の辺を分母に置いた式を作り、そのまま比を掛けてしまう場面です。図に式を書けていても、求めたい長さが分母にあるときと分子にあるときでは、計算の向きが変わります。まず比の定義を置き、次に等式を未知数について解けば、暗記に頼らず選べます。
ここで扱うのは直角三角形の辺です。角は鋭角を基準にし、一般の三角形には広げません。学習指導要領の確定値表にある数学Iの範囲のうち、鋭角の三角比を使います。
どの長さから出発するか
辺の長さを求める問いには、斜辺と角から対辺を出すもの、対辺と角から斜辺を戻すもの、隣辺と角から対辺を出すものがあります。見かけは似ていますが、既知の辺と求めたい辺の位置が違います。問題文の数を式へ急いで入れる前に、2本の辺の名前を決めます。
例えば、斜辺が既知で対辺を求めるなら、対辺は斜辺の何倍かを考えます。逆に対辺が既知で斜辺を求めるなら、対辺を生むもとの長さを探します。この逆向きの操作で、同じ比を割ることになります。隣辺と対辺の間なら、斜辺を経由しなくても正接を使えます。
基準角を固定して辺に名前を付ける
直角三角形で、直角に向かい合う辺を斜辺と呼びます。基準とする鋭角を θ とすると、その角に向かい合う辺が対辺、角をはさむ辺のうち斜辺でない辺が隣辺です。隣辺は基準角を変えれば変わりますが、斜辺は直角の向かい側のままです。
図1のように、直角を確認してから θ を見ます。辺の名前は紙の上下や左右では決まりません。図を回転しても、直角との位置と θ との位置で判断します。
図1では左下が θ、右下が直角です。斜めの辺が斜辺、右の辺が対辺、下の辺が隣辺です。3つの比は次のように定義されます。
sin θ = 対辺 / 斜辺
cos θ = 隣辺 / 斜辺
tan θ = 対辺 / 隣辺どの式にも、今回の基準角に対する辺を入れます。いずれの辺も正の長さですから、これらの分母は0ではありません。鋭角の比は正なので、比で割る操作も可能です。
式を選ぶ基準は、既知と未知の2辺が同じ行にあることです。例えば対辺と斜辺なら sin、隣辺と斜辺なら cos、対辺と隣辺なら tan を使います。残りの辺が不要なら、その辺を先に求める必要はありません。
比を r、既知の長さを a、未知の長さを x とします。x / a = r なら両辺に a を掛けて x = ar です。一方 a / x = r なら両辺に x を掛けて a = rx とし、r で割って x = a / r です。分数の分子と分母を入れ替えるのではなく、等式の両辺に同じ操作を施します。
答えの妥当性も位置から見られます。斜辺は各直角をはさむ辺より長く、sin と cos は鋭角では1より小さい値です。斜辺から対辺を出すと短くなり、対辺から斜辺を戻すと長くなります。tan は1より大きい場合も小さい場合もあるので、常に短くなるとは限りません。
割る意味を別の向きから見る
例えば正の比 r が対辺 / 斜辺を表すとき、斜辺を1とした対辺が r です。斜辺を a 倍にすれば対辺も a 倍となり、対辺は ar です。反対に対辺 b が与えられたときは、何倍すれば r が b になるかを探します。その倍率が b / r なので、斜辺が b / r になります。式の移項と、同じ形を拡大する考え方は同じ結果を指します。
値を代入する前に、r が何を何で割った数かを言葉で読む習慣も役立ちます。分数の上下を逆に書いたまま計算を正しく進めても、元の図には戻りません。例えば正弦の分母は斜辺であり、既知の辺が分母とは限らないことに注意します。
条件が足りない場合
直角と鋭角が決まっても、辺の長さが一つも与えられなければ、大きさは決まりません。同じ形を2倍にも3倍にもできるからです。一方、正の辺が一つと鋭角が一つ与えられれば、対応する比から残りの辺を求められます。長さを聞かれたら、比だけでなく基準となる実際の長さを探します。
問題に0や負の辺の長さが示された場合は、計算を続ける前に直角三角形の辺として成立しないと判断します。また、基準角を直角として辺の名前を付けることはできません。三角比を代入する前に、直角と鋭角の指定を確認する必要があります。
比が与えられていない角では、その角の比の値を表などから得る必要があります。小数を使う場合は途中で丸めすぎると、最後の答えに影響します。問題で指定された桁に従い、可能なら途中は分数や根号のまま計算を続けます。単位が混在するときは、比を作る前に同じ単位にそろえます。
基本：斜辺から対辺へ
直角三角形 ABC で ∠C = 90度、∠A = 30度、斜辺 AB = 14 cm とします。対辺 BC の長さを cm 単位の整数で求めます。図2はこの条件を表します。
図2の基準角 A の向かいが BC です。sin 30度 = 1/2 を使い、未知数を x cm と置きます。
sin 30度 = BC / AB
1/2 = x / 14
x = 14・(1/2)
x = 7よって BC = 7 cm です。14 cm の半分を取るので、斜辺より短い結果です。元の比に戻すと 7 / 14 = 1/2 となり、与えた角の正弦と一致します。
同じ図で AC を求めるなら、AC は隣辺なので cos を選びます。目的が変われば比も変わります。数値を見て公式を探すのではなく、目的の辺を図に印してから関係を選ぶことが出発点です。
標準：対辺から斜辺へ戻す
直角三角形 DEF で ∠F = 90度、∠D = 60度、対辺 EF = 9 cm とします。斜辺 DE を cm 単位の根号を含む形で求めます。sin 60度 = √3/2 とします。
斜辺を x cm とすると、定義から対辺を分子に置きます。x は正なので、両辺に x を掛けられます。
sin 60度 = EF / DE
√3/2 = 9 / x
(√3/2)x = 9
x = 9 / (√3/2)
x = 18 / √3
x = 6√3答えは DE = 6√3 cm です。最後は分母と分子に √3 を掛けて整理しました。元の条件へ戻すと、6√3・(√3/2) = 9 cm です。さらに (6√3)² = 108 は 9² = 81 より大きく、斜辺が対辺より長いこととも合います。
誤って 9・(√3/2) とすると斜辺が9 cmより短くなります。その値は式の向きと図形の両方から退けられます。とはいえ長短の確認だけでは計算の細かな誤りは拾えないので、元の比への代入も行います。
発展：途中の辺を共有して進む
直角三角形 PQR で ∠R = 90度、∠P = 30度、PR = 6√3 cm とします。辺 QR 上に点 S を取り、∠RPS = 45度とします。線分 QS の長さを cm 単位の整数で求めます。sin 30度 = 1/2、cos 30度 = √3/2、tan 45度 = 1 とします。
まず大きい三角形で PR は隣辺、PQ は斜辺です。PQ を x cm として式を解きます。
cos 30度 = PR / PQ
√3/2 = 6√3 / x
(√3/2)x = 6√3
x = 12次に QR を y cm とします。同じ基準角の対辺なので、今度は既知の斜辺に正弦を掛けます。
sin 30度 = QR / PQ
1/2 = y / 12
y = 6ここで条件を見直すと、∠RPS = 45度 は ∠RPQ = 30度 より大きく、S が線分 QR 上にあることと両立しません。したがって、この条件を満たす点 S は存在せず、QS は定まりません。上の計算で大きい三角形が作れても、小さい三角形の配置が成立するとは限りません。
成立する条件に直して、考え方を続けます。∠P を 60度、PR を 6 cm とし、同じく ∠RPS = 45度 とした場合を考えます。このとき S は QR の内部にあります。tan 60度 = √3 を用い、大きい三角形と小さい三角形に共通する PR を使います。
tan 60度 = QR / PR
√3 = QR / 6
QR = 6√3
tan 45度 = RS / PR
1 = RS / 6
RS = 6
QS = QR - RS
QS = 6√3 - 6修正後の QS は (6√3 − 6) cm です。RS と QS の和は 6√3 cm に戻ります。また 0 < 6 < 6√3 なので、S が線分の内部にある条件も満たします。角を用いた式が立っても、点の並びと長さの正値を確認することが欠かせません。
分母の未知数を消してから直す
図3のように、斜辺を x、対辺を 8、基準角を 30度とした式を考えます。単位は cm です。sin 30度 = 1/2 なので、8 / x = 1/2 までは正しい立式です。
ここで x = 8・(1/2) = 4 とする誤答は、分母の x を処理せず、対辺を斜辺から求める操作を逆向きに使っています。図3の斜辺が 4 cm では、対辺 8 cm より短くなり、直角三角形の形にも合いません。
両辺に正の x を掛けてから、1/2 で割ります。
8 / x = 1/2
8 = x / 2
x = 1616 cm を元に戻すと 8 / 16 = 1/2 です。分母に未知数が残ったまま計算を始めず、等式の両側に何をしたかを書けば、逆数を使う理由が見えます。
練習：辺の役割を選ぶ
次の三角形はすべて直角三角形です。長さは cm 単位とし、指定の形で答えてください。30度・45度・60度の比は既知として使います。
- ∠C = 90度、∠A = 45度、AB = 10 の三角形 ABC で、BC を根号を含む形で求めます。
- ∠F = 90度、∠D = 30度、EF = 4 の三角形 DEF で、DE を整数で求めます。
- ∠L = 90度、∠J = 60度、JL = 5 の三角形 JKL で、KL を根号を含む形で求めます。
- ∠N = 90度、∠M = 45度、NO = 3√2 の三角形 MNO で、MN を根号を含む形で求めます。
- ∠T = 90度、∠U = 60度、UT = 2√3 の三角形 UTV で、UV は根号を含む形、TV は整数で求めます。
練習の答えと道筋
- AB は斜辺、BC は ∠A の対辺です。BC を x とします。
sin 45度 = BC / AB
√2/2 = x / 10
x = 5√2答えは 5√2 cm です。5√2 / 10 = √2/2 となり、元の角の比に戻ります。二乗すると 50 < 100 なので斜辺より短いことも確かです。
- EF は対辺、DE は斜辺です。DE を x とします。
sin 30度 = EF / DE
1/2 = 4 / x
x / 2 = 4
x = 8答えは 8 cm です。8・(1/2) = 4 で、与えられた対辺に戻ります。対辺が斜辺の半分という関係とも一致します。
- JL は隣辺、KL は対辺です。KL を x とします。
tan 60度 = KL / JL
√3 = x / 5
x = 5√3答えは 5√3 cm です。5√3 / 5 = √3 と元の正接に戻ります。斜辺を介さず、指定の2辺を直接結びました。
- NO は対辺、MN は隣辺です。MN を x とします。
tan 45度 = NO / MN
1 = 3√2 / x
x = 3√2答えは 3√2 cm です。対辺をこの隣辺で割ると1です。45度の直角三角形で直角をはさむ2辺が等しいことにも合います。
- UT は隣辺、UV は斜辺です。UV を x とします。
cos 60度 = UT / UV
1/2 = 2√3 / x
x / 2 = 2√3
x = 4√3
tan 60度 = TV / UT
√3 = TV / (2√3)
TV = 6UV = 4√3 cm、TV = 6 cm です。(4√3)・(1/2) = 2√3、6 / (2√3) = √3 と元の条件に戻ります。答えの形の指定も、計算結果と照らして吟味します。
手元に残す要点
- 直角の向かいが斜辺、基準角の向かいが対辺です。
- 既知と未知の2辺を含む比を選びます。
- 未知数が分母なら、両辺に掛けてから解きます。
- 答えを元の比と辺の長短に戻します。
- 複数の図形では点の位置も確かめます。
手が止まったときの見直し
式が選べないときは、まず直角に印を付け、基準角から対辺と隣辺を指でたどります。次に既知辺と未知辺に別々の印を付け、比の3行から両方を含む行を探します。式は作れたのに答えが合わないときは、未知数が分子と分母のどちらにあったかを見直します。
個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、図に付けた辺の名前と、分母の未知数を消した1行を示すと、どこで向きが変わったかを話し合えます。元の比への代入まで書けば、計算と図の両方から点検できます。辺の役割を決めた式が、長さを戻す道筋になります。
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